中考数学基础题型提分讲练专题16一次函数综合题.docx
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中考数学基础题型提分讲练专题16一次函数综合题
专题16一次函数综合题
考点分析
【例1】（2019-浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线
4分别交X轴、
2
y轴于点B,
C,正方形AOCD勺顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF!
DE于点F,连结0E动点P在A0上从点A向
n1一
（2）设点Q2为（m,n），当tan/EOF寸，求点Q的坐标；
m7
（3）根据
（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.
1延长AD交直线BC于点Q,当点Q在线段QQ上时，设QQ=s,ANt，求s关于t的函数表达式.
2当卩0与厶OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.
3—1630
【答案】
（1）（8,0）,OE2J5;
（2）（6,1）;（3）①s-J5tJ5，②AP的长为一或一•
2519
解:
（1）令y0，则
•••x8,
1
X
2
40,
•••B为8,0.
•-C为0,4,
在RtVBOC中，BC
82
424、5.
又•••E为BC中点，•
OE
1BC2\5
【解析】
2
（2）如图，作EMOC于点M，则EM//CD,
•••VCDNsVMEN,
CN
CD
-1
?
MN
EM
CN
MN
1,
EN
12
42.17
EN
OF（
ONEM,
OF
34
12帀,
Al17
由勾股定理得EF
17
•tanEOF-,
6
.n171
m766'
1’
tnm4,
2
•m6,n1,
•-Q2为6,1
•s关于t成一次函数关系,
设s
kt
b,
t2t
4
2k
b
2.5
k\5
将—和
s2、、5s
5-5
代入得
4k
b
厂，解得
55
2
b5
•s爲.
2
②（i）当PQ//OE时，
（如图）
QPB
1EOB
OBE,
作OHx轴于点
•••BQ6、5s
又：
cosQBH
H，贝VPHBH1PB.
2
7.5
2
BH143t,
•••PB28
6t,
•t286t
12,
P作PH
•t16
VQ-QGsVCBO得Q3G:
QG:
Q3Q1:
2:
GQ于点H，由
Q3Q
s
—.5t
2
5
Q3G
3t
2
1,QG
3t
2,
PH
AG
AQ3
Q3G
6
§t
2
QH
QG
AP:
3t2
t
2t2
HPQ
CDN,
tan
HPQ
tan
CDN
1
3
1
•2t2
3
2t，
...t30
團3
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行•
综上所述，当PQ与VOEF的一边平行时，AP的长为16或30.
519
【点睛】
此题是一次函数的综合题，主要考查了：
用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三
角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题.
1
【例2】（2019•射阳县）如图，已知函数y-xb的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x
的图象交于点M点M的横坐标为2.在x轴上有一点P（a,0）（其中a>2）,过点P作x轴的垂线，分别
1
交函数yxb和y=x的图象于点C,D.
2
（1）求点A的坐标；
【解析】
解：
（1）•••点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2,•••点M的坐标为（2,2）,
1
把M（2,2）代入y=-x+b得-1+b=2，解得b=3,
2
•••一次函数的解析式为y=-x+3,
2
11
把y=0代入y=-x+3得-—x+3=0,解得x=6,
22
•A点坐标为（6,0）;
1
（2）把x=0代入y=-x+3得y=3,
2
•B点坐标为（0,3）,
•/CD=OB
•CD=3
•/PCLx轴，
一1一
•C点坐标为（a，-一a+3）,D点坐标为（a,a）
2
1
--a-（-—a+3）=3,
2
•a=4.
考点集训
1.（2019-重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数
展开探索.画函数y2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示;
经历同样的过程画函数y2|x|2和y2|x2|的图象如图所示.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
（1）观察发现：
三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数
相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化•写出点A,B的坐标和函数
y-2|x2|的对称轴.
（2）探索思考：
平移函数y2|x|的图象可以得到函数y2|x|2和y2|x21的图象，分别写
出平移的方向和距离.
