二元一次方程组解法.docx

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二元一次方程组解法

学科：

数学

教学内容：

二元一次方程组的解法

【学习目标】

1．知道解二元—次方程组的基本思想“消元”．

2．会用代入消元法及加减消元法解二元一次方程组．

3．会列方程组解应用问题．

【主体知识归纳】

1．通过“代入”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解二元一次方程组的解法叫做代入消元法，简称代入法．

2．通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，简称加减法．

3．用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：

（1）将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，求得一个未知数的值；

（3）把求得的这个未知数的值代入

（1）中变形后的方程，求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．

4．用加减法解二元一次方程组的一般步骤有：

（1）将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的两个系数的绝对值相等；

（2）将变形得到的两个方程的两边分别相加（某未知数系数互为相反数时）或相减（某未知数系数相等时），消去一个未知数，使二元一次方程组化为一元一次方程，求得一个未知数的值；

（3）将这个未知数的值代入原方程组里的任意一个方程中，求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．

5．可借助列方程或方程组的方法来处理一些实际问题，这种处理问题的过程可以概括为：

【基础知识精讲】

1．能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组。

代入消元时将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数时，通常选择未知数系数绝对值为1的方程或常数项为零的方程进行变形，有时也可整体代入，使计算简便．

2．能灵活运用加减消元法解二元一次方程组。

加减消元时可先根据两个方程中各未知数系数的情况确定消去哪一个未知数．一般地，当方程组中某未知数的系数有倍数关系时，则消去该未知数较简单．

（1）当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等且两个系数异号时，可将两个方程相加消元；当两个系数的绝对值相等且两个系数同号时，可将两个方程相减消元；

（2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数时，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成相等绝对值的数．

3．通过探求二元一次方程组的解法，了解把二元化为一元（消元），把未知转化为已知的化归思想．体会消元的思想，把复杂问题转化为简单问题来处理．

4．能列出二元一次方程（组）解简单的实际问题．

5．解方程组检验时，要把求出的解代入原方程组中的每个方程，使方程左右两边都相等；解实际问题时，不仅要代入原方程组中的每个方程进行检验，还要看它是否符合题意．

【例题精讲】

例1．解方程组（用代入消元法）

分析：

（1）因为方程组的解是各方程解的公共部分，那么两个方程中的同一个未知数就应取相同的值，所以一个方程的某个未知数便可用另一个方程变形得到的关于这个未知数的代数式表示，这就是代入消元法的依据．如本题

（1）中，用3x表示y．通常选择未知数系数绝对值为1的方程或常数项为零的方程进行变形．

（2）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式必须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．

（3）要想检验所求的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值是方程组的解，否则说明解题有误．

解:

（1）将①代入②，得x＋3x＝12，即x＝3．

（2）由①，得y＝13－2x．③把③代入②，得7x＋9（13—2x）＝84．

例2．已知二元一次方程2x＋3y－1＝0，当x，y互为相反数时，试求x，y的值．

解:

因为x，y互为相反数，所以x＋y＝0．

答：

此时x的值为－1，y的值为1．

例3．解方程组

解法二：

由②，得3x＝7－5y　　　③由①，得2×（3x）＋11y＝16　　④

把③代入④，得2（7－5y）＋11y＝16，解这个方程，得y＝2．

解法三：

由①，得6x＋10y＋y＝16，即2（3x＋5y）＋y＝16．③

把②代入③，得2×7＋y＝16，解这个方程，得y＝2．

把y＝2代入②，得3x＋5×2＝7，即x＝－1．

所以，原方程组的解为

。

（解法一，消去的是未知数x；解法二，把代数式3x作为一个整体进行消元；解法三，把代数式3x＋5y作为一个整体进行消元．这三种解法均得到了一个关于y的一元一次方程，解法二、解法三采用了“整体”消元法，即把含有未知数的某个代数式当作整体看成“元”，进行消元，而采用适当的消元法，可以避开繁琐的运算，简化解题过程）

例4．用加减法解下列方程组

解：

（1）①－②得6x＝24即x＝4③（y的系数相同，直接将两方程相减即可消去未知数y）

（方程组中x、y的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系，故先要找出两方程中系数较小未知数x的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数x的系数化成相等绝对值的数，然后再相加减则可消去未知数x。

