初二几何压轴.docx
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初二几何压轴
1.一位同学拿了两块45º三角尺△MNK和△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.
(1)如图1,重叠部分为△ACM,重叠部分的面积为______,周长为______.
(2)△MNK绕顶点M逆时针旋转45º,得到图2,重叠部分面积为__________,周长为__________.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图(3),请你猜想此时重叠部分的面积为___________.
(4)在图3的情况下,若AD=1,求出重叠部分图形的周长.
2.已知,正方形ABCD中,△BEF为等腰直角三角形,且BF为底,取DF的中点G,连接EG、CG.
(1)如图1,若△BEF的底边BF在BC上,猜想EG和CG的数量关系为;
(2)如图2,,△BEF的直角边BE在BC上,
(1)中结论是否还成立?
说明理由;
(3)如图3,△BEF,直角边BE在∠DBC内,
(1)中结论是否还成立?
说明理由.
3.如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.
(1)FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是;
(2)若将△BDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断
(1)中的结论是否仍然成立?
证明结论.
4.如图,在△ABC中,AC>AB,AD是角平分线,AE是中线,BF⊥AD于G,交AE于F,交AC于M,EG的延长线交AB于H,
(1)求证:
AH=BH
(2)若∠BAC=60°,求FG:
DG的值。
5.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图1放置,使点E在BC上,取DF的中点G,连接EG,CG.
(1)延长EG交DC于H,试说明:
DH=BE.
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DF中点G(如图2),莎莎同学发现:
EG=CG且EG⊥CG.在设法证明时他发现:
若连接BD,则D,E,B三点共线.你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?
请写出来.
(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0<α<90°),再连接DF,取DF的中点G(如图3),第2问中的结论是否成立?
若成立,试说明你的结论;若不成立,也请说明理由.
6.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG.
(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明;
(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°,再连接DF,取DF中点G(如图②),问
(1)中的结论是否仍然成立.证明你的结论;
(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问
(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论
7.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N.D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1所示,当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时
;(不必证明)
(2)如图2所示,点M、N在边AB、AC上,且当DMDN时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3所示,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=2,则Q=(用含有L的式子表示).
8.
如图,已知在正方形ABCD中,AB=2,P是边BC上的任意一点,E是边BC延长线上一点,联结AP.过点P作PF⊥AP,与∠DCE的平分线CF相交于点F.联结AF,与边CD相交于点G,联结PG.
(1)求证:
AP=FP;
(2)探索线段BP、DG、PG之间的数量关系,并给出证明过程;
(3)当BP取何值时,PG//CF.
答案
1.(4)过点M作ME⊥AC于点E,过点M作MF⊥BC于点F
可证:
△MDE≌△AMGF,四边形MECF为正方形
∴MD=MG
可证:
四边形MECF为正方形
∴ME=EC=CF=MF=2
∴DE=GF=CG=1
在Rt△MDE中,
=5
∴
∴
∴四边形MDCG周长为
2.
(1)GC=EG.
(2)如图,延长EG交CD于M,
易证△GEF≌△GMD,得G为EM的中点.
易得CG为直角△ECM的斜边上的中线.
于是有GC=GE.
(3)如图,延长EG到M,使EG=GM,连接CM、CE.
易证△EFG≌△MDG,则EF=DM、∠EFG=∠MDG.
∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°,
∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°.∴∠MDC+∠DBE=45°.
∵∠EBC+∠DBE=45°,∴∠EBC=∠MDC.
进而易证△CBE≌△CDM,∴EC=CM、∠ECB=∠MCD.
易得∠ECM=90°,∴CG为直角△ECM斜边EM的中线.
∴EG=GC.
另外方法:
(2)成立.
证明:
过点F作BC的平行线交DC的延长线于点M,连结MG.
∴EF=CM,易证EFMC为矩形∴∠EFG=∠GDM.
在直角三角形FMD中,∴DG=GF,∴FG=GM=GD.
∴∠GMD=∠GDM.∴∠EFG=∠GMD.
∴△EFG≌△GCM.
∴EG=CG.
(3)成立.取BF的中点H,连结EH,GH,取BD的中点O,连结OG,OC.
