春季人教版八年级数学下册教学设计第十九章 一次函数.docx
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春季人教版八年级数学下册教学设计第十九章一次函数
第十九章 一次函数
19．1 函 数
19．1.1 变量与函数
第1课时 变量与常量
理解变量、常量的概念．
重点
变量与常量的概念，变量之间的关系．
难点
理解并掌握变量以及变量之间的关系．
一、创设情境，引入新课
情境问题：
一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
师：
在以上过程中，有没有变化的量？
有没有始终不变的量？
生：
变化的量是时间和路程，不变的量是速度．
师：
1小时路程为60千米，2小时路程为2×60千米，…，所以t小时路程为60t千米，即s＝60t.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，在这些问题中都有变化着的量和始终不变的量．
二、讲授新课
1．每张电影票零售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少元？
设一场电影售出x张票，如何用含x的式子表示票房收入y元？
生：
早场收入为150×10＝1500（元），午场收入为205×10＝2050（元），晚场收入为310×10＝3100（元），当售出的票数为x张时，收入y＝10x.
师：
在这个过程中有没有变化着的量与始终不变的量？
生：
有，售出的张数与票房收入是变化着的量，每张电影票的售价是始终不变的量．
2．活动一：
请大家动手画出一个面积为10cm2，20cm2的圆各一个．
生：
必须先根据圆的面积公式算出半径，再画圆．
师：
那么它们的半径各是多少呢？
生：
第一个圆的半径为
≈1.8（cm）；第二个圆的半径为
≈2.5（cm）．
师：
如果圆的面积为S，怎样表示出半径r?
生：
r＝
.
师：
在这个过程中，变量与常量各是什么？
生：
这里变量是S和r，常量是π.
3．活动二：
用10m长的绳子围成长方形，改变长方形的长度，观察长方形面积的变化，并记录不同长方形的长度值，计算相应的面积．
生1：
当长为4m时，宽为1m，面积为4×1＝4（m2）．
生2：
当长为3m时，宽为2m，面积为3×2＝6（m2）．
师：
设长方形的长度为xm，如何求出它的面积S?
生：
当长为xm时，它的宽是（5－x）m，因此它的面积是S＝x（5－x）m2.
师：
长方形的长与宽以及面积是变量，绳子的总长是常量．
这些问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化的，像这种数值发生变化的量称为变量，有些量的数值始终不变，像这种数值始终不变的量称为常量．
三、巩固练习
1．购买一些练习本，单价0.5元/本，总价y（元）随练习本本数x的变化而变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
【答案】y＝0.5x，其中x，y是变量，0.5是常量．
2．一个三角形的底边长10cm，高h可以任意伸缩，写出面积S随h变化的关系式，并指出其中的常量与变量．
【答案】S＝
×10h＝5h，其中，S，h是变量，5是常量．
四、课堂小结
变量：
在一个变化过程中数值发生变化的量．
常量：
在一个变化过程中数值始终保持不变的量．
本节课从学生熟知的生活出发，抽象出函数中基本的两个概念：
常量与变量，然后通过练习进一步掌握．像这样取材于学生生活，结合学生已有的经验进行教学，正是新课标所要求的． 第2课时 函 数
理解函数的概念，准确写出函数的关系式．
重点
函数的概念，函数解析式的求法．
难点
函数概念的理解．
一、创设情境，引入新课
师：
上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？
当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？
这将是我们这节课要研究的内容．
二、讲授新课
师：
观察问题
（1）中的表格，时间t和路程s是两个变量，但当t取定一个值时，s也随之确定一个值.
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
60
120
180
240
300
生：
是的，当t＝1时，s＝60；当t＝2时，s＝120；…；当t＝5时，s＝300.
师：
问题
（2）也是一样的，当早场x＝150时，收入y＝1500；当午场x＝205时，y＝2050；当晚场x＝310时，y＝3100.也就是说售票张数x与票房收入y是两个变量，但当x取定一个值时，票房收入y也就确定一个值．
师：
问题（3）中，当圆的半径r＝10cm时，S＝100πcm2，当r＝20cm时，S＝400πcm2等，也就是说…
生：
也就是说当圆的半径r取定一个值时，面积S也随之确定，并且S＝πr2.
师：
问题（4）中，当长为4m时，面积为4m2；当长为3m时，面积S为6m2；当长x为2.5m时，面积S为6.25m2，也就是说…
生：
也就是说当长x取定一个值时，面积S也就随之确定一个值．
师：
当长取定为xm时，面积S等于多少呢？
生：
S＝x·（5－x）＝5x－x2.