）

例5．解方程组

解：

（1）由①，得2s＝－1－3t．③

①×4－②，得3y＝－9．y＝－3．把y＝－3代入①，得3x＋2×（－3）＝－3，3x＝3，x＝1．

答：

x＝1，y＝－1

评注：

n个非负数的和为0时，只能使每个数都等于0．

由①＋②得3a＝6，即a＝2．

把a＝2代入②得2－b＝7，即b＝－5．

答：

a、b值分别为2和－5

答：

a＝3，b＝2．

例11．今年的“五一”旅游黄金周结束后，据有关统计报道，5月1日至7日某省各景区、景点共接待省内、省外旅游者100万人次，旅游总收入达48000万元，其中省内、省外旅游者人均消费达到160元和1160元．求省内、省外旅游者各有多少万人次？

分析：

抓住“省内、省外旅游者共100万人次”和“省内、省外旅游总收入达48000万元”这两个数量关系建立二元一次方程组．

解：

设省内旅游者有x万人次，省外旅游者有y万人次．

经检验，它是所列方程组的解，也符合题意．

答：

省内旅游者有68万人次，省外旅游者有32万人次．

评注:

通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和作答．检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，更重要的是要考查所得的解答是否符合实际问题的要求．

例12．某校为初一年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下．若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍．求该年级寄宿生人数及宿舍间数．

分析：

抓住“每间宿舍住5人，则有4人住不下”和“每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍”这两个数量关系建立二元一次方程组．

解：

设该年级寄宿生有x人，有宿舍y间．

经检验，它是所列方程组的解，也符合题意．

答：

该年级寄宿生有94人，有宿舍18间．

评注:

当条件并非明显的“多、少”关系时，要注意结合实际，先将其转化成数量上的关系．如本题中“每间宿舍住5人，则有4人住不下”指的是“寄宿生的人数比宿舍能住下的人数还多4人”．

【同步达纲练习】

1．填空题

（3）已知二元一次方程x＋3y－4＝0，当x与y互为相反数，x＝_______，y＝_______．

（4）将方程5x－6y＝12进行变形，若用y的代数式表示x，则x＝_______，当y＝－2时，x＝_______，若用x的代数式表示y，则y＝_______，当x＝0时，y＝_______．

（5）在方程2x＋6y－5＝0中，当3y＝－4时，2x＝_______．

（8）已知6x－3y＝16，且5x＋3y＝6，则4x－3y的值是_______．

（9）若y－x－8＝x＋6，则2x－y＝_______．

（10）已知方程3x＋2y＋6＝0，则4（2y＋3x）－3（2x－5）－4y的值等于_______．

（13）小芳买了苹果和梨共10千克，其中苹果的重量是梨的重量的3倍，那么小芳买了苹果和梨各多少千克?

若设买了苹果x千克，买了梨y千克，则根据题意可列出方程组_______．

（14）有两盒桔子，如果从第一盒拿走9个，则两盒的桔子数就一样多；如果从第一盒拿出9个放在第二盒中，那么第二盒的桔子数就是第一盒所剩桔子数的2倍．若设第一盒有x个桔子，第二盒有y个桔子，则根据题意可列出方程组为_______．

（15）已知小明比小芳大4岁，且他俩的年龄之和为26岁，则小明_____岁，小芳_____岁．

（16）小明有一个储蓄罐，有一天，他把储蓄的硬币倒出来一数，共有5角和1元的硬币20枚，合计16元5角，那么其中5角的硬币有_______枚，1元的硬币有_______枚．

（17）小芳上学时步行，放学回家时乘车，往返全程共用了小时．假设步行，乘车速度不变，小芳上学、放学都乘车只需半小时，那么，她上学、放学都步行，往返全程要用_______小时．

2．选择题

A．3x－4x－10＝8B．3x－4x＋5＝8

C．3x－4x－5＝8D．3x－4x＋10＝8

A．

B．

C．

D．

（3）已知单项式25a6b4x与－43a3xb2－4y是同类项，那么（　　）

（4）已知二元一次方程3x＋4y＝－1，用y的代数式表示x为（　　）

（

（Ⅲ）去括号，得8＋7y－7y＝8。

（Ⅳ）即0＝0．④

由于y取任何数时，④式均成立，所以，原方程组有无数个解．其中，在解题过程中，开始出现错误的步骤是（　　）

A．（Ⅰ）B．（Ⅱ）C．（Ⅲ）D．（Ⅳ）

（6）能使二元一次方程3m＋2n＝16和3m－n＝1同时成立的m，n的值是（　　）

A．m＝5，n＝

B．m＝2，n＝5C．m＝1，n＝2D．m＝3，n＝

A．5y＝2B．－11y＝8C．－11y＝2D．5y＝8

A．4B．2C．－2D．－4

（Ⅰ）由①＋②，得2x＝18；

（Ⅱ）由①－②，得－8y＝－6；

（Ⅲ）由①，得x＝6－4y③，将③代入②，得6－4y＋4y＝12；

（Ⅳ）由②，得x＝12－4y④，将④代入①，得12－4y－4y＝6，其中正确的是（　　）

A．（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）B．（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）

