第9章 三角形单元测试.docx
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第9章三角形单元测试
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第9单元三角形单元测试
适用版本：
冀教版
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
2．（3分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段BAC．线段BCD．线段BD
3．（3分）如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BCB．BF=CFC．BE=ECD．∠BAE=∠CAE
4．（3分）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．60°D．45°
6．（3分）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
7．（3分）如果三角形的三个内角的度数比是2：
3：
4，则它是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．钝角或直角三角形
8．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2B．1cm2C．0.25cm2D．0.5cm2
9．（3分）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（3分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点M，联结BM并延长，交AC于F，已知AD=9，CE=12且AD⊥CE．那么下列结论中不正确的是（ ）
A．AC=10B．BM=10C．AB=15D．FB=15
11．（3分）一个三角形的两边长分别是4和6，其第三边边长可能是（ ）
A．1B．3C．10D．11
12．（3分）如图，CD是△ABC的中线，则（ ）
A．S△ACD=S△BCDB．S△ACD=S△ABC
C．S△ACD=2S△BCDD．以上各项均不正确
13．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
14．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形
15．（3分）如图，∠1=（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
16．（3分）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三边高的交点B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得分
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
17．（4分）2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二
颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．
如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：
．
18．（4分）如图，△ABC中，点D在BC上且BD=2DC，点E是AC中点，已知△CDE面积为1，那么△ABC的面积为 ．
19．（4分）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ．
20．（4分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
评卷人
得分
三．解答题（共6小题，满分56分）
21．（8分）要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？
22．（8分）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
23．（8分）如图，已知：
AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
24．（8分）已知：
如图，△ABC的中线BD、CE交于点O．
（1）求证：
=
；
（2）求证：
△ABC的三条中线交于一点．
25．（12分）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有 个三角形．
26．（12分）如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE=
BC，CF=AG=
AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ．
2018年02月24日娜娜的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：
A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故C正确；
故选：
D．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
2．（3分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（ ）
A．线段DAB．线段BAC．线段BCD．线段BD
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【解答】解：
由图可得，△ABC中AC边上的高线是BD，
故选：
D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．（3分）如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BCB．BF=CFC．BE=ECD．∠BAE=∠CAE
【分析】依据AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF．
【解答】解：
∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，
∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，
而BE=CE不一定成立，
故选：
C．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、高线以及中线，解题时注意：
三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
4．（3分）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】因为三角形的定义为：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：
因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：
C．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
5．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．60°D．45°
【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：
如图，∠2=90°﹣45°=45°，
由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，
=45°+60°，
=105°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解．
【解答】解：
设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm．
则（x+1）+x+（x﹣1）=12，
解得：
x=4，
则最短的边长是：
4﹣1=3cm．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键．
7．（3分）如果三角形的三个内角的度数比是2：
3：
4，则它是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：
设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
8．（3分）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2B．1cm2C．0.25cm2D．0.5cm2
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：
如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=
EC，高相等；
∴S△BEF=
S△BEC，
同理得，
S△EBC=
S△ABC，
∴S△BEF=
S△ABC，且S△ABC=4，
∴S△BEF=1，
即阴影部分的面积为1．
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：
若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
9．（3分）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据三角形具有稳定性可得：
沿对角线钉上1根木条即可．
【解答】解：
根据三角形的稳定性可得他至少要再钉上1根木条，
故选：
B．
【点评】此题主要考查了三角形具有稳定性，题目比较简单．
10．（3分）如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点M，联结BM并延长，交AC于F，已知AD=9，CE=12且AD⊥CE．那么下列结论中不正确的是（ ）
A．AC=10B．BM=10C．AB=15D．FB=15
【分析】根据题意得到点M是△ABC的重心，根据重心的性质得到AM=
AD=6，CM=
CE=8，EM=
CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．
【解答】解：
∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴AM=
AD=6，CG=
CE=8，EM=
CE=4，
∵AD⊥CE，
∴AC=
=10，A正确；
