max（St−L,O）=0
从而:
其中:
P：
（St>L）的概率E[St|St>L]：
既定（St>L）下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C=Pe−rT（E[St|St>L]−L）这样期权定价转化为确定P和E[St|St>L]。
首先，对收益进行定义。
与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格（St）与现价（S）比值的对数值，即收益=lnSt/S=ln（St/L）。
由假设1收益服从对数正态分布，即ln（St/L）～
，所以E[lN（St/S]=μt，St/S～
可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:
E[St/S]=eμt+σ2T2=erT从而，μt=T（r−σ2），且有σt=σT
其次，求（St>L）的概率P，也即求收益大于（LS）的概率。
已知正态分布有性质:
Pr06[ξ>x]=1−N（x−μσ）其中:
ζ：
正态分布随机变量
x：
关键值
μ-ζ的期望值
σ-ζ的标准差
所以:
P=Pr06[St>1]=Pr06[lnSt/s]>lnLS= :
LN−lnLS−（r−σ2）TσTnc4由对称性:
1−N（d）=N（−d）P=NlnSL+（r−σ2）TσTarS。
第三，求既定St>L下St的期望值。
因为E[St|St>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
E[St|St]>=SerTN（d1）N（d2）
其中:
最后，将P、E[St|St]>L]代入（C=Pe−rT（E[St|St>L]−L））式整理得B-S定价模型:
C=SN（d1）−Le−rTN（d2）
（二）看跌期权定价公式的推导
B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论（Put-callparity）可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
S+Pe（S,T,L）=Ce（S,T,L）+L（1+r）−T
移项得:
Pe（S,T,L）=Ce（S,T,L）+L（1+r）−T−S，
将B-S模型代入整理得:
此即为看跌期权初始价格定价模型。
（三）B-S模型应用实例
假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求d1:
=0.0328
②求d2:
③查标准正态分布函数表，得:
N（0.03）=0.5120 N（-0.06）=0.4761
④求C:
C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。
如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。
在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
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B-S模型的发展、股票分红
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
（一）存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t（即除息日）支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:
S'=S−Dte−rT。
如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。
从而将B-S模型变型得新公式:
（二）存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率（设为δ）支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。
值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。
因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。
因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:
S（1-E-δT），所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:
C=S•E-δT•N（D1）-L•E-γT•N（D2）
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B-S模型的影响
自B-S模型1973年首次在政治经济杂志（JournalofpoLiticalEconomy）发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。
该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。
到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。
衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。
新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。
结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。
我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。
因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
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对B-S模型的检验､批评与发展
B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。
但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。
1977年美国学者伽莱（galai）利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。
此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。
其中比较有影响的代表人物有特里皮（trippi）､奇拉斯（chiras）､曼纳斯特（manuster）､麦克贝斯（macbeth）及默维勒（merville）等。
综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：
1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。
2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。
3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。
4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。
但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。
对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。
而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。
不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：
首先，对股价分布的假设。
布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。
麦顿（merton）､约翰·考克斯（JohnCarringtonCox）、斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross）、马克·鲁宾斯坦（MarkRubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。
他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。
其次，关于连续交易的假设。
从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。
但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：
1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。
因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。
再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。
布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。
有的学者（包括布莱克本人）曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。
此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。
而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。
不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。
他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。
具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息（d）的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。
若是美国买方期权，情况稍微复杂。
第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。
第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格（x-d）替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。
第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。
需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。
二项期权定价模型
二项期权定价模型（binomaloptionpricemodel，SCRRModel，BOPM）
二项期权定价模型概述
Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程难以为人们所接受。
在1979年,罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型,称为二项式模型（BinomialModel）或二叉树法（Binomialtree）。
二项期权定价模型由约翰·考克斯（JohnCarringtonCox）、斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross）、马克·鲁宾斯坦（MarkRubinstein）和威廉·夏普（WilliamF.Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。
二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上（或向下）波动的概率和幅度不变。
模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
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构建二项式期权定价模型
1973年，布莱克和休尔斯（BlackandScholes）提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，约翰·考克斯（JohnCarringtonCox）、斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross）在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，约翰·考克斯（JohnCarringtonCox）、斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross）、马克·鲁宾斯坦（MarkRubinstein）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：
一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。
二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。
二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：
上涨或者下跌。
虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。
二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。
BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。
这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。
与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。
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二叉树思想
1：
Black-Scholes方程模型优缺点：
优点：
对欧式期权，有精确的定价公式；
缺点：
对美式期权，无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。
2：
思想：
假定到期且只有两种可能，而且涨跌幅均为10%的假设都很粗略。
修改为：
在T分为狠多小的时间间隔Δt，而在每一个Δ
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