（3）拓展应用：
在所给的平面直角坐标系内画出函数y2|x3|1的图象.若点xl,y1和x2,y2）在
该函数图象上，且X2&3，比较yi,y的大小.
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
解:
（1）A（0,2）,B（2,0），函数y2|x2|的对称轴为x2;
（2）将函数y2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y2|x|2的图象；
将函数y2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y2|x2|的图象；
（3）将函数y2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y2|x3|1的图象.所画图象如图所示，当X2为3时，y1y.
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【点睛】
本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解
题的关键.
2.（2019•江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x,,y），点
Q的坐标为（X2,y2），且x,X2,yiy2，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐
标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的"相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.
Fi
4
i
1
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2
1
D
■
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11』JLJL—
i一■*=-*■■
1114S,
J
（1）已知点A的坐标为（1,0）.
1若点B的坐标为（3,1）求点A,B的“相关矩形”的面积；
2点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）00的半径为，点M的坐标为（m3）.若在00上存在一点N,使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.
【答案】
（1）①2；②yx1或yx1；
（2）Kme5或者5m1.
【解析】
（1［①S=2X仁2;
②C的坐标可以为（3,2）或者（3,-2），设AC的表达式为y=kx+b，将AC分别代入AC的表达式得到：
｛2
kb或｛0
3kb2
kb
3k
k
b，解得：
｛b
1或｛b
1
，则直线ac的表达式为y
1
x1;
（2）若00上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1,即过M点作k=±l的直线，
与OO有交点，即存在N,当k=—1时，极限位置是直线与00相切，如图11与|2，直线11与00切于点N,
ON=/2，/0NM=9°,•••h与y交于R（0,-2）.M1（g,3）,•••3
（2）0gg=-5,「.M1
（-5,3）;同理可得M2（-1,3）;
当k=1时，极限位置是直线l3与l4（与00相切），可得M3（1,3）,M4（5,3）.
因此m的取值范围为Km<5或者5m1.
考点：
一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力.
3.（2019-山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点
直线分别交y轴于BC两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：
直线AC与直线AB是否垂直？
请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P,使以AB、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？
若存
在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）4;
（2）ACLAB理由见解析；（3）D（-2翻,1）;（4）点P的坐标为（-3晶,0）,（-右，
2）,（-3,3一右），（3,3+朽）.
【解析】
（1）vx2-2x-3=0,
•••x=3或x=-1,
•••B（0,3）,C（0,-1）,
••BC=4
（2）TA（-J,0）,B（0,3）,C（0,-1）,•••OA=j',0B=3OC=1
•••0尼0田OC
•••/AOCHBOA=90,
•△AOC^BOA
•••/CAOMABO
•••/CAOMBAOMABOMBAO=90,
•••/BAC=90,
•ACLAB
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b,
把A（--「,0）和C（0,-1）代入y=kx+b,
-1二b
•/DB=DC
•••点D在线段BC的垂直平分线上,•D的纵坐标为1,•••把y=1代入y=-二x-1,
•-x=-2J,
•D的坐标为（-2J•,1）,
（4）设直线BD的解析式为：
y=mx+n,直线BD与x轴交于点E,
把B（0,3）和D（-2J•,1）代入y=mx+n,
...严,
11=~
解得,
•直线BD的解析式为：
y=1x+3,
3
•x=-3J,
•E（-3「，0）,
•••OE=3J,
•tan/BEC
同理可求得：
/ABO=30,•/ABE=30,
当PA=AB时，如图1,
此时，/BEAKABE=30,
•••EA=AB
•••P与E重合，
•P的坐标为（-3J，0）,
当PA=PB时，如图2,
此时，/PAB=/PBA=30,
•••/ABE=/ABO=30,
•••/PAB=/ABO
•PA//BC
•••/PAO=90,
•••点P的横坐标为-J,
令x=-「代入y=二x+3,
3
•y=2,
•P（-J,2）,
当PB=AB时，如图3,
•由勾股定理可求得：
AB=2J,EB=6,若点P在y轴左侧时，记此时点P为Pi,过点Pi作PiF丄x轴于点F,
•••PiB=AB=2j,
•EPi=6-2-「,
•
sin/BEO
•FPi=3-J,
令y=3-J代入y==^x+3,
•x=-3,
•••Pi（-3,3-.「）,
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2,
过点P2作P2G丄x轴于点G,
•P2B=AB=2J,
•GR=3+*,令y=3+J代入y=二x+3,
•x=3,
•P2（3,3+J）,
综上所述，当ABP三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-3羽,0）,（-朽，2）,
（-3,3-/）,（3,3+J）.
