因数和倍数的认识讲解及习题之欧阳化创编.docx

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因数和倍数的认识讲解及习题之欧阳化创编

五年级下册数学第二单元知识点

时间：

2021.02.12

创作人：

欧阳化

探究新知

（一）认识因数与倍数

（出示主题图）观察上面的图，你看到了什么？

用算式怎样表示？

像这样的乘法算式中，三个数2、6、12之间还有一种关系，可以说2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。

注意因为是一种关系，所以在描述因数或倍数时，必须说清楚谁是谁的因数或谁是谁的倍数。

不能单独说谁是因数或倍数，也就是说：

因数和倍数不能单独存在，它们是相互依存的。

比如能说12是倍数吗？

（图2）从图上你可以列出怎样的算式？

（图3）从图上你可以列出怎样的算式？

（12×1＝12，1和12都是12的因数。

12是1和2的倍数。

）

12的因数有哪几个？

12=1×12

12=2×6

12=3×4

师：

说说看你是怎么找的？

（预设：

方法一用乘法一对一对找，如1×12＝12，2×6＝12…；方法二用整除的方法，12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4，12÷4＝…；）教师引导学生按照一定的规律来找。

其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：

所以以12的因数最小是1，最大是12

总结：

因数、倍数的意义

1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。

2、字母表示：

如果a÷b＝c（a，b，c是非0自然数），那么b，c是a的因数，a就是b，c的倍数。

1、找一个数的因数的方法

①列除法算式找。

用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且无余数，这些除数和商就是这个数的因数。

②列乘法算式找。

把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。

2、表示一个数的因数的方法：

①列举法；②集合法。

3、一个数的因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

找一个数的倍数

1、找一个数的倍数的方法

①列除法算式找，看到哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这个数都是这个数的倍数。

②列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。

2、一个数的倍数的表示方法：

①列举法；②集合法。

3、一个数的倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

4、（请注意）不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。

一个数的因数的个数都是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。

5、（请注意）在一定的范围内找一个数的倍数时，这个数的倍数的个数就是有限的，在表示时不用加省略号。

【知识点1】倍数与因数的关系

倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。

例如：

6是倍数、3和2是因数。

（×）改正：

6是3和2的倍数，3和2是6的因数。

练习：

（1）8×5=40，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。

（2）因为36÷9=4，所以（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。

（3）在18÷6=3中，18是6的（），3和6是（）的（）。

（4）在14÷7=2中，（）能被（）整除，（）能整除（），（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

（5）若A÷B=C（A、B、C都是非零自然数），则A是B的（）数，B是A的（）数。

（6）如果A、B是两个整数（B≠0），且A÷B＝2，那么A是B的，B是A的。

（7）判断并改正：

因为7×6=42，所以42是倍数，7是因数。

（）

因为15÷5=3，所以15和5是3的因数，5和3是15的倍数。

（）

5是因数，15是倍数。

（）

甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。

　　　　（）

（8）甲数×3=乙数，乙数是甲数的（）。

A、倍数B、因数C、自然数

【知识点2】倍数因数只考虑整数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。

例如：

0.6×5=3，虽然可以表示0.6的5倍是3但是，0.6是小数是不讨论倍数因数问题。

因此类似的：

因为0.6×5=3，所以3是0.6和5的倍数。

是错误的说法。

练习：

（1）有5÷2=2.5可知（）

A、5能被2除尽B、2能被5整除C、5能被2整除D、2是5的因数，5是2的倍数

（2）36÷5=7……1可知（）

A、5和7是36的因数B、5能整除36C、36能被5除尽D、36是5的倍数

（3）属于因数和倍数关系的等式是（）

A、2×0.25＝0.5B、2×25＝50C、2×0＝0

【知识点3】0的意义

你能举一个算式，并说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？

讨论：

出示：

0×3　　　0×100÷3　　　0÷10

通过刚才的计算，你有什么发现？

0乘任何数都得0,0除以任何非0的数也都得0，那说明任何数是0的因数，0是任何非0的数的倍数。

所以为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数，一般不包括0。

【知识点4】没有前提条件确定倍数与因数

例如：

36的因数有（）。

确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。

如：

1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：

1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。

例如：

7的倍数（）。

确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：

1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。

因此7的倍数有：

7、14、21、28、35、42……

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。

练习：

（1）20的因数有：

（2）45的因数有：

（3）24的倍数有：

（4）17的倍数有：

（5）下面的数，因数个数最多的是（）。

A、18B、36C、40

（6）判断并改正：

14比12大，所以14的因数比12的因数多（）

1是1，2，3，4，5…的因数（）

一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。

（）

一个数的最小倍数是它本身（）

12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。

（）

凡是8的倍数也一定是2的倍数。

（）

（7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。

小朋友的人数可能是多少？

（8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。

你能解释这是为什么吗？

【知识点5】有前提条件的情况下确定倍数与因数

例如：

25以内5的倍数有（5、10、15、20、25）。

特别注意前提条件是25以内！

例如：

5、1、20、35、40、10、140、2

以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。

首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！

练习：

（1）100以内19的倍数有：

（2）在4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36中

4的倍数：

36的因数：

（3）一个数既是6的倍数，又是60的因数，这个数可能是

（4）用1、5、6、8、9组成的数中，是3的倍数的数有是2的倍数的数有

。

【知识点6】关于倍数因数的一些概念性问题

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。

1是任一自然数（0除外）的因数。

也是任一自然数（0除外）的最小因数。

一个数的因数最少有1个，这个数是1。

除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。

一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。

一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数

练习：

（1）一个数的倍数个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数。

（2）一个数的因数的个数是（），最小的因数是（），最大的因数是（）。

（3）在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（）。

（4）判断并改正：

一个数的因数都比他的倍数小。

（）

1是所有的自然数的因数。

（）

一个数的因数一定小于他本身。

（）

一个数的倍数一定比他的因数大。

（）

任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。

（）

能力提升题

　一、判断题

1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。

（　）

2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。

（　）

3、个位上是0的数都是2和5的倍数。

（　）

4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

（　）

5、5是因数，10是倍数。

（　）

6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。

（　）

7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。

（　）

9、任何一个自然数最少有两个因数。

（　）

10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。

（　）

11、15的倍数有15、30、45。

（　）

12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。

（　）

13、15的因数有3和5。

（　）

14、8的因数只有2，4。

（　）

三、选择题

1、15的最大因数是（），最小倍数是（）。

①1②3③5④15

2、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。

①素数②因数③质因数

3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。

①6②12③24④144

4、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）。

①120个②90个③60个④30个

5、下面的数，因数个数最多的是（）。

A18B36C40

四、应用题。

1、一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?

2、幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。

小朋友的人数可能是多少？

3、小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对。

你能解释这是为什么吗？

时间：

2021.02.12

创作人：

欧阳化