高考江苏版高考数学122 随机事件与概率古典概型与几何概型.docx

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高考江苏版高考数学122随机事件与概率古典概型与几何概型

12.2　随机事件与概率、古典概型与几何概型

挖命题

【考情探究】

考点

内容解读

5年考情

预测热度

考题示例

考向

关联考点

随机事件与概率

求随机事件的概率

2015江苏,5

求随机事件的概率

★★☆

古典概型

求古典概型的概率

2018江苏,6

求古典概型的概率

★★★

2016江苏,7

求古典概型的概率

2014江苏,4

求古典概型的概率

几何概型

求几何概型的概率

2017江苏,5

求几何概型的概率

★★☆

分析解读　　随机事件与概率、古典概型、几何概型是江苏高考的必考内容,题目难度不大,但对学生建模能力和运算能力要求比较高.

破考点

【考点集训】

考点一　随机事件与概率

1.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高（单位:

cm）分别为:

162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,

151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.

根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在155.5cm~170.5cm之间的概率约为　　　　.

答案　

2.（2019届江苏苏州实验中学检测）掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,若

表示B的对立事件,则一次试验中,事件A+

发生的概率为　　　　.

答案　

考点二　古典概型

1.（2018江苏徐州高三年级期中）从2个黄球,3个红球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是　　　　.

答案　

2.（2019届江苏启东中学检测）已知函数f（x）=

x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为　　　　.

答案　

考点三　几何概型

1.（2018江苏海安高三上学期第一次学业质量测试）已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子,则豆子落入正方形内的概率为　　　　.

答案　

2.已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<

VS-ABC的概率是　　　　.

答案　

炼技法

【方法集训】

方法一　求解古典概型问题的方法

1.（2018江苏启东高三调研测试）从1,2,3,4这四个数中一次随机地选两个数,则选中的两个数中至多有一个是奇数的概率为　　　　.

答案　

2.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是　　　　.

答案　

方法二　求解几何概型问题的方法

1.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为　　　　.

答案　

2.（2019届江苏教育学院附属中学检测）点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离PA<1的概率为　　　　.

答案　

方法三　古典概型与统计综合问题的解法

　移动公司在国庆期间推出4G套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:

选择套餐1的客户可获得优惠200元,选择套餐2的客户可获得优惠500元,选择套餐3的客户可获得优惠300元.国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率.

（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率;

（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人,再从该6人中随机选出2人,求这2人获得相等优惠金额的概率.

解析　

（1）设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”,则P（A）=

（2）设事件B为“从这6人中选出2人,他们获得相等优惠金额”.由题意可知按分层抽样方式选出的6人中,获得优惠200元的有1人,获得优惠500元的有3人,获得优惠300元的有2人,分别记为a1,b1,b2,b3,c1,c2,从中选出2人的所有基本事件如下:

a1b1,a1b2,a1b3,a1c1,a1c2,b1b2,b1b3,b1c1,b1c2,b2b3,b2c1,b2c2,b3c1,b3c2,c1c2,共15个.

其中使得事件B成立的有b1b2,b1b3,b2b3,c1c2,共4个.

则P（B）=

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·江苏卷题组

1.（2018江苏,6,5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　.

答案　

2.（2017江苏,7,5分）记函数f（x）=

的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　.

答案　

3.（2014江苏,4,5分,0.960）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是　　　　.

答案　

4.（2015江苏,5,5分,0.942）袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为　　　　.

答案　

5.（2016江苏,7,5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　.

答案　

B组　统一命题、省（区、市）卷题组

考点一　随机事件与概率

1.（2016天津改编,2,5分）甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

甲获胜的概率是

则甲不输的概率为　　　　.

答案　

2.（2016课标全国Ⅱ,18,12分）某险种的基本保费为a（单位:

元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数

≥5

保费

0.85a

1.25a

1.5a

1.75a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

出险次数

≥5

频数

（1）记A为事件:

“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值;

（2）记B为事件:

“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（B）的估计值;

（3）求续保人本年度平均保费的估计值.

解析　

（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为

=0.55,

故P（A）的估计值为0.55.（3分）

（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

=0.3,

故P（B）的估计值为0.3.（6分）

（3）由所给数据得

保费

0.85a

1.25a

1.5a

1.75a

频率

0.30

0.25

0.15

0.10

0.05

（10分）

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.（12分）

评析本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了考查,属中档题.

考点二　古典概型

1.（2018课标全国Ⅲ文改编,5,5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为　　　　.

答案　0.4

2.（2018课标全国Ⅱ理改编,8,5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是　　　　.

答案　

3.（2017天津文改编,3,5分）有5支彩笔（除颜色外无差别）,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为　　　　.

答案　

4.（2016课标全国Ⅰ改编,3,5分）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是　　　　.

答案　

5.（2016课标全国Ⅲ改编,5,5分）小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是　　　　.

答案　

6.（2014陕西改编,6,5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为　　　　.

答案　

7.（2018天津文,15,13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

（2）设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.

解析　本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

（1）由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

②由

（1）,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以,事件M发生的概率P（M）=

易错警示　解决古典概型问题时,需注意以下几点:

（1）忽视基本事件的等可能性导致错误;

（2）列举基本事件考虑不全面导致错误;

（3）在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.

8.（2015陕西,19,12分）随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:

日期

天气

晴

雨

阴

雨

阴

晴

阴

晴

日期

天气

晴

阴

雨

阴

晴

阴

晴

阴

晴

雨

（1）在4月份任取一天,估计西安市在该天

的概率;

（2）西安市某学校拟从4月份的一个

开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间

的概率.