∵CB=CD,∠DCB=90°,∴
.
∵DG=GF,
∴CO=GH.∵△BEF为等腰直角三角形.
∴
.∴EH=OG.
∵四边形OBHG为平行四边形,∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°.
∴∠GOC=∠EHG.∴△GOC≌△EHG.
∴EG=GC.
3.
(1)FG⊥CD,FG=CD.
(2)延长ED交AC的延长线于M,连接FC、FD、FM.
∴四边形BCMD是矩形.
∴CM=BD.
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.
∴ED=BD=CM.
∵∠E=∠A=45º
∴△AEM是等腰直角三角形.
又F是AE的中点.
∴MF⊥AE,EF=MF,∠E=∠FMC=45º.
∴△EFD≌△MFC.
∴FD=FC,∠EFD=∠MFC.
又∠EFD+∠DFM=90º
∴∠MFC+∠DFM=90º
即△CDF是等腰直角三角形.
又G是CD的中点.
∴FG=CD,FG⊥CD.
5.
(1)证明:
∵∠BEF=90°, ∴EF∥DH,
∴∠EFG=∠GDH,
而∠EGF=∠DGH,GF=GD, ∴△GEF≌△GHD, ∴EF=DH,
而BE=EF, ∴DH=BE;
(2)连接DB,如图,
∵△BEF为等腰直角三角形, ∴∠EBF=45°,
而四边形ABCD为正方形,
∴∠DBC=45°,
∴D,E,B三点共线. 而∠BEF=90°,
∴△FED为直角三角形, 而G为DF的中点, ∴EG=GD=GC,
∴∠EGC=2∠EDC=90°, ∴EG=CG且EG⊥CG;
(3)第2问中的结论成立.理由如下:
连接AC、BD相交于点O,取BF的中点M,连接OG、EM、MG,如图,
∵G为DF的中点,O为BD的中点,M为BF的中点, ∴OG∥BF,GM∥OB,
∴四边形OGMB为平行四边形, ∴OG=BM,GM=OB, 而EM=BM,OC=OB, ∴EM=OG,MG=OC, ∵∠DOG=∠GMF,
而∠DOC=∠EMF=90°,
∴∠EMG=∠GOC, ∴△MEG≌△OGC,
∴EG=CG,∠EGM=∠OCG,
又∵∠MGF=∠BDF,∠FGC=∠GDC+∠GCD,
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°, ∴EG=CG且EG⊥CG.
6.解:
(1)EG=CG且EG⊥CG.
证明如下:
如图①,连接BD. ∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF, ∴∠EBF=∠DBC=45°.
∴B、E、D三点共线.
∵∠DEF=90°,G为DF的中点,∠DCB=90°, ∴EG=DG=GF=CG.
∴∠EGF=2∠EDG,∠CGF=2∠CDG. ∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°, 即∠EGC=90°, ∴EG⊥CG.
(2)仍然成立,
证明如下:
如图②,延长EG交CD于点H. ∵BE⊥EF,∴EF∥CD,∴∠1=∠2. 又∵∠3=∠4,FG=DG, ∴△FEG≌△DHG, ∴EF=DH,EG=GH.
∵△BEF为等腰直角三角形, ∴BE=EF,∴BE=DH. ∵CD=BC,∴CE=CH.
∴△ECH为等腰直角三角形. 又∵EG=GH,
∴EG=CG且EG⊥CG.
(3)仍然成立.
证明如下:
如图③,延长CG至H,使GH=CG,连接HF交BC于M,连接EH、EC. ∵GF=GD,∠HGF=∠CGD,HG=CG, ∴△HFG≌△CDG,
∴HF=CD,∠GHF=∠GCD, ∴HF∥CD.
∵正方形ABCD, ∴HF=BC,HF⊥BC.
∵△BEF是等腰直角三角形, ∴BE=EF,∠EBC=∠HFE, ∴△BEC≌△FEH,
∴HE=EC,∠BEC=∠FEH, ∴∠BEF=∠HEC=90°,
∴△ECH为等腰直角三角形. 又∵CG=GH,
∴EG=CG且EG⊥CG.
第七
8.