本地研发浙江省杭州市浙教版初中七年级下册数学第四章因式分解复习教师版.docx

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本地研发浙江省杭州市浙教版初中七年级下册数学第四章因式分解复习教师版

因式分解复习

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

1.理解因式分解的定义；

2.掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能熟练的运用多种方法分解因式；

1.分解因式

（1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（2）因式分解与整式乘法是互逆关系。

注意：

因式分解与整式乘法的区别和联系:

整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；

因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

2.提公共因式法

（1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

如:

ab＋ac＝a（b＋c）

（2）概念内涵:

①因式分解的最后结果应当是“积”；

②公因式可能是单项式,也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）

3.运用公式法

（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（2）主要公式：

平方差公式：

____________________

完全平方公式:

____________________

（3）易错点：

因式分解要分解到底。

如

就没有分解彻底。

4.因式分解的思路与解题步骤:

（1）先看各项有没有公因式,若有,则先______________；

（2）再看能否使用公式法；

（3）用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内______________.

5.二次三项式

（1）多项式

，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．

例如：

和

都是关于x的二次三项式．

（2）在多项式

中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．

（3）在多项式

中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式

，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．

6.十字相乘法的依据和具体内容

（1）对于二次项系数为1的二次三项式

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：

用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：

一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

1.因式分解的定义

【例1】（2014安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.m2+nB.m2-m+1C.m2-nD.m2-2m+1

练习.（2014四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是（）

A．

B．

C．

D．

2.利用提取公因式的方法分解因式

【例2】多项式m（n－2）－m2（2－n）分解因式等于（）

A．（n－2）（m＋m2）B．（n－2）（m－m2）

C．m（n－2）（m＋1）D．m（n－2）（m－1）

练习.

（）

3.公式法分解因式

【例3】（2014江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）

A．（x﹣1）（x﹣2）B．x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2

练习.（2014湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）

A．a2b（a2﹣6a

+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）

C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）2

4.两两分组分解因式

【例4】

练习．对2m+mp+np+2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

A.（2m+2n+np）+mpB.（2m+np）+（2n+mp）

C.（2m+2n）+（mp+np）D.（2m+2n+mp）+np

5.一三分组分解因式

【例5】

练习13.因式分解：

9x2－y2－4y－4＝__________.

6.因式分解的综合题

【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值

练习.已知a.b.c为△ABC的三条边的长,当

时，试判断△ABC属于哪一类三角形；

6.利用十字相乘法分解因式

【例6】分解因式：

练习.（2014四川凉山一中月考）

；

7.二次项系数不为1的十字相乘

【例7】把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

．

练习.

8.把其中一个量看成一个整体

【例8】分解因式：

练习.（2014湖北恩施中考）

9.换元法分解因式

【例9】分解因式：

．

练习．分解因式

．

10.重新分组分解因式

【例10】分解因式：

ca（c－a）＋bc（b－c）＋ab（a－b）．

练习．

；

11.因式分解的综合题

【例11】

．

练习.

．

基础演练

1．下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A．x2+3x﹣4=x（x+3）﹣4B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x

C．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）D．（x﹣2）（x+2）=x2﹣4

2．多项式﹣6m3n﹣3m2n2+12m2n3分解因式时应提取的公因式为（　　）

A．3mnB．﹣3m2nC．3mn2D．﹣3m2n2

3．把多项式an+3+an﹣2（n为大于2的正整数）分解因式为（　　）

A．an（a3+a﹣2）B．a2（an+1+an﹣4）C．an﹣2（an+1+1）D．an﹣2（a5+1）

4．将

因式分解正确的是（　　）

A．

（m﹣2n）（m+2n）B．2（m﹣2n）（m+2n）C．2（m2﹣4n2）D．2（m2﹣4n2）

5．把多项式x2﹣3x+k分解成两个因式（x﹣m）（x﹣5）的积，那么k、m的值分别是（　　）

A．k=10，m=﹣2B．k=10，m=2C．k=﹣10，m=﹣2D．k=﹣10，m=2

6．分解因式4﹣x2+2x3﹣x4，分组合理的是（　　）

A．（4﹣x2）+（2x3﹣x4）B．（4﹣x2﹣x4）+2x3

C．（4﹣x4）+（﹣x2+2x3）D．（4﹣x2+2x3）﹣x4

7．若a，b，C是△ABC的三条边，且满足a2﹣2ab+b2=0，（a+b）2=2ab+c2，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

9．因式分解：

（1）﹣3x2+6xy﹣3y2=　　；

（2）3a2﹣12ab+12b2=　　；

（3）2a3﹣8a2+8a=　　；

（4）16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2=　　；

（5）x（x﹣1）﹣3x+4=　　．

10．实数范围内因式分解：

y3﹣3y=　　．

11．现有足够多边长为a的小正方形纸片A、边长为b的大正方形纸片B以及长为b、宽为a的长方形纸片C，如图．

（1）取　　张A，　　张B，　　张C可拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+2b），画出图形并根据图形回答：