考点：
一次函数和三角形的综合题.
4.（2019•内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：
如图1,四边形ABCC中，AD//BC点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.求
证：
S四边形abcD=Saabf.（S表示面积）
问题迁移：
如图2,在已知锐角/AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN分别交射线OA0B于点M
N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时，
△MON的面积最小，并说明理由.
Aj
\c
/\
占
0（图3）佥\B
0
（图4）J
实际应用：
如图3,若在道路OAOB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OAOB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区厶MON若测得/AOB=660，/POB=30o,
OP=4km,试求AMON的面积.（结果精确到0.1km2）（参考数据：
sin660〜0.91,tan660〜2.25,.3~1.73）
拓展延伸：
如图4,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、BCP的坐标分别为（6,0）、（6,3）、
99
—、（4,2）,过点P的直线I与四边形OAB（一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中
22
以点O为顶点的四边形的面积的最大值.
【答案】问题情境：
见解析
问题迁移：
见解析
实际运用：
•••Smon10.3km2。
拓展延伸：
截得四边形面积的最大值为10
【解析】
问题情境：
证明：
•••AD//BC•••/DAE=/F,ZD=ZFCE
•••点E为DC边的中点，•DE=CE
DAEF
•••在△ADE和厶FCE中，｛DFCE,
DECE
•••△ADE^AFCE（AAS。
/•S△ad=Safce。
•S四边形abce+S\adE=S四边形abce+Safce,即卩S四边形abc=Saabf。
问题迁移：
当直线旋转到点P是MN的中点时SAMON最小，理由如下:
如图2，过点P的另一条直线EF交OAOB于点E、F,
02
设PFvPE过点M作MG/OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形mof=S\mo。
•「S四边形mofVSaeof,/・SamoVS^EOFo
/•当点P是MN的中点时SamoN最小。
实际运用：
如图3,作PP丄OBMMOB垂足分别为Pi,M,
2
由问题迁移的结论知，当PM=PN寸，△MON的面积最小,
•MM=2PP=4,MPi=PiN。
在Rt△OMM中,tanAOB，即2.25—
OM1OM1
二OM1
二ON
16。
二MFPN2316。
99
ORRN2>/32/316
43
16
。
9
〔ONMM11
22
8,31610.3km2。
9
P的直线I
与四边形OABC的一组对边OGAB分别交于点MN,延长
AB
拓展延伸：
①如图4,当过点
•/A（6,0）,•••OA=6•••AD=6
由问题迁移的结论可知，当
PN=PM寸，△MND的面积最小,
•四边形ANMO勺面积最大。
作PR丄OAMMOA垂足分别为R,M,
•・M1卩1=卩1A=2o・•OM=MM=2…MN/OA
…S四边形OANMOMM1S四边形ANPP1
②如图5，当过点P的直线I与四边形
OABG勺另一组对边CBOA分别交MN,延长CB交x轴于T,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
•••{2k
6k
-
2，解得:
3
{b
•••直线BC的解析式为yx9o
当y=0时，x=9,•T（9,0）o
由问题迁移的结论可知，当
•四边形CMN啲面积最大。
PM=PN寸，△MNT的面积最小,
1
9小
81
SOCT—
-9
o
2
2
4
•NR=MPi,MM=2PR=4o•4X9，解得x=5o「.M（5,4）。
•0M=5。
•P（4,2）,•OPi=4o「.PiM=NR=1o「.0N=3•NT=6
--SMNT
4612o
…S四边形OCMN
8112
33•综上所述：
截得四边形面积的最大值为10o
一2一
5.（2019-贵州初三）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、
3
B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运
动，点A关于点P的对称点为点Q以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒.
