江苏专用版高考数学大一轮复习第十一章概率112古典概型教师用书文苏教版.docx

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江苏专用版高考数学大一轮复习第十一章概率112古典概型教师用书文苏教版

11.2古典概型

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（1）所有的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件的发生都是等可能的．

3．如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是

.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝

.

4．古典概型的概率公式

P（A）＝

.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（　×　）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．（　×　）

（3）从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．（　×　）

（4）（教材改编）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

.（　√　）

（6）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为

.（　√　）

1．已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．

答案　

解析　从5本书中取出2本书，基本事件有10个．从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为

.

2．（2016·北京改编）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．

答案　

解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为

＝

.

3．（2015·课标全国Ⅰ改编）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3________．

答案　

（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），其中勾股数只有（3,4,5），所以概率为

.

4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．

答案　

解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为

＝

.

5．（教材改编）同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．

答案　

解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36（种）可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－

＝

.

题型一　基本事件与古典概型的判断

四面体玩具的试验：

用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：

①试验的基本事件；

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；

③事件“出现点数相等”包含的基本事件．

（2）袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．

①有多少种不同的摸法？

如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？

以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

解　

（1）①这个试验的基本事件为

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），

（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），

（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为

（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），

（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．

③事件“出现点数相等”包含的基本事件为

（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）．

（2）①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．

又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．

②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：

“摸到白球”，B：

“摸到黑球”，C：

“摸到红球”，

又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为

，而白球有5个，

故一次摸球摸到白球的可能性为

，

同理可知摸到黑球、红球的可能性均为

，

显然这三个基本事件出现的可能性不相等，

所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．

思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

　下列试验中，古典概型的个数为________．

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

答案　1

解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，

所以不是古典概型；

②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；

③符合古典概型的特点，是古典概型．

题型二　古典概型的求法

例2　

（1）（2015·江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

答案　

解析　设取出的2只球颜色不同为事件A.

基本事件有：

（白，红），（白，黄），（白，黄），（红，黄），（红，黄），（黄，黄）共6种，事件A包含5种，故P（A）＝

.

（2）（2016·山东）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

a．若xy≤3，则奖励玩具一个；

b．若xy≥8，则奖励水杯一个；

c．其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

①求小亮获得玩具的概率；

②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解　用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.

①记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件共5个，

即（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（3,1）．

所以P（A）＝

，即小亮获得玩具的概率为

.

②记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件共6个，

即（2,4），（3,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4）．

所以P（B）＝

＝

.

事件C包含的基本事件共5个，

即（1,4），（2,2），（2,3），（3,2），（4,1）．

所以P（C）＝

.因为

＞

，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

引申探究

球，求标号和为奇数的概率．

解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），共4种，

所以P（A）＝

＝

.

2．本例

（1）中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．

解　基本事件为（白，白），（白，红），（白，黄），（白，黄），（红，红），（红，白），（红，黄），（红，黄），（黄，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，黄），共16种，

其中颜色相同的有6种，故所求概率为P＝

＝

.

思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

（1）（2016·全国乙卷改编）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．

答案　

解析　从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有（（红黄），（白紫）），（（白紫），（红黄）），（（红白），（黄紫）），（（黄紫），（红白）），（（红紫），（黄白）），（（黄白），（红紫）），共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有（（红黄），（白紫）），（（白紫），（红黄）），（（红白），（黄紫）），（（黄紫），（红白）），共4种，故所求概率为P＝

＝

.

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团

8

5

未参加演讲社团

2

30

①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

解　①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15（人），

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝

＝

.

②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，

{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，

{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，

{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，

{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有

{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．

因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P＝

.

题型三　古典概型与统计的综合应用

例3　（2015·安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：

[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．

解　

（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.

（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

（3）受访职工中评分在[50,60）的有50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；

受访职工中评分在[40,50）的有50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝

.

思维升华　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

地区

A

B

C

数量

50

150

100

（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

解　

（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是

＝

，

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是

50×

＝1,150×

＝3,100×

＝2.

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.

（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为

A；B1，B2，B3；C1，C2.

则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D：

“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．

所以P（D）＝

，

即这2件商品来自相同地区的概率为

.

