山东中考数学试题研究题库阅读理解问题 几何问题代数化.docx
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山东中考数学试题研究题库阅读理解问题几何问题代数化
阅读理解问题——几何问题代数化
1.观察下图：
第1题图
我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题：
（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为;
（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．
①求x和y的值；
②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形.
解：
（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y；
【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y，
第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y，
第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y，
∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y，
第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n＋1）2x＋n2y.
（2）①依题意,得
，
解得
，
②Q＝（n＋1）2x＋n2y＝−n2＋4n＋2＝−（n−2）2＋6，
当n＝2时，Q最大值为6，
∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．
2.如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
第2题图
（1）填写如表：
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成三角形的个数
4
6
____
____
…
____
（2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD内部有多少个点？
（3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？
若能，此时正方形ABCD内部有多少个点？
若不能，请说明理由．
解：
（1）如下表：
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成三角形的个数
4
6
8
10
…
2（n+1）
（2）设点数为n，
则2（n＋1）＝2018，
解得n＝1008.
答：
原正方形被分割成2018个三角形时正方形ABCD内部有1008个点；
（3）设点数为n，
则2（n＋1）＝2019，
解得n＝1008.5.
答：
原正方形不能被分割成2019个三角形.
3.【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？
探究一：
若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成一个大正方形.
探究二：
若n=2,5,10,13等，这些数都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：
;
.
解决方法：
以n=5为例.
（1）计算：
拼成的大正方形的面积是5，边长为
；
（2）剪切：
如图①，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；
第3题图
（3）拼图：
以图①中的虚线为边，拼成一个边长为
的大正方形，如图②.
请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.
【问题拓展】如图③，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．
请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．
第3题图③
解：
【问题提出】（１）计算：
拼成的大正方形的面积是13，边长为
．
（2）剪切如解图①：
第3题解图①
（3）拼图如解图②：
第3题解图②
【问题拓展】（１）计算：
拼成的大正方形的面积是a２＋
b２，边长为
．
（2）剪切如解图③：
第3题解图③
（3）拼图如解图④：
第3题解图④
4.【问题提出】如图①，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？
第4题图
【问题研究】我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图②，由２×１×１个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝
条线段，宽和高分别只有一条线段，所以图中共有３×１×１＝３个长方体；
（2）如图③，由２×２×１个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有１＋２＝
条线段，高有１条线段，所以图中共有３×３×１＝９个长方体；
（3）如图④，由２×２×２个小立方块组成的长方体中，长宽高分别有１＋２＝
条线段，所以图中共有 个长方体；
（4）由２×３×６个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝
条线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体．
【问题解决】由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有条线段，所以图中共有个长方体.
解：
【问题探究】（3）27；
（4）6，21，378；
【问题解决】
，
.
5.在图中，每个正方形都由边长为1的小正方形组成，请完成下列各题．
第5题图
（1）观察图形，按要求填写下列表格；
正方形边长
1
3
5
7
白色小正方形个数
_____
______
______
______
正方形边长
2
4
6
8
白色小正方形个数
_____
______
_______
______
（2）在边长为n（其中n≥１）的正方形中，所有黑色的小正方形的面积和为S１，白色小正方形的面积为S２，试用含ｎ的代数式分别表示S１，S２；
（1）在（２）中，是否存在偶数n，使得S１＝
S２？
若存在，求出ｎ的值；若不存在，请说明理由．（本题可能要用到的参考公式：
（a＋b）２＝a２＋2ab＋b２，（a－b）２＝a２－２ab＋b２）
解：
（１）补充如下表：
正方形边长
1
3
5
7
白色小正方形个数
0
4
16
36
正方形边长
2
4
6
8
白色小正方形个数
0
8
24
48
（2）n为奇数时，S１＝2n－1；S２＝（n－1）２；
ｎ为偶数时，S１＝2n；S２＝n２－2n；
（3）存在，理由如下：
由题意得，2n＝
（n２－2n），
解得n＝18或0（舍去），
∴存在偶数n＝18使得S１＝
S２.
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