解析　

（1）在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为

（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如,1日与2日,2日与3日等）.这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为

以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为

9.（2017山东文,16,12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

解析　本题考查古典概型.

（1）由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,

则所求事件的概率为P=

（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:

{A1,B2},{A1,B3},共2个,

则所求事件的概率P=

方法总结　求古典概型概率的一般步骤:

1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;

2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;

3.代入公式P（A）=

求解.

10.（2016山东,16,12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:

①若xy≤3,则奖励玩具一个;

②若xy≥8,则奖励水杯一个;

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（1）求小亮获得玩具的概率;

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解析　用数对（x,y）表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={（x,y）|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.

因为S中元素的个数是4×4=16,

所以基本事件总数n=16.

（1）记“xy≤3”为事件A,

则事件A包含的基本事件数共5个,

即（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（3,1）.

所以P（A）=

即小亮获得玩具的概率为

（2）记“xy≥8”为事件B,“3

则事件B包含的基本事件数共6个,

即（2,4）,（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

所以P（B）=

事件C包含的基本事件数共5个,

即（1,4）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（4,1）.

所以P（C）=

.因为

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

易错警示　本题出错的原因有两个:

（1）理解不清题意,不能将基本事件列举出来;

（2）列举基本事件有遗漏.

评析本题主要考查古典概型.理解题意,不重不漏地列举出基本事件是解题关键.

考点三　几何概型

1.（2017课标全国Ⅰ理改编,2,5分）如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是　　　　.

答案　

2.（2016课标全国Ⅱ改编,8,5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为　　　　.

答案　

3.（2014重庆,15,5分）某校早上8:

00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:

30~7:

50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为　　　　（用数字作答）.

答案　

C组　教师专用题组

1.（2016四川,13,5分）从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　.

答案　

2.（2014课标Ⅱ,13,5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　.

答案　

3.（2014浙江,14,4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是　.

答案　

4.（2009江苏,5,5分）现有5根竹竿,它们的长度（单位:

m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为　　　　.

答案　0.2

5.（2010江苏,3,5分）盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是　　　　.

答案　

6.（2011江苏,5,5分）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是　　.

答案　

7.（2012江苏,6,5分）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是　　　　.

答案　

【三年模拟】

一、填空题（每小题5分,共45分）

1.（2019届江苏通州高级中学检测）某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为　　　　.

答案　0.5

2.（2018江苏淮安高三期中）抛一枚硬币3次,恰好2次正面向上的概率为　　　　.

答案　

3.（2018江苏苏州高三第一次调研测试）苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为　　　　.

答案　

4.（2018江苏南通高三第一次调研测试）某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为　　　　.

答案　

5.（2019届江苏常熟中学检测）有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:

用（x,y）表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具向下的面出现的点数,y表示第2个正四面体玩具向下的面出现的点数,则事件“x=y”的概率是　　　　.

答案　

6.（2019届江苏镇江中学检测）从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,下列事件①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中,是对立事件的是　　　　.

答案　③

7.（2018江苏南京、盐城高三年级第一次模拟考试）口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为　　　　.

答案　

8.（2019届江苏常州教育学会学生学业水平监测）函数f（x）=

的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,…,6）,记骰子向上的点数为t,则事件“t∈D”的概率为　　　　.

答案　

9.（2019届江苏如东栟茶中学检测）若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P（A）=2-a,P（B）=4a-5,则实数a的取值范围是　　　　.

答案　

二、解答题（共40分）

10.（2019届江苏太仓高级中学检测）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是

（1）求n的值;

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;

②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

解析　

（1）依题意共有小球（n+2）个,标号为2的小球n个,从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为

解得n=2.经检验,n=2是原方程的根.

（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球,（a,b）所有可能的结果为（0,1）,（0,2）,（0,2）,（1,2）,（1,2）,（2,2）,（1,0）,（2,0）,（2,0）,（2,1）,（2,1）,（2,2）,共有12种,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故P（A）=

②由①可知,（a-b）2≤4,故x2+y2>4,（x,y）可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为

Ω={x,y|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},

由几何概型得概率P=

=1-

11.（2019届江苏金坛中学检测）某银行柜台有从左到右编号依次为1,2,3,4,5,6的六个服务窗口,其中1,2,3,4,5号服务窗口办理A类业务,6号服务窗口办理B类业务.

（1）每天12:

00至14:

00,由于需要办理A类业务的顾客较少,现从1,2,3,4,5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务,求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率;

（2）经统计,在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下:

排队人数

4人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.1

0.04

求至少2人排队等候的概率.

解析　

（1）由题意有如下基本事件（（i,j）表示第i,j号窗口暂停服务）:

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）,

因此,共有10个基本事件.

记事件A为“1号窗口或2号窗口暂停服务”,事件A包括:

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,共7个,

故P（A）=

（2）事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为Bk（k∈N）,则事件Bk两两互斥.

记事件B为“至少2人排队等候”,则事件

为“排队等候人数为0或1”,

所以P（

）=P（B0）+P（B1）=0.1+0.16=0.26,

所以P（B）=1-P（

）=1-0.26=0.74.

12.（2019届江苏南京第十三中学检测）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,其中a,b是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求上述方程有实根的概率.

（1）若随机数a,b∈{1,2,3,4};

（2）若a是从区间[0,3]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数.

解析　设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

（1）基本事件共有16个:

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4

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