师：
像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？
它们之间的关系如何用式子表示？
生1：
问题
（1）中，时间t是自变量，路程s是t的函数，s＝60t.
生2：
问题
（2）中，售票数量x是自变量，收入y是x的函数，y＝10x.
生3：
问题（3）中，圆的半径r是自变量，面积S是r的函数，S＝πr2.
生4：
问题（4）中，长方形的长x是自变量，面积S是x的函数，S＝x（5－x）．
师：
其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：
心脏部位的生物电流，y是x的函数吗？
生：
y是x的函数，因为在心电图里，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应．
师：
很好！
再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y是年份x的函数吗？
中国人口数统计表
年份
人口数/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
2010
13.71
生：
是的，因为对于表中每一个确定的年份，都对应着一个确定的人口数．
教师总结：
（再一次叙述函数的定义）像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．
如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量x＝a时的函数值，例如在问题
（1）中当t＝1时的函数值s＝60，当t＝2时的函数值s＝120.在人口统计表中当x＝1999时，函数值y＝12.52亿．
【例】教材第73页例1
师：
关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．
求下列函数中自变量x的取值范围：
y＝2x2－5；
y＝
；
y＝
.
生1：
对于y＝2x2－5，x没有任何限制，x可取任意实数．
生2：
对于y＝
，（x＋4）必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4.
生3：
对于y＝
，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.
三、巩固练习
下列问题中，哪些是自变量？
哪些是自变量的函数？
写出用自变量表示函数的式子．
1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．
【答案】S＝x2，x是自变量，S是因变量．
2．秀水村的耕地面积为106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．
【答案】y＝
，n是自变量，y是因变量．
四、课堂小结
本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．
本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识．
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
（1）
准确地运用列表、描点、连线等步骤画出函数的图象．
重点
函数图象的画法，观察分析图象的信息．
难点
函数图象的理解，概括图象中的信息．
一、创设情境，引入新课
下面是一张心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，变量y随x的变化而变化．
师：
这个问题中的函数关系很难用式子表示，但是可以用图象直观地反映出来．事实上即使对能用函数关系式表示的函数，如果用图形表示，则会使函数关系更清晰．这就是我们这节课所要学习的内容——函数的图象．
二、讲授新课
师：
如何表示出正方形的面积S与边长x的函数关系呢？
自变量x的取值范围又如何？
生：
正方形的面积S与边长x的函数关系式为S＝x2，其中自变量的取值范围是x＞0.
师：
我们如何用画图的方法来表示S与x的关系呢？
既然对于自变量x的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与其对应，那么我们就列出其中的一部分：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
0
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
16
把其中x的值作为点的横坐标，S的值作为纵坐标，那么这些对应值就在平面直角坐标系中对应9个点，请大家画出这样的9个点．
学生画出平面直角坐标系并描出这样的9个点．
师：
这个图形上只有这9个点吗？
生：
不是的，因为x的取值不止这9个，点也就不止9个．
师：
那么其他的点我们还可以像这样一一地描出来吗？
生：
不能，因为有无数个点．
师：
其他的点我们怎样画出来呢？
生：
…
师：
其他的点我们不是一一描出的，而是根据这9个特殊点的位置来确定的，也就是用平滑的曲线把这9个点按从左到右的顺序连接起来．
教师一边讲一边用平滑的曲线连接这些点，并要求学生跟着连线．
师：
这个图形我们就称作是函数S＝x2的图象．由于x≠0，所以原点不在图象上，应用空心圆圈表示．
教师总结：
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内的这些点组成的图形就是这个函数的图象．
师：
函数图象为我们利用数形结合的思想研究函数提供了便利，另外，函数图象也给我们带来许多信息，大家从下面的图象中可以得到哪些信息？
生1：
我知道这天的最高气温是8℃，是中午14点时产生的；最低气温是－3℃，是凌晨4点产生的．
师：
请大家仔细观察，看还能得到哪些信息？
如果学生不能回答，提醒学生从气温的变化趋势上考虑．
生2：
我知道从0时至4时，气温呈下降状态；从4时至14时，气温呈上升状态；从14时至24时，气温又呈下降状态．
师：
我们还可以从图象中看出这一天任一时刻的气温大约是多少，另外长期观察这样的气温图象，我们还能掌握气温的变化规律．
三、例题讲解
【例1】教材第76页例2
【例2】教材第77页例3
四、巩固练习
用描点法画出函数y＝
（x≠0）的图象．
【答案】略
五、课堂小结
用描点法画函数图象的步骤：
第一步：
列表，在自变量取值范围内选定一些值，求出对应的函数值；第二步：
描点，在平面直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，描出对应各点；第三步：
连线，按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑曲线连接起来．
本节课让学生自己动手一步一步地按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，并且在老师的详细讲解下理解了图象的概念．这种通过学生自己动手来接受新知识的方法以后还要加强．
第2课时 函数的图象
（2）
进一步理解并掌握函数的不同表示方法，会发现函数图象所提供的信息．
重点
从图象中提取信息，利用图象解决问题．
难点
利用函数的图象解决问题．
一、创设情境，引入新课
师：
我们在前面几节课已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析法和图象法．大家思考一下，从前面的例子看，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？
在遇到实际问题时又该如何选择这些方法？
这就是我们这节课要研究的问题．
二、讲授新课
师：
从以前的活动可以看出，函数的表示方法有三种：
列表法、解析法和图象法，下面我们通过一个活动来探究这三种方法的优缺点．
活动：
水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5个小时的水位高度.