（a+b）（a+2b）=　　；

（2）取其中的若干张（三种纸片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+nb2．

①n可取的整数值为　　，画出其中的一个图形；

②根据所画图形可将多项式a2+5ab+　　b2分解成两个因式的积为　　．

巩固提高

1．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述何者正确（　　）

A．a=1B．b=468C．c=﹣3D．a+b+c=39

2．在实数范围内分解因式：

x2﹣x﹣1=（　　）

A．（x+

）（x+

）B．（x+

）（x﹣

）

C．（x﹣

）（x﹣

）D．（x﹣

）（x+

）

3．若4x2+3x﹣16除以一多项式，得商式为x+2，余式为﹣6，则此多项式是（　　）

A．4x﹣5B．4x﹣11

C．4x3+11x2﹣10x﹣26D．4x3+11x2﹣10x﹣38

4．n是整数，式子

[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（　　）

A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数

5．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：

（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）

=m（a+b）+n（a+b）

=（a+b）（m+n）

（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）

=x2﹣（y+1）2

=（x+y+1）（x﹣y﹣1）

试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=　　．

6．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：

（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：

　　（写出一个即可）．

1．下列变形，属于因式分解的有（　　）

①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④

．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．多项式12a3bc+6abc2﹣8ab2c﹣24abc在分解因式时，应提取的公因式是（　　）

A．12a2b2c2B．2abcC．6abcD．6a2b2c2

3．下列多项式不能用平方差公式分解的是（　　）

A．

a2b2﹣1B．4﹣0.25m2C．1+a2D．﹣a4+1

4．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）

C．（a+b﹣1）（a+b+1）D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）

5．二次三项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值分别为（　　）

A．3、1B．﹣6、﹣2C．﹣6、﹣4D．﹣4、﹣6

6．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（　　）

①x2+6x+9；②4x2﹣4x﹣1；③﹣x2﹣y2；④2x2﹣y2；⑤x2﹣7；⑥9x2+6xy+4y2．

A．3个B．4个C．5个D．6个

7．无论a，b取任何实数，多项式a2+b2﹣2a﹣4b+16的值总是（　　）

A．负数B．零C．正数D．无法确定

8．因式分解

（1）7x2﹣21x

（2）﹣24x3+12x2﹣28x

（3）a2b2﹣8ab+16

（4）﹣25a2+16b2

（5）6（m﹣n）3﹣12（n﹣m）2

（6）49（2a﹣3b）2﹣9（a+b）2

9．因式分解．

（1）4a2﹣25b2

（2）3x3y2﹣6x2y3+3xy4

（3）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2

（4）16x4﹣8x2y2+y4．

10．观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：

①方程x2﹣7x+6=0，x1=1，x2=6，而x2﹣7x+6=（x﹣1）（x﹣6）；

②方程x2﹣4x﹣5=0，x1=5，x2=﹣1，而x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）；

③方程4x2﹣12x+9=0，

，

，而

；

④方程3x2+7x+4=0，

，x2=﹣1，而

；…

（1）探究规律：

当方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，　　；

（2）解决问题：

根据上述材料将下列多项式分解：

x2﹣x﹣2；2x2+3x﹣2

（3）拓广应用：

已知，如图，现有1×1，a×a的正方形纸片和1×a的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2a2+5a+2，并标出此矩形的长和宽．

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

一．选择题（共10小题）

1．在四个代数式①m2n；②3m﹣n；③3m﹣2n；④m3n中可以作为多项式3m4n﹣2m2n3﹣m3n2的因式的是（　　）

A．①和②B．①和③C．③和④D．②和④

2．对多项式m（n﹣1）+（n﹣1）提公因式（n﹣1）后，剩下的是（　　）

A．m+1B．mC．m﹣1D．以上都不对

3．下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）

A．﹣4﹣x2B．﹣4+x2C．

D．4x2﹣（﹣y）2

4．多项式①16x2﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）；③（x+1）2﹣4x（x+1）+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（　　）

A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③

5．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（　　）

A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）

C．（x+y﹣3）（x﹣y）D．（x﹣y+3）（一x﹣y）

6．如果x2+mx+n=（x+3）（x﹣1），那么m，n的值分别为（　　）

A．m=2，n=3B．m=2，n=﹣3C．m=﹣2，n=3D．m=﹣2，n=﹣3

7．关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为﹣2和3，则分解因式x2+bx+c等于（　　）

A．（x+2）（x﹣3）B．（x﹣2）（x+3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）

8．如果16x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　）

A．12B．24C．±24D．±12

9．计算210+（﹣2）11的结果是（　　）

A．210B．﹣210C．2D．﹣2

10．方程2x2﹣3xy﹣2y2=98的正整数解有（　　）

A．3组B．2组C．1组D．0组

二．填空题（共5小题）

11．已知x2+xy=3，xy+y2=1，则x+y的值是　　．

12．若a﹣b=6，ab=5，则ab2﹣a2b的值为　　．

13．分解因式：

a2（x﹣1）+b2（1﹣x）=　　．

14．阅读下面例题：

把多项式x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1因式分解．

解：

原式=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2

依照上述方法因式分解：

x2+2xy+y2+4x+4y+4=　　．

15．分解因式：

x4﹣8x2﹣9=　　．

三．解答题（共5小题）

16．因式分解：

（1）9（3a+2b）2﹣25（a﹣2b）2

（2）

（3）

（4）（a2+ab+b2）2﹣9a2b2．

17．分解因式

①x3y﹣6x2y2+9xy3②（a2+4b2）2﹣16a2b2．

18．在△ABC中，已知三边a、b、c满足a4+2a2b2+b4﹣2a3b﹣2ab3=0．试判断△ABC的形状．

19．利用因式分解说明3200﹣4×3199+10×3198能被7整除．

20．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜

）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，草坪的面积．

参考答案

参考答案：

1.

