春拔高课程九年级数学第3讲二次函数探究二次函数与直角三角形的综合问题教案10.docx

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春拔高课程九年级数学第3讲二次函数探究二次函数与直角三角形的综合问题教案10

二次函数与直角三角形的综合问题

知识点

二次函数综

合；勾股定理；相似三角形的性质；

教学目标

1.熟练运用所学知识解决二次函数

综合问题

2．灵活运用数形结合思想

教学重点

巧

妙运用数形结合思想解决综合问题；

教学难点

灵活运用技巧及方法解决综合问题；

知识讲解

考点1二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二

次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：

一般式：

y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：

y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：

y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；

对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，

）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：

开口方向，对称轴，顶点．

考点2勾

股定理及逆定理

1.定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

（即：

a2+b2=c2）

2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3.逆定理：

如果三角形的三边长：

a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

考点3探究直角三角形的一般思路

探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：

（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；

（2）找点：

当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：

①

当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直

径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；

（3）计算：

把图形中的点坐标

用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。

再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方

程求点坐标。

例题精析

例1如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D

．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式

；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于

点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段

时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请

直接写出点

P的坐标．

例2如图，直线

和x轴、y轴的交点分别

为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣

x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式，并

求出m为何值时

，S取得最大值；

②当S最大时，在抛物线y=﹣

x2+bx+c

的

对称轴l上若存在点F，使△FDQ

为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

课程小结

有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与直角

三角

形的综合问题时，抓住

已有的信息及条件在函数图像中构造出直角三角形，并能运用直角三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】

（1）设抛物线的函数表达式为

，代入点C（0，－3），得

．所以抛物线的函数表达式为

．

（2）由

，知A（－1，0），B（3，0）．设直线BC的函数表达

式为

，代入点B（3，0）和点C（0，－3），得

解得

，

．所以直线BC的函数表达式为

．

（3）①因为AB＝4，所以

．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为

．于是得到点P的坐标为

，点F的坐标为

．所以

，

．

进而得到

，点E的坐标为

．

直线BC:

与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．

过点D作DH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△EDH中，D

H＝1，

，所以tan∠CED

．

②

，

．

【总结与反思】

1．第

（1）、

（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．

2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．

3．根据C、D的坐

标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．

例2【规范解答】

（1）直线

与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，

，所以

．

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

．此时0＜t≤2．

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

．此时2＜t≤5．

图2图3

②把S＝4代入

，得

．解得

，

（舍去负值）．因

此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时

．

③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△

BNM中，BN＝t，BM

，

，所以

．解得

．

如图5，当∠MON＝90°时，N与C重合，

．不存在∠ONM＝90

°的可能．

所以，当

或者

时，△MON为直

角三角形．

图4图5

【总结与反思】1．第

（1）题说明△ABC是等腰三角

形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

例3【规范解答】

（1）将A、C两点坐标代入抛物线

c＝8，

，

解得b＝

，c＝8，∴抛物线的解析式为

（2）①∵OA=8，OC=6∴

过点Q作QE⊥BC与E点，则

∴

∴

∴

∴当m=5时，S取最大值；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为

的对称轴为

，

D的坐标为（3，8），Q（3，4），

当∠FDQ=90°时，F1（

，8），当∠FQD=90°时，则F2（

，4），

当∠DFQ=90°时，设F（

，n），则FD2+FQ2=DQ2，即

，解得：

，

∴F3（

，

），F4（

，

），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1（

，8），F2（

，4），F3

（

，

），F4（

，

）．

【总结与反思】

1.将A、C两点坐标代入抛物线

即可求得抛物线的解析式；

2.①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；

②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏

写．

例4【规范解答】解：

（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=

ax2+bx+c，则

，解

得：

，

则抛物线的解析式是：

y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点

P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：

m1=0（舍去），m2=2

．

∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6

）．

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：

n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，

则P2的坐标是（﹣

2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由

（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=

4，则AC=

=4

，根据等腰三角形的性质，D是A

C的中点．又∵DF∥OC，∴DF=

OC=2，∴点P的纵坐标是2．则﹣x2+3x+1=2，解得：

x=

，

∴当EF最短时，点P的坐标是：

（

，0）或（

，0）．

【总结与反思】

（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，

则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；

（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据