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
…
师：
这是用什么方法来表示函数的？
生：
列表法．
师：
它比较直观，如果我们要更准确地了解这5个小时中水位高度y（米）随时间t（时）的关系，我们可以用什么方法？
生：
解析法．
师：
下面我们就来求y与t的函数关系式．由于开始时水位高度为3米，以后每隔1小时水位升高0.3米，于是我们有y＝0.3t＋3，由于这段时间是指5小时内，因此0≤t≤5.如果我们要想更形象、更直观地了解这两个变量间的关系，进而预测水位，哪种方法比较好呢？
生：
图象法．
师：
好，下面我们就来看这个函数的图象，如下图所示．
师：
如果估计这种上涨规律还会持续2小时，那么利用哪种方法还可以预测出再过2小时以后的高度呢？
生1：
利用函数解析式可以得到，当t＝7小时时，y＝0.3×7＋3＝5.1（米）．
生2：
利用图象也可以预测出当t＝7小时时水位的高度．
师：
两个同学讲得都很好！
利用解析式求2小时后的水位比较准确，通过图象估算比较直接、方便．刚
才这个活动，我们主要了解的是函数的三种表示方法的优缺点以及相互转化．具体说，列表法比较直观地反映出函数中两个变量的关系，但它不够全面，也不如图象法形象；解析法能比较全面、准确地表示出两个变量的关系，但它不够直观形象；图象法能形象、直观地反映出两个变量的关系，但它不够准确．也就是说这三种方法各有优缺点，在实际问题中我们要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法．
三、巩固练习
1．用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．
四、课堂小结
通过本节课的学习，我们认识了函数的三种不同表示方法，学会根据具体情况选择适当的方法来解决问题，另外我们进一步根据图象发现其中所蕴含的信息．
本节课中函数的三种表示方法的优缺点是学生在比较中自己发现的，爬山问题中图象的信息也是学生通过交流、讨论以及老师的适当提醒发现的，像这样让学生在交流、探究中学习知识的方法是值得提倡的．
19.2 一次函数
19．2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数
（1）
理解并掌握正比例函数的概念及图象．
重点
正比例函数的概念、图象及性质．
难点
正比例函数的图象及性质．
一、创设情境，引入新课
问题：
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？
（结果保留小数点后一位）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：
km）与运行时间t（单位：
h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
分析：
（1）京沪高铁列车全程运行时间约需
1318÷300≈4.4（h）．
（2）京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为
y＝300t（0≤t≤4.4）．
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t的值，即y＝300×2.5＝750（km）．
这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站．
师：
这个函数中，t是自变量，y是t的倍数（300倍）．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应规律．像这样的函数就是我们今天所要讲的函数——正比例函数．
二、讲授新课
思考：
下列问题中的两个变量可用怎样的函数表示？
师：
圆的周长l随半径r的大小变化而变化，l是r的函数吗？
生：
l＝2πr，l是r的函数．
师：
铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的变化而变化，铁块的质量m是体积V的函数吗？
生：
m＝7.8V
师：
每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本的总厚度h（cm）随本数n的变化而变化的函数关系是怎样的？
生：
h＝0.5n.
师：
冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化，那么它的函数关系式是怎样的呢？
生：
T＝－2t.