C．（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅳ）D．（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）

A．只有①②B．只有③④C．只有①③D．只有②④

（Ⅰ）由①×3，得6x＋3y＝21．③（Ⅱ）由②×2，得6x＋4y＝16．④

（Ⅲ）由④－③，得y＝－5．（Ⅳ）把y＝－5代入方程①，得x＝11．所以，原方程组的解为

．但检验知

不是原方程组的解，说明解题过程中出现了错误，开始出现错误的步骤是（　　）

A．（Ⅳ）B．（Ⅲ）C．（Ⅱ）D．（Ⅰ）

3．用代入法解方程组

4．用加减法解方程组：

5．解方程组

7．已知｜x－3y＋6｜＋（x＋2y－1）2＝0，求x、y的值．

8．若ay－2b2（x＋3）与－（x＋2）by－1是同类项，求x、y的值．

9．已知代数式x2＋px＋q，当x＝－1时，它的值是－5；当x＝3时，它的值是3．求p，q的值．

14．列二元一次方程组解下列各题：

（1）某项工程甲、乙两人合作，8天可以完成，所需费用为3520元；若甲单独做6天后，剩余工程由乙单独做，乙还需12天才能完成，这样所需费用为3480元．问甲、乙两人单独完成此项工程每天各需费用多少元?

（2）甲、乙二人同时绕400m的环形跑道行走．如果他们同时从同一起点背向而行，2分30秒首次相遇；如果他们同时由同一起点同向而行，12分30秒首次相遇，求甲、乙两人每分钟各走多少米?

【思路拓展题】

读一读

探知你的小秘密

今年春节联欢晚会主持人李咏带领观众做了一个游戏：

评选最漂亮的主持人．上面摆了3张照片，下面摆了12张中央电视台著名节目主持人的照片，围成一圈（如图7－1），李咏暗中把自己的照片贴在“C”．

图7－1

游戏方法：

1．每个观众在心中设定一个密码（在5～15中任选一个）

2．从“P”下一格开始逆时针方向围绕圆圈数出与密码同样多的格子：

P、N、M、A、B…

3．从下一格起围绕圆圈按顺时针方向数出与密码同样多的格子．

4．排除不可能选中的F、H、I、L这四张照片；

5．顺时针（也可以逆时针）方向从下一格开始数出4格，“最漂亮的主持人”一定是C格，即李咏本人．

其实，只要我们试着做几次，就很容易揭示出其中的小秘密．

请看：

1．如果从A格开始逆时针方向数出一定的格数．再顺时针数出相同的格数后一定指向A；

2．如果是从M格经A格先逆时针数出一定的格数，再顺时针数出同样多的格数，最后一定会指向L；

3．从N开始，经M、A先逆时针数，再顺时针数同样的格数一定指向J；

4．从P开始，经N、M、A先逆时针数，再顺时针数同样的格数一定指向J．按照李咏的规则，无论心中的密码是什么，第三步则总是指向J．

5．把P、H、I三张照片取下，顺时针数4格一定指向C；

6．把L取下，逆时针数4格也一定指向C．

我们可以适当改变游戏方法，也不会影响结果：

比如做游戏时密码范围变得更大，结果不变；可以取F、H、I、L以外的四张照片，只要使J与C中间有3张照片就行．

同学们，如果把李咏的照片贴在不同的位置，你会改变游戏的方法而使得结果不变吗?

参考答案

1．

（1）3x－24x＋3（3x－2）＝1

（2）－

3（3）－22（4）

0

－2（5）13（6）31（7）x＝

y＝

（8）12（9）－14（10）3（11）7（12）－5（13）

（14）

（15）1511（16）713（17）

2．

（1）D

（2）D（3）C（4）B（5）B（6）B（7）D（8）D（9）C（10）B（11）D

3．

（1）

（2）

4．

（1）

（2）

（3）

5．

（1）

（2）

（3）

（4）

6．k＝27．x＝－

y＝

8．x＝－1y＝5

9．p＝0，q＝－6

10．x－y＝8

11．m＝－4

12．

13．a＝

b＝－

14．

（1）300元140元

（2）甲每分钟走96米，乙每分钟走64米．