五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义.docx
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五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义
学科教师辅导讲义
班级：
年级：
五年级
辅导科目：
小学思维
学科教师：
上课时间
授课主题
立体几何拓展----三视图
知识图谱
错题回顾
三视图
知识精讲
一．三视图
在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：
我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：
正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．
二．正方体的展开图
展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．
我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．
三．长方体的展开图
观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高．
四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．
判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．
三点剖析
重难点：
展开图、三视图及三视图求个数和表面积．
题模精选
题模一：
展开图与对立面
例1.1.1一个正方体的六个面上分别写着A，B，C，D，E，F六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________
【答案】B与D相对，E与A相对，C与F相对
【解析】由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．
第一步，先看前2种摆放情况：
在这2种摆放情况中，只有字母B出现了2次，那么由第一种摆放可知，B不与A相对，也不与F相对；由第二种摆放可知，B不与C相对，也不与E相对．那么在所有的字母中，B只能与D相对．
第二步，再看后2种摆放情况：
在这2种摆放情况中，只有字母E出现了2次，那么由第二种摆放可知，E不与B相对，也不与C相对；由第三种摆放可知，E不与D相对，也不与F相对．那么在所有的字母中，E只能与A相对．
正方体有三个对面，因B与D相对，E与A相对，那么第三组对面上一定是C与F相对．
例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母？
【答案】A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E
【解析】由已知条件，标有C，D的两个面不能相对，那么或A的对面标有D，或B的对面标有D．
如果标有D，A的两个面相对，那么“标有C，D的两个面不能相对”，“标有E，A的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D在朝右的面，E在朝上的面时，F在朝前的面上，那么只能是标有E，C的两个面相对，而标有F，B的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．
如果标有D，B的两个面相对，那么由于标有E，A的两个面也不能相对，于是标有A的对面就是标有F的面，而标有C的对面就是标有E的面．此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符．
综上所述，满足题意的答案只有一个：
A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E．
例1.1.3如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF六个字母．其中A与D相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？
【答案】字母A
【解析】发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变．
所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A．
例1.1.4如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？
【答案】A
【解析】对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．
如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A，B的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A，B，C的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A面，B面都相邻，C面也与A面，B面都相邻，因此写有1的面与C面相对，即C面上写的是4．
观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B面相对，因此B面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．
还剩下A面与D面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A面上就是6．
例1.1.5下图是正方体，四边形APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？
把大致的图形在右面展开图里画出来．
B
【答案】见解析
【解析】截线在展开图中如图所示：
例1.1.6右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】根据实线还原，体积为4．
题模二：
三视图求表面积
例1.2.1下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）．
A．A图
B．B图
C．C图
D．D图
【答案】C
【解析】5个在原图均已看到，易知C符合要求．
例1.2.2右图是由18个棱长为1
的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米．
A．44
B．46
C．48
D．50
【答案】C
【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为
．
例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2
的正方体堆成的，它的表面积是________
．
【答案】200
【解析】从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩
块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到
个面，表面积为
．
例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？
画出它的三视图，表面积是多少？
【答案】37；三视图如下图所示；102
【解析】将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有
块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为
．
例1.2.5图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．
【答案】34
【解析】按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积．
题模三：
已知三视图反推个数
例1.3.1这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】B
【解析】从上面看下去，最少需要：
．
例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．
【答案】6
【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为
．
例1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．
【答案】23
【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．
例1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？
最少有多少块？
【答案】16，13
【解析】
块，
块．这堆木块最多有16块，最少有13块．
例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？
如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
【答案】10个；42平方厘米
【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．
首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．
结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．
同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．
我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．
同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．
2
1
0
0
2
0
1
1
不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：
于是这一堆立方体一共有
个．
接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．
上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是
平方厘米．
随堂练习
随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．
A．A图
B．B图
C．C图
D．D图
【答案】B
【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．
随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．
【答案】后面、上面、左面
【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．
随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．
【答案】16
【解析】根据已知推出
互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是
．
随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图形是__________．序号）
【答案】②
【解析】从正面看到图②，从上面看到图
，从右面看到图
．所以正确答案是图②．
随练1.5由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．
【答案】10；34
【解析】第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为
．
随练1.6如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．
【答案】38
【解析】利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是
平方米．
随练1.7如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．
【答案】90
【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是
．
随练1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．
【答案】46平方厘米
【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．
从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．
所以立体图形的表面积为
平方厘米．
随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．
【答案】9；7
【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．
自我总结
课后作业
作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．
【答案】3，1，2
【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．
作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？
”代表的数字是___________．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．
．
作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．
【答案】20
【解析】此立体图形，示意图如上：
共20条棱．
作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________
．
【答案】60
【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计
个正方形，所以它的表面积是
．
作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．
【答案】54
【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．
作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？
画出它的三视图，表面积是多少？
【答案】30；三视图如下图所示；76
【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有
块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为
．
作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【解析】按如图方式摆放即可．
作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．
【答案】5
【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．
作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．
【答案】9
【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．
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