师：
这些函数有什么共同特点呢？
学生思考并回答，教师予以总结．
师：
上面这些函数与y＝300x一样，函数都是自变量的倍数，或者说都是常数与自变量的乘积，像这种函
数就是正比例函数．
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
师：
y＝kx（k是常数，k≠0）是正比例函数的一般形式，注意k≠0的条件．下列函数是正比例函数吗？
①y＝
，②y＝
，③y＝kx，④y＝kx2，⑤y＝k2x（k≠0）．
生：
①⑤是的，其他的都不是．
三、例题讲解
（1）若y＝5x3m－2是正比例函数，则m＝________；
（2）若y＝（m－1）xm2是正比例函数，则m＝________.
解：
（1）3m－2＝1，即m＝1时，它为正比例函数；
（2）由题意可知
解得m＝－1.
四、课堂小结
1．正比例函数的定义
2．正比例函数的应用
本节课从实际问题中提出了正比例函数，让学生自主的分析发现函数的定义和规律，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力．
第2课时 正比例函数
（2）
会画正比例函数的图象．
重点
一次函数图象的画法．
难点
根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质．
一、复习引入
师：
什么样的函数是正比例函数？
生：
形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
师：
前面我们讲函数图象的画法时，是通过把解析式中的x，y的值分别取出来，作为横、纵坐标在直角坐标系中描点、连线来得到函数图象，那么对于正比例函数我们同样可以用列表、描点、连线的方法来画出它的图象．
二、讲授新课
操作：
画出正比例函数y＝2x，y＝－2x的图象．
师：
由于k≠0，所以k＞0或k＜0，这两个函数刚好一个k＞0，一个k＜0.显然这里的图象和前面一样是通过列表、描点、连线完成的．
第一个图象老师带学生画，第二个图象由学生独立完成，教师巡视指导．
1．函数y＝2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
－6
－4
－2
0
2
4
6
画出图象如图
（1）．
2．y＝－2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
－2
－4
－6
画出图象如图
（2）．
师：
比较这两个图象的相同点与不同点．
学生讨论以后教师再进行总结．
师生共同总结：
两图象都是经过原点的一条直线；函数y＝2x的图象从左到右上升，经过第一、第三象限；函数y＝－2x的图象从左到右下降，经过第二、第四象限．
为了更好地发现并总结规律，师生一起在同一坐标系中画出函数y＝
x和y＝－
x的图象．
列表如下：
x
－6
－4
－2
0
2
4
6
y＝
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝－
x
3
2
1
0
－1
－2
－3
图象如图所示：
【例】请同学们在同一直角坐标系中画出函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象．函数y＝－1.5x中自变量x可为任意实数．下表是y与x的几组对应值.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
3
1.5
0
－1.5
－3
－4.5
…
如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y＝－1.5x的图象．
用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．
分析后得出结论．
师：
一般地，正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大反而减小．
既然我们已经知道正比例函数的图象是一条直线，那么我们以后画正比例函数的图象时，只需要描出两点，然后过这两点作一条直线即可．比如说，画直线y＝3x只需先指出两点（0，0）、（1，3），然后过这两点作出直线即可．
三、巩固练习
用简单的方法画出下列函数的图象，并对照两图象说出图象与函数的性质．
1．y＝
x.
2．y＝－3x.
四、课堂小结
本节课通过具体的正比例函数的图象探索出正比例函数的图象及其性质，这符合解决问题的一般途径．
本节课教师带领学生画正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察、总结，得到比例系数与函数图象间的关系． 19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数
（1）
了解一次函数的一般形式．
重点
一次函数的一般形式．
难点
探索实际问题中的一次函数关系．
一、创设情境，引入新课
问题：
某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系．
师：
每升高1km气温下降6℃，那么升高xkm，气温下降6x℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数．
二、讲授新课
思考：
下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？
这些函数有哪些共同点？
师：
在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C与t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差．这个函数的关系式怎么写？
生：
C＝7t－35.
师：
一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是：
以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是G的值，即：
G＝h－105.
某市的市内电话的月收费额y（元）包括月租费22元和拨打电话按0.1元/分收取，写出y与每月电话x（分钟）的函数关系式．
生：
y＝0.1x＋22.
师：
把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（cm2）随x的变化的关系式是什么？
生：
y＝5（10－x）＝－5x＋50.
师：
上述这些函数有什么共同特点？
比如说右边．
生：
右边都是自变量的倍数与一个常数的和．
师：
对，上述这些函数的右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数．
一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的
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