高中数学极限.docx
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高中数学极限
高中数学极限、数学归纳法
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）
1．（精选考题·高考）（1＋＋＋…＋）＝（ ）
A.B.C．2D．不存在
解析：
（1＋＋＋…＋）＝＝.
答案：
B
2．设函数f（x）＝（x＋1）2（x－2），则等于（ ）
A．6B．2
C．0D．－6
解析：
∵＝＝3x－3，
∴＝－6.
答案：
D
3．已知函数f（x）＝在x＝1处连续，则f－1（3）等于（ ）
A．0B．1
C．－D.
解析：
∵函数f（x）在x＝1处连续，∴f
（1）＝＝4.又当x＝1时，f
（1）＝a＋1，∴a＝3.当x＞1时，令＝3，得x＝0或1，不满足题设．当x≤1时，令3x＋1＝3，得x＝，满足题设．∴f－1（3）＝.
答案：
D
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边的变化是（ ）
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加，两项，同时减少一项
D．以上结论均错
解析：
n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，
故增加，两项，减少一项．
答案：
C
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由Sn＝n2an知Sn＋1＝（n＋1）2an＋1，
∴Sn＋1－Sn＝（n＋1）2an＋1－n2an，
∴an＋1＝（n＋1）2an＋1－n2an，∴an＋1＝an（n≥2）．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，
∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.
猜想an＝.
答案：
B
6．设a，b满足＝－1，则等于（ ）
A．1B.
C.D.
解析：
依题意得a＝2，
＝
＝（x－b）＝2－b＝－1，因此b＝3.故
＝＝＝.
答案：
C
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
7．设a＝，则1＋a＋a2＋a3＋…＝________.
解析：
∵a＝＝
＝＝，
∴1＋a＋a2＋a3＋…＝2.
答案：
2
8．已知函数f（x）＝在点x＝0处连续，则a＝________.
解析：
由题意得f（x）＝（x2－1）＝－1，f（x）＝acosx＝a，由于f（x）在x＝0处连续，因此a＝－1.
答案：
－1
9．已知logab＞1（0＜a＜1），则＝________.
解析：
logab＞1,0＜a＜1得0＜b＜a，
∴＝＝－1.
答案：
－1
三、解答题（本大题共3个小题，共46分）
10．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和Sn＝（n2＋n）·3n.
（1）求；
（2）证明：
＋＋…＋＞3n.
解：
（1）因为＝
＝（1－）＝1－，
＝＝，
所以＝.
（2）证明：
当n＝1时，＝S1＝6＞3；
当n＞1时，＋＋…＋＝＋＋…＋
＝（－）·S1＋（－）·S2＋…＋[－]Sn－1＋·Sn＞＝·3n＞3n.
综上知，当n≥1时，＋＋…＋＞3n.
11．（本小题满分15分）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a3＝2，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3,4,5，….
试用数学归纳法证明：
an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…；
证明：
①当n＝3时，a3＝2＝a1＋2，所以等式成立；
②假设当n＝k≥3时等式成立，即ak＝ak－2＋2.
而由题设有ak＋1ak＝（ak－1＋2）（ak－2＋2）．
由ak－2是非负整数，得ak＝ak－2＋2≠0，
∴ak＋1＝ak－1＋2，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合①②得：
对任意正整数n≥3，
都有an＝an－2＋2.
12．（本小题满分16分）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列．
（1）求a2，a3，a4并推出an的表达式，
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
解：
∵an，Sn，Sn－成等比数列，
∴S＝an（Sn－）（n≥2）①
（1）由a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入①得a2＝－，
由a1＝1，a2＝－，S3＝＋a3代入①得a3＝－.
同理可得a4＝－，由此可推出
an＝.
（2）证明：
①当n＝1、2、3、4时，由
（1）知猜想成立，
②假设n＝k（k≥2，k∈N*）时，
ak＝－成立．
故S＝－·（Sk－），
∴（2k－3）（2k－1）S＋2Sk－1＝0，
∴Sk＝，Sk＝－（舍）．
由S＝ak＋1·（Sk＋1－）得
（Sk＋ak＋1）2＝ak＋1（ak＋1＋Sk－），
∴＋a＋＝a＋－ak＋1，
∴ak＋1＝，
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知an＝
对一切n∈N*成立．
1．（＋）等于（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
∵＋＝
＝＝＝，
∴（＋）＝＝＝2.
答案：
B
2．函数f（x）＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，而在点x＝－2处不连续，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（－2,1）B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C．（－2,1）∪（2，＋∞）D．（－∞，－2）∪（1,2）
解析：
由已知得：
f（x）＝，则f（x）＞0的解集为（－2,1）∪（2，＋∞）．
答案：
C
3．设常数a＞0，（ax2＋）4的展开式中x3的系数为，则li（a＋a2＋a3＋…＋an）＝________.
解析：
∵Tr＋1＝Ca4－rx8－，令8－＝3，得r＝2，∴x3的系数为Ca2＝6a2＝，则a＝，
∴li（a＋a2＋a3＋…＋an）＝＝1.
答案：
1
4．（精选考题·高考）将直线l1：
x＋y－1＝0，l2：
nx＋y－n＝0，l3：
x＋ny－n＝0（n∈N*，n≥2）围成的三角形面积记为Sn，则Sn＝________.
解析：
如图所示，
由得
则直线l2、l3交于点A（，）．
Sn＝×1×＋×1×－×1×1＝－，
Sn＝（－）＝－＝1－＝.
答案：
5．对于数列{xn}，满足x1＝，xn＋1＝；函数f（x）在（－2,2）上有意义，f（－）＝2，且满足x，y，z∈（－2,2）时，有f（x）＋f（y）＋f（z）＝f（）成立．
（1）求f（）的值；
（2）求证：
{f（xn）}是等比数列；
（3）设{f（xn）}的前n项和为Sn，求li.
解：
（1）由x＝y＝z＝0⇒3f（0）＝f（0），∴f（0）＝0，
令z＝0，得f（x）＋f（y）＝f（x＋y），
再令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝f（0）＝0，
则f（－x）＝－f（x）．
所以f（）＝f（）＋f（）＋f（）＝3f（）
＝－3f（－）＝－6.
（2）证明：
由x1＝，结合已知可得
0＜xn＋1＝＝≤＜2；
由f（xn＋1）＝f（）＝f（）＝f（xn）＋f（xn）＋f（xn）＝3f（xn），
得＝3，即{f（xn）}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f（xn）＝－2×3n.
（3）由Sn＝＝＝3×（1－3n），
得＝＝＝－.
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