六审细节更完善

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

（1）基本事件为取两个球

↓（两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示）

把取两个球的所有结果列举出来

↓

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}

↓两球编号之和不大于4

（注意：

和不大于4，应为小于4或等于4）

↓

{1,2}，{1,3}

↓利用古典概型概率公式求解

P＝

＝

（2）两球分两次取，且有放回

↓（两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示）

基本事件的总数可用列举法表示

↓

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4）

（2,1），（2,2），（2,3），（2,4）

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4）

（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）

↓（注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号）

n

↓（将复杂问题转化为简单问题）

计算n≥m＋2的概率

↓

n≥m＋2的所有情况为（1,3），（1,4），（2,4）

↓

P1＝

↓注意细节，P1＝

是n≥m＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率

n

.

规范解答

解　

（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个．

因此所求事件的概率P＝

＝

.[6分]

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．[8分]

又满足条件n≥m＋2的事件为（1,3），（1,4），（2,4），共3个，

所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝

.[12分]

故满足条件n

1－P1＝1－

＝

.[14分]

1．（2016·全国丙卷改编）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是机的概率是________．

答案　

件的个数为15，密码正确只有一种，概率为

.

2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．

答案　

解析　由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝

.

3．（2015·广东改编）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为________．

答案　0.6

解析　设3件合格品为A1，A2，A3,2件次品为B1，B2，从5件产品中任取2件有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种．

恰有1件次品有6种，∴P＝

＝0.6.

奇数一个是偶数的概率为________．

答案　

解析　从四个数中随机取两个数，基本事件有6个．其中一奇一偶的事件有4个：

（1,2），（1,4），（3,2），（3,4），故所求的概率为

＝

.

5．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（－1,1）的夹角θ>90°的概率是________．

答案　

解析　∵（m，n）·（－1,1）＝－m＋n<0，∴m>n.

基本事件总共有6×6＝36（个），符合要求的有（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），…，（5,4），（6,1），…，（6,5），共1＋2＋3＋4＋5＝15（个）．

∴P＝

＝

.

6．（2016·南通模拟）在平面直角坐标系中，从下列五个点：

A（0,0），B（2,0），C（1,1），D（0,2），E（2,2）中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________．

答案　

解析　从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为

＝

.

7．（2016·苏州高三一模）若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别有数字答案　

解析　连续抛掷骰子两次，基本事件有36个．两次向上的数字之和等于7的事件有6个：

（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）．故所求的概率为

＝

.

8．（2016·镇江模拟）若箱子中有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，一次摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为________．

答案　

解析　从5个球中摸出2个球，基本事件共有10个．摸到的2个球颜色不同的事件为：

红1，白1；红1，白2；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2，共6个．故所求的概率为

＝

.

9.如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．

答案　0.3

解析　依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有（8＋9＋2＋1）－（5＋3＋x＋5）≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝

＝0.3.

等于m”为事件A，则P（A）最大时，m＝________.

答案　7

解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．

11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b＝（1，－3）．

（1）求事件“a⊥b”发生的概率；

（2）求事件“|a|≤|b|”发生的概率．

种．

因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有（3,1），（6,2），共2种，所以事件a⊥b发生的概率为

＝

.

（2）由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，

有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1），共6种，其概率为

＝

.

12．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

（1）设（i，j）表示甲、乙抽到的牌的牌面数字（如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为（2,3）），写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？

请说明理由．

解　

（1）方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为（2,3），（2,4），（2,4′），（3,2），（3,4），（3,4′），（4,2），（4,3），（4,4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同的情况．

（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为

.

（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有（3,2），（4,2），（4,3），（4′，2），（4′，3），共5种情况．

甲胜的概率为P1＝

，乙胜的概率为P2＝

.

因为

<

，所以此游戏不公平．

没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：

如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．

（1）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）；

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

3

2

1

4

5

3

2

4

5

1

（2）若乘客P1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．

解　

（1）余下两种坐法如下表所示：

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

3

2

4

1

5

3

2

5

4

1

（2）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

2

1

3

4

5

2

3

1

4

5

2

3

4

1

5

2

3

4

5

1

2

3

5

4

1

2

4

3

1

5

2

4

3

5

1

2

5

3

4

1

于是，所有可能的坐法共8种，

设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）＝

＝

.