1一
（1）当t=秒时，点Q的坐标是;
3
（2）在运动过程中，设正方形PQMNfAAOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN寸角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.
s
为
、、,
o
qp丄、ro
A\X
33°43Qc4
【答案】
（1）（4,0）;
（2）①当0vtwi时，S=一t2;②当1vtw—时，S=-一t2+18t；③当—vtW2
4343
时，S=-3t2+12;（3）OT+PT勺最小值为32.
【解析】
（1）令y=0,
/•-2x+4=0,
3
•••x=6,
二A（6,0）,
11
当t=秒时，AP=3^=1,
33
•OP=OAAP=5
•-P（5,0）,
由对称性得，Q（4,0）;
（2）当点Q在原点O时，OQ=6
1
•AP=_OQ=3
2
••t=3—3=1,
•y=4,
/•OB=4
A（6,0）,
•••0A=6
OB2在Rt△AOB中，tan/OAB==,
OA3
由运动知，AP=3t,
•-P（6-3t,0）,
•Q（6-6t,0）,
•PQ=AP=3,
•••四边形PQMN是正方形，
•MIN/OAPN=PQ=3,
AP
3t
3
PD=2t,
DN=t,
MIN/OA
/DCNMOAB
/DN
t
2
tan/DCN=
CN
CN
3
3CN=—t,
2
（3t）
2
1
3
332
S=S正方形PQMNSACDr=
-1
x-1=
t;
2
2
4
亠人出/PDPD2
在Rt△APD中，tan/OAB=—
4
②当1vt<4时，如图2,同①的方法得,
DN=t,CN=^t,
2
4
③当一VtW2时，如图3,S=S梯形OBD=
1
tx
2
12（2t+4）（6-3t）=-3t+12;
3t=-39t2+18t;
24
（3）如图4,由运动知,P（6-3t,0）,Q（6-6t,0）,
•••M（6-6t,3t）,
•••T是正方形PQMN勺对角线交点，
93
--T（6-t,t）,
22
•••点T是直线y=-】x+2上的一段线段，（-3Wxv6）,
3
同理：
点N是直线AGy=-x+6上的一段线段，（Owx<6）,
•G（0,6）,
•OG=6
•A（6,0）,
•AG=62，在Rt△ABG中，OA=6=OG
•••/OAG=45,
•/PNLx车由，
•••/APN=90,
•••/ANP=45,
•••/TNA=90,
即：
TNIAG
•T正方形PQMN勺对角线的交点,
•TN=TP
•OT+TP=OT+TN
•••点O,T,N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ONLAG时，OT+TN最小,
即：
OT+TN最小,
•Saoag=1OAKOG=1AG22
•oN=OAnoo
AG
即：
OT+PT勺最小值为32
求直线MN的解析式;
此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理,
T的位置是解本题（3）的难点.
锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点
6.（2019-武汉市第八中学初三期中）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两
点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OAOC（OA>OC的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实
（2）
（3）
在直线MN±存在点P,
使以点
P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标.
【答案】
（1）C（0,
6）.
（2）y=3x+6.
4
（3）Pi（4,3）,P2
P3
（鱼，）,P4（256,42）.
552525
【解析】
（1）解方程x2-14x+48=0得
Xi=6,X2=8
•/OAOC（OA>00的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根
•••0C=60A=8
•••C（0,6）
（2）设直线MN的
升级会员 