∵AD⊥CE，F是AC的中点，
∴MF=
AC=5，
∴BM=10，B正确
AE=
=2
，
∴AB=2AE=4
，C错误；
BF=15，D正确，
故选：
C．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
11．（3分）一个三角形的两边长分别是4和6，其第三边边长可能是（ ）
A．1B．3C．10D．11
【分析】根据三角形的三边关系定理：
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得6﹣4＜x＜6+4，再解即可．
【解答】解：
设第三边长为x，由题意得：
6﹣4＜x＜6+4，
则2＜x＜10．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：
第三边的范围是：
大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（3分）如图，CD是△ABC的中线，则（ ）
A．S△ACD=S△BCDB．S△ACD=S△ABC
C．S△ACD=2S△BCDD．以上各项均不正确
【分析】根据同底等高面积线段即可判断．
【解答】解：
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=DA，
∴△BDC与△ADC同底等高，
∴S△ACD=S△BCD，
故选A．
【点评】本题考查三角形的中线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
【分析】利用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：
在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
故选B
【点评】此题是三角形内角和定理，解本题的关键是熟记三角形的内角和定理，并能灵活运用．
14．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形
【分析】三角形不容易产生变化，因此三角形是最稳定的．
【解答】解：
根据三角形具有稳定性，可知四个选项中只有等腰三角形具有稳定性的．
故选B．
【点评】此题考查的是对三角形稳定性的知识的理解，属于基础题，比较简单．
15．（3分）如图，∠1=（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：
∠1=130°﹣60°=70°，
故选：
D．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
16．（3分）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三边高的交点B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点
【分析】根据题意得：
支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【解答】解：
∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选D．
【点评】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
17．（4分）2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二
颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．
如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：
三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：
这样做的原因是三角形具有稳定性．
故答案为：
三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
18．（4分）如图，△ABC中，点D在BC上且BD=2DC，点E是AC中点，已知△CDE面积为1，那么△ABC的面积为 6 ．
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积公式得到△ADC的面积，然后根据△ABC与△ADC的底边的数量关系来求△ABC．
【解答】解：
∵△CDE面积为1，点E是AC中点，
∴S△ADC=2S△CDE=2．
又∵BD=2DC，
∴S△ABC=3S△ADC=6．
故答案是：
6．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟记等底同高、同底等高三角形面积间的数量关系即可解答，属于基础题．
19．（4分）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．
【分析】根据三角形的高的概念解答即可．
【解答】解：
△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为：
AD
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答．
20．（4分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 3 对．
【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：
△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】解：
△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：
3．
【点评】本题考查了三角形的定义，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分56分）
21．（8分）要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？
【分析】根据三角形具有稳定性可得答案．
【解答】解：
图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；
图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；
图③六边形木架至少需要钉上3根木棍．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
22．（8分）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【分析】
（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：
（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
23．（8分）如图，已知：
AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
【解答】解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得出∠B的度数是解题关键．
24．（8分）已知：
如图，△ABC的中线BD、CE交于点O．
（1）求证：
=
；
（2）求证：
△ABC的三条中线交于一点．
【分析】
（1）根据三角形的重心的概念和性质证明；
（2）延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，证明四边形BHCO是平行四边形，根据平行四边形的性质证明．
【解答】证明：
（1）∵△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴
=
；
（2）如图，延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，
∵CE是△ABC的中线，
∴O是AH的中点，
∵BD是△ABC的中线，
∴OD是△ACH的中位线，
∴OD∥CH，
∴四边形BHCO是平行四边形，
∴BF=CF，
∵AF是△ABC的中线，
即三条中线交于一点O．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
25．（12分）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有
（n+1）（n+2）． 个三角形．
【分析】
（1）根据图形，可以分析：
数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；
（2）若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；
（3）若有n个分点，则有1+2+3+…+n+1=
（n+1）（n+2）．
【解答】解：
（1）
连接个数
1
2
3
4
5
6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
=
[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
=
（n+1）（n+2）．
故答案为
（n+1）（n+2）．
【点评】此题注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．能够正确计算1+2+…+n+（n+1）=
（n+1）（n+2）．
26．（12分）如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE=
BC，CF=AG=
AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ．
【分析】作平行线GP和FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：
，
=
，从而得：
BH：
HK：
KG=52：
32：
7，BI：
IJ：
JF=20：
32：
13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出S△ABF=
，S△ABG=
，S△AIJ=
S△ABF=
×
=
，S△AHK=
S△ABG=
×
=
，作差可得S四边形KHIJ．
【解答】解：
过G作GP∥BC，交AD于P，AE于Q，则
=
，
∵BD=
BC，
∴
=
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理可得：
=
，
即
=
，
∴
，
∴
=
，
∴
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