天津市和平区学年八年级上学期期末数学试题含答案解析.docx
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天津市和平区学年八年级上学期期末数学试题含答案解析
天津市和平区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，6，11C．4，6，10D．5，8，14
3．将0.000000301用科学记数法表示应为（ ）
A．3.01×10﹣10B．3.01×10﹣7C．301×10﹣7D．301×10﹣9
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
5．下列计算正确的是（ ）
A．x10÷x2＝x5B．（x3）2÷（x2）3＝x
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2yD．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x
6．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC
7．下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a﹣2b2）•（a2b﹣2）﹣3＝
8．如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．
如图②，步骤如下：
第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N．
第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
第三步，画射线OC．射线OC即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．a＞0B．
C．
D．
9．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APCB．BP平分∠ABCC．BA＝BCD．PA＝PC
10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（
+
）+b（
+
）+c（
+
）的值为（ ）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣3
11．有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（ ）
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的
倍
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的
倍
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的
倍
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的
倍
12．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
二、填空题
13．当x_____时，分式
有意义．
14．计算：
24x2y÷（﹣6xy）＝_____．
15．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是______．
16．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为_____．
17．
（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为_____．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为_____．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为_____．
18．如图，点A、B、C在一条直线上，∆ABD、∆BCE均为等边三角形．连结AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE点Q．连结PQ、BM．①ABE≌DBC；②∠DMA﹦60°；③BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中正确结论的序号是________________________．
三、解答题
19．
（1）先化简，再求值x（x﹣1）+2x（x+1）；其中x＝1；
（2）计算：
（2x+y﹣6）（2x﹣y+6）．
20．计算：
（1）
；
（2）
．
21．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：
22．为抗击新冠状肺炎疫情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A、B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用16天完成．
（1）求A、B两车间每天分别能生产口罩多少万个？
（2）如果A车间每生产1万个口罩可创造利润1.5万元，B车间每生产1万个口罩可创造利润1.2万元，求生产这批口罩该公司共创造利润多少万元？
23．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+3y）2﹣12xy
24．已知等边△ABC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，依题意将图2补全；连接CM，试探究∠PAC和∠PMC的大小关系，并说明理由．
25．已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如图①，求证∠BCD＝∠A；
（2）如图②，E为边BC上一点，且CE＝CA，连接EF，交AB于点G，若DF＝DG，
①求∠EGB的大小；
②求证FD＝AD．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，判断即可．
【详解】
解：
选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、C、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：
A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：
A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＜11，不能组成三角形；
C、4+6=10，不能组成三角形；
D、5+8＜14，不能够组成三角形．
故选：
A．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：
0.000000301＝3.01×10﹣7．
故选：
B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案．
【详解】
解：
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意；
B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意；
C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意；
D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意．
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法运算法则进行计算即可．
【详解】
解：
A．x10÷x2＝x8，故A不符合题意；
B．（x3）2÷（x2）3＝1，故B不符合题意；
C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2y，故C符合题意；
D．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x+1，故D不符合题意；
故选：
C．
【点睛】
本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
由题意直接根据全等三角形的判定条件对各个选项进行依次判断即可．
【详解】
解：
由图可知AD为公共边，
A.AD＝AD，BD＝DC，AB＝AC，（SSS）可证；
B.AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，BD＝DC，（SAS）可证；
C.∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，（AAS）可证；
D.∠B＝∠C，BD＝DC，AD＝AD，（SSA）不可证；
故选：
D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定条件，熟练掌握非直角三角形的判定条件为SSS、SAS、ASA、AAS是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】
解：
A．a﹣2÷a5＝a﹣7＝
，正确，不符合题意；
B．（a﹣1b2）3＝a﹣3b6＝
，正确，不符合题意；
C．（
）﹣2＝
＝
，不正确，符合题意；
D．（a﹣2b2）•（a2b﹣2）﹣3＝（a﹣2b2）•a﹣6b6＝a﹣8b8＝
，正确，不符合题意；
故选：
C．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，负整数指数幂，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
由作图可得：
为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案.
【详解】
解：
由角平分线的作图可得：
，
故选D
【点睛】
本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】
解：
如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：
B
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
10．D
【解析】
【详解】
分析：
由已知得：
a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．
详解：
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
a（
+
）+b（
+
）+c（
+
）=
=
，
=
，
=-1-1-1，
=-3，
故选D．
点睛：
本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为
：
，再求出即可．
【详解】
解：
方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝
（元）；
方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝
＝
（元），
∵x+2a＞x﹣2a，
∴
＞
，
∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高，
两种草皮单价之比为
：
＝
•
＝
，
故选：
A．
【点睛】
本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算．
12．C
【解析】
【分析】
如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【详解】
解：
如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：
C．
【点睛】
本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．
【解析】
【分析】
根据分母不为0，列出不等式求解即可．
【详解】
解：
要使分式
有意义，则
，
解得，
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题关键是熟记分式有意义的条件是分母不为0．
14．-4x
【解析】
【分析】
根据单项式除以单项式法则解答．
【详解】
解：
24x2y÷（﹣6xy）＝-4x，
故答案为：
-4x．
【点睛】
此题考查了单项式除以单项式法则：
系数与系数相除，同底数幂相除，再将结果相乘，熟记法则是解题的关键．
15．9
【解析】
【详解】
试题分析：
这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
试题解析：
根据题意，得
（n-2）•180=1260，
解得n=9．
考点:
多边形内角与外角.