（1）积的形式

2.

（1）公因式

3.

（2）

4.

（1）提取公因式（5）不能再分解为止

5.

（1）ax2,bx,c

（2）8y2,x,x2,y

3）2（ab）2-7ab+3,ab,（x+y）,（x+y）

1.因式分解的定义

【例1】（2014安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.m2+nB.m2-m+1C.m2-nD.m2-2m+1

【解析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。

因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解。

【答案】D

练习.（2014四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是【】

A．

B．

C．

D．

【答案】C

2.利用提取公因式的方法分解因式

【例2】多项式m（n－2）－m2（2－n）分解因式等于（）

A．（n－2）（m＋m2）B．（n－2）（m－m2）

C．m（n－2）（m＋1）D．m（n－2）（m－1）

【解析】相反的项要变形，然后找到各项的公共部分，提出即可。

【答案】C

练习.

（）

【答案】a2+2a+6

3.公式法分解因式

【例3】（2014江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）

A．（x﹣1）（x﹣2）B．x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2

【解析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可：

（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。

【答案】D

练习.（2014湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）

A．a2b（a2﹣6a

+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）

C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）2

【答案】D

4.两两分组分解因式

【例4】

【解析】这个式子有四项考虑分组的方法分解因式，找有公因式的项分一组，所以一三分一组，二四分一组，再提取公因式就可以了。

【答案】原式=（7x2+xy）-（3y+21x）

=x（7x+y）-3（7x+y）

=（x-3）（7x+y）

练习．对2m+mp+np+2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

A.（2m+2n+np）+mpB.（2m+np）+（2n+mp）

C.（2m+2n）+（mp+np）D.（2m+2n+mp）+np

【答案】C

5.一三分组分解因式

【例5】

【解析】这是一个四项式，考虑分组分解因式，这个式子有两个平方项，所以考虑一三分组进行因式分解。

【答案】原式=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1-x+2y）（1+x-2y）

练习13.因式分解：

9x2－y2－4y－4＝__________.

【答案】（3x+y+2）（3x-y-2）

6.因式分解的综合题

【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值

【解析】先把原式进行因式分解，式子有四项考虑分解因式，再把a＋b=0代入即可求出结果。

【答案】原式=a3－2b3＋a2b－2ab2

=（a3＋a2b）－（2b3+2ab2）

=a2（a+b）-2b2（a+b）

=（a+b）（a2-2b2）

把a＋b=0代入，原式=0

练习.已知a.b.c为△ABC的三条边的长,当

时，试判断△ABC属于哪一类三角形；

【答案】等腰三角形

6.利用十字相乘法分解因式

【例6】（2014安徽省中考）分解因式：

【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项

可分为（－2y）（－3y），而（－2y）＋（－3y）＝（－5y）恰为一次项系数．

【答案】解：

练习.（2014四川凉山一中月考）

；

【解析】常数项－15可分为3×（－5），且3＋（－5）＝－2恰为一次项系数

【答案】

；

7.二次项系数不为1的十字相乘

【例7】把下列各式分解因式：

（1）

；

（2）

．

【解析】我们要把多项式

分解成形如

的形式，这里

，

而

．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

【答案】解：

（1）

；

（2）

．

练习.

【答案】（a+2b）（5a-3b）

8.把其中一个量看成一个整体

【例8】分解因式：

【解析】把

看作一整体，从而转化为关于

的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．

【答案】解：

＝（x＋1）（x－1）（x＋3）（x－3）．

练习.（2014湖北恩施中考）

【答案】原式

9.换元法分解因式

【例9】分解因式：

．

【解析】把

看作一个变量，利用换元法解之．

【答案】解：

设

，则

原式＝（y－3）（y－24）＋90

＝（y－18）（y－9）

．

注意：

本题中将

视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，

一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．

练习．分解因式

．

【解析】方法1：

依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于（x－y）的二次三项式．

方法2：

把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．

【答案】解法1：

．

解法2：

＝（x－y－6）（x－y＋1）．

10.重新分组分解因式

【例10】分解因式：

ca（c－a）＋bc（b－c）＋ab（a－b）．

【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．

【答案】解：

ca（c－a）＋bc（b－c）＋ab（a－b）

＝（a－b）（c－a）（c－b）．

练习13．

；

【答案】原式

11.因式分解的综合题

【例11】

．

【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12