初二几何压轴.docx
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初二几何压轴
1.一位同学拿了两块45º三角尺△MNK和△ACB做了一个探究活动：
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．
（1）如图1，重叠部分为△ACM，重叠部分的面积为______，周长为______．
（2）△MNK绕顶点M逆时针旋转45º，得到图2，重叠部分面积为__________，周长为__________．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为___________．
（4）在图3的情况下，若AD＝1，求出重叠部分图形的周长．
2.已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为；
（2）如图2，,△BEF的直角边BE在BC上，
（1）中结论是否还成立？
说明理由；
（3）如图3，△BEF,直角边BE在∠DBC内，
（1）中结论是否还成立？
说明理由．
3．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.
（1）FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是；
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断
（1）中的结论是否仍然成立?
证明结论.
4.如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AE于F，交AC于M，EG的延长线交AB于H，
（1）求证：
AH=BH
（2）若∠BAC=60°，求FG：
DG的值。
5.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．
（1）延长EG交DC于H，试说明：
DH=BE．
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：
EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：
若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？
请写出来．
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？
若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．
6.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问
（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；
（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问
（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论
7.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1所示，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时
；（不必证明）
（2）如图2所示，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想
（1）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝2，则Q＝（用含有L的式子表示）．
8.
如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG．
（1）求证：
AP=FP；
（2）探索线段BP、DG、PG之间的数量关系，并给出证明过程；
（3）当BP取何值时，PG//CF．
答案
1.（4）过点M作ME⊥AC于点E，过点M作MF⊥BC于点F
可证：
△MDE≌△AMGF，四边形MECF为正方形
∴MD＝MG
可证：
四边形MECF为正方形
∴ME＝EC＝CF＝MF＝2
∴DE＝GF＝CG＝1
在Rt△MDE中，
=5
∴
∴
∴四边形MDCG周长为
2.
（1）GC=EG．
（2）如图，延长EG交CD于M，
易证△GEF≌△GMD，得G为EM的中点．
易得CG为直角△ECM的斜边上的中线．
于是有GC＝GE．
（3）如图，延长EG到M，使EG=GM，连接CM、CE．
易证△EFG≌△MDG，则EF=DM、∠EFG=∠MDG．
∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°，
∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°．∴∠MDC+∠DBE=45°．
∵∠EBC+∠DBE=45°，∴∠EBC=∠MDC．
进而易证△CBE≌△CDM，∴EC=CM、∠ECB=∠MCD．
易得∠ECM=90°，∴CG为直角△ECM斜边EM的中线．
∴EG=GC．
另外方法：
（2）成立．
证明：
过点F作BC的平行线交DC的延长线于点M，连结MG．
∴EF=CM，易证EFMC为矩形∴∠EFG=∠GDM．
在直角三角形FMD中，∴DG=GF，∴FG=GM=GD．
∴∠GMD=∠GDM．∴∠EFG=∠GMD．
∴△EFG≌△GCM．
∴EG=CG．
（3）成立．取BF的中点H，连结EH，GH，取BD的中点O，连结OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴
．
∵DG=GF，
∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．
∴
．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．
3.
（1）FG⊥CD，FG=CD.
（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM.
∴四边形BCMD是矩形.
∴CM=BD.
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.
∴ED=BD=CM.
∵∠E=∠A=45º
∴△AEM是等腰直角三角形.
又F是AE的中点.
∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.
∴△EFD≌△MFC.
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.
又∠EFD＋∠DFM=90º
∴∠MFC＋∠DFM=90º
即△CDF是等腰直角三角形.
又G是CD的中点.
∴FG=CD，FG⊥CD.
5.
（1）证明：
∵∠BEF=90°， ∴EF∥DH，
∴∠EFG=∠GDH，
而∠EGF=∠DGH，GF=GD， ∴△GEF≌△GHD， ∴EF=DH，
而BE=EF， ∴DH=BE；
（2）连接DB，如图，
∵△BEF为等腰直角三角形， ∴∠EBF=45°，
而四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴D，E，B三点共线． 而∠BEF=90°，
∴△FED为直角三角形， 而G为DF的中点， ∴EG=GD=GC，
∴∠EGC=2∠EDC=90°， ∴EG=CG且EG⊥CG；
（3）第2问中的结论成立．理由如下：
连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，
∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点， ∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四边形OGMB为平行四边形， ∴OG=BM，GM=OB， 而EM=BM，OC=OB， ∴EM=OG，MG=OC， ∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC， ∴△MEG≌△OGC，
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°， ∴EG=CG且EG⊥CG．
6.解：
（1）EG=CG且EG⊥CG．
证明如下：
如图①，连接BD． ∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF， ∴∠EBF=∠DBC=45°．
∴B、E、D三点共线．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°， ∴EG=DG=GF=CG．
∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG． ∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°， 即∠EGC=90°， ∴EG⊥CG．
（2）仍然成立，
证明如下：
如图②，延长EG交CD于点H． ∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2． 又∵∠3=∠4，FG=DG， ∴△FEG≌△DHG， ∴EF=DH，EG=GH．
∵△BEF为等腰直角三角形， ∴BE=EF，∴BE=DH． ∵CD=BC，∴CE=CH．
∴△ECH为等腰直角三角形． 又∵EG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．
（3）仍然成立．
证明如下：
如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC． ∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG， ∴△HFG≌△CDG，
∴HF=CD，∠GHF=∠GCD， ∴HF∥CD．
∵正方形ABCD， ∴HF=BC，HF⊥BC．
∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=EF，∠EBC=∠HFE， ∴△BEC≌△FEH，
∴HE=EC，∠BEC=∠FEH， ∴∠BEF=∠HEC=90°，
∴△ECH为等腰直角三角形． 又∵CG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．
第七
8.
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