16．20
【解析】
【分析】
如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，再由直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而得到CE=CG=8，即可求解．
【详解】
解：
如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=20．
故答案为：
20
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的性质——最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键．
17． 10 9 5
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2，把原式变形后求值；
（2）先求出xy，再根据完全平方公式变形后求值；
（3）先变形为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，然后利用完全平方公式展开即可得到（x﹣2021）2的值．
【详解】
解：
（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．
故答案为：
10；
（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，
∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，
∴xy＝4，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．
故答案为：
9；
（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，
∴（x﹣2021）2＝5．
故答案为：
5．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，解题关键是通过对公式的变形，求出代数式的值．
18．①②③④
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质得出
，得出
，由
定理证出
，即可判断①；由全等三角形的性质得出
，根据三角形外角的性质得出
，即可判断②；由
定理可证
，得出对应边相等
，由此可得出
为等边三角形，即可判断③；由
得到
和
面积相等，且
，利用三角形的面积公式可得点
到
、
的距离相等，最后根据角平分线的判定定理即可判断④．
【详解】
解：
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，结论①正确；
∴
，
∵
，
∴
，结论②正确；
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
为等边三角形，结论③正确；
∵
，
∴
，
∴点
到
、
的距离相等，
∴点
在
的平分线上，
即
平分
，结论④正确；
综上，正确结论的序号是①②③④，
故答案为：
①②③④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．
（1）3x2+x，4．
（2）4x2﹣y2+12y﹣36．
【解析】
【分析】
（1）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】
解：
（1）原式＝x2﹣x+2x2+2x
＝3x2+x，
当x＝1时，
原式＝3×1+1
＝4．
（2）原式＝[2x+（y﹣6）][2x﹣（y﹣6）]
＝4x2﹣（y﹣6）2
＝4x2﹣（y2﹣12y+36）
＝4x2﹣y2+12y﹣36．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式进行计算．
20．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据分式的乘法运算计算将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简即可；
（2）根据异分母的加法计算即可．
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了分式的乘法运算和分式的加法运算，掌握分式的运算法则和分式的性质是解题的关键．
21．见解析.
【解析】
【分析】
利用AAS证明：
△ADE≌CFE．
【详解】
证明：
∵FC∥AB
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
所以在△ADE与△CFE中：
∴△ADE≌△CFE.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握是解题的关键.
22．
（1）A车间：
480万个；B车间：
400万个；
（2）11280万元
【解析】
【分析】
（1）设
车间每天能生产口罩
万个，则
车间每天能生产口罩
万个，由工作时间=工作量÷工作效率和总工程共用16天完成，列分式方程求解．
（2）分别求出
车间和
车间创造的利润，相加即可求解．
【详解】
解：
（1）设
车间每天能生产口罩
万个，则
车间每天能生产口罩
万个，
由题意得
，
解得：
，
经检验：
是原分式方程的解，且符合题意，
则
．
答：
车间每天能生产口罩480万个，
车间每天能生产口罩400万个．
（2）
（万元）．
答：
生产这批口罩该公司共创造利润11280万元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23．
（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式
，再利用平方差进行分解即可；
（2）先利用完全平方公式进行计算，再合并同类项，然后利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】
解：
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握利用提公因式法和公式法进行因式分解是解题关键．
24．
（1）
（2）图见解析，
，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据等边三角形的性质可得
，再根据三角形的外角性质可得
，然后根据等腰三角形的性质即可得；
（2）先证出
是等边三角形，可得
，再根据三角形全等的判定定理证出
，可得
，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．
（1）
解：
是等边三角形，
，
，
，
，
．
（2）
解：
由题意，补全图形如下：
，理由如下：
是等边三角形，
，
，
，
，即
，
点
关于直线
的对称点为
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在
和
中，
，
，
，
，
又
，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
25．
（1）见解析
（2）①45°，②见解析
【解析】
【分析】
（1）由余角的性质可证；
（2）①由等腰直角三角形的性质可求解；②由“AAS”可证△ACD≌△CHE，可得AD＝CH，CD＝HE，由等腰直角三角形的性质可得结论．
（1）
证明：
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A；
（2）
解：
①∵∠FDG＝90°，DF＝DG，
∴∠EGB＝∠FGD＝∠F＝45°；
②如图，过点E作EH⊥CD于H，
∴∠ADC＝∠EHC＝90°，
在△ACD和△CHE中，
，
∴△ACD≌△CEH（AAS），
∴AD＝CH，CD＝HE，
∵∠FDG＝∠FHE＝90°，
∴DG∥HE，
∴∠FGD＝∠FEH＝45°，
∴∠F＝∠FEH，
∴FH＝HE，
∴FH＝CD，
∴CH＝FD，
∴FD＝AD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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