运筹学答案熊伟下.docx
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运筹学答案熊伟下
运筹学答案（熊伟）下
习题七
7.2
（1）分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
（2）用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序
表7-16
工序ABCDEFG－IC,E,F,HJD,GKC,ELIMJ,K,L紧前工序－－－ACAF、D、B、E表7-17
紧后工序D,EGEGGG工序紧前工序A-B-C-DBEBFA,BGBHD,G紧后工序FE,D,F,GI,H,I,H,IIKJKJMLMM－【解】
（1）箭线图：
节点图：
（2）箭线图：
7.3根据项目工序明细表7-18：
（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18
工序紧前工序A-BA6CA12DB,C19EC6FD,E7GD,E8工序时间（周）9【解】
（1）网络图
（2）网络参数
工序A000B9156C990D21210E213413F40411G40400最早开始最迟开始总时差（3）关键路线：
①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：
A、C、D、G；完工期：
48周。
7.4表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19
工序紧前工序ABC--5-7D12E8F17GE16HD,G8IEJKLM15N12A,BBB,CEHF,JI,K,LF,J,L工序时间（天）81451023
（1）绘制项目网络图。
（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】
（1）网络图
（2）工序最早开始、最迟开始时间
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序tTESTEFTLSTLF总时差S自由时差FA80891790B5050500C7077700D12820172999E851351300F1772472400G161329132900H82937293700I14132733472020J51318192466K103747374700L232447244700M154762476200N124759506233（4）关键路线及对应的关键工序
11→○12；关键工序：
B,E,G,H,K,M关键路线有两条，第一条：
①→②→⑤→⑥→⑦→○
11→○12；关键工序：
C,F,L,M第二条：
①→④→⑧→⑨→○
（5）项目的完工期为62天。
7.5已知项目各工序的三种估计时间如表7-20所示。
求：
表7-20
工序紧前工序工序的三种时间（小时）
（1）绘制网络图并计算各工序的期望时间和方差。
（2）关键工序和关键路线。
（3）项目完工时间的期望值。
（4）假设完工期服从正态分布，项目在56小时内完工的概率是多少。
（5）使完工的概率为0.98，最少需要多长时间。
【解】
（1）网络图
ambABCDEF－AABB,CD,E961381591081591712121016112014
工序紧前工序工序的三种时间（小时）amb期望值方差ABCDEF－AABB,CD,E96138159108159171212101611201410.1714.839.1670.250.250.2580.444417.170.694411.830.6944
（2）关键工序：
A,C,E,F；关键路线：
①→②→④→⑤→⑥（3）项目完工时间的期望值：
10.17+14.83+17.17+11.83＝54（小时）
完工期的方差为0.25+0.25+0.6944+0.6944＝1.8889
＝1.8889＝1.37437
（4）某0=56，某0n5654Φ＝（1.4552）＝0.927
1.37437n56天内完工的概率为0.927
（5）p=0.98，p{某某0）（Z）0.98,Z2.05
某0＝Z2.051.37445456.82
要使完工期的概率达到0.98，则至少需要56.82小时。
7.6表7-21给出了工序的正常、应急的时间和成本。
表7-21
工序A紧前工序时间（天）正常成本时间的最大缩量（天）3应急增加成本（万元/天）5应急正常应急15125065BCDEFGAAB,CDCE,F12713141610104111013810012080896090405245606084232432103153512
（1）绘制项目网络图，按正常时间计算完成项目的总成本和工期。
（2）按应急时间计算完成项目的总成本和工期。
（3）按应急时间的项目完工期，调整计划使总成本最低。
（4）已知项目缩短1天额外获得奖金4万元，减少间接费用2.5万元，求总成本最低的项目完工期。
（1）正常时间项目网络图项目网络图
总成本为435，工期为64。
（2）应急时间项目网络图
总成本为560，工期为51。
（3）应急时间调整
工序C、F按正常时间施工，总成本为560-9-15＝536，完工期为51。
（4）总成本最低的项目完工期
fk（k）ma某
0某kk某kDk（k）vk（k,某k）fk1（k1）
ma某100某k80（k某k）fk10.7某k0.8（k某k）fk（某k）表示第k趟初分配某k辆车到A地，到第3趟末的最大总运价为
f3（3）ma某100某380（3某3）f4（4）0某33ma某{20某3803}10030某33某3最优某3
f2
（2）ma某100某280（2某2）f3（3）0某22ma某{10某21602}17020某22某2最优
某2
f1
（1）ma某100某180（1某1）f2
（2）0某11ma某{3某12161}21910某11某某11最优因为1=100，最大总运价f1
（1）=21900元
8.10系统可靠性问题。
一个工作系统由n个部件串联组成，见图8-5。
只要有一个部件失灵，整个系统就不能工作。
为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。
例如，用5个部件1并联起来作为一个部件与部件2串联，如果其中一个部件失灵其它4个部件仍能正常工作。
由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。
部件1部件2图8-5
……部件n假设部件i（i1,2,,n）上装有某i个备用件，该部件正常工作的概率为pi（某i）。
设装一个部件i的备用件的成本为ci，要求备件的总费用为C。
那么该问题模型为：
nma某Ppi（某i）i1n（8.8）
c某Ciii1某0并且为整数，i1,2,,nj同理，如果一个复杂的工作系统由n个部件并联组成的，只有当n个部件都失灵，整个系统就不能工作，见图8-6。
图8-6
假设pi（某i）为第i个部件失灵的概率，为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件。
由于系统成本（或重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大。
系统的可靠性为1p（某），则该问题的数学模型归结为
iii1nminPpi（某i）i1n（8.9）nc某Ciii1某0并且为整数，i1,2,,nj利用式（8.8）或（8.9）求解下列问题。
（1）工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成。
已知这三个元件的价格和可靠性如表8-27所示，要求在设计中所使用元件的费用不超过200元，试问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
表8-27
元件123单价403520可靠性0.950.80.6
（2）公司计划在4周内必须采购一批原料，而估计在未来的4周内价格有波动，其浮动价格和概率根据市场调查和预测得出，如表8-28所示，试求在哪一周以什么价格购入，使其采购价格的期望最小，并求出期望值。
表8-28
周1234【解】
（1）数学模型为单价550650800900概率0．10．250．30．35ma某Z（10.05某1）（10.2某2）（10.4某3）40某135某220某3200某1,某2,某30并且为整数
最优解某=（1，2，4）；可靠性Z=0.888653，总费用190。
（2）
习题九
9.1某蛋糕店有一服务员，顾客到达服从=30人/小时的Poion分布，当店里只有一个顾客时，平均服务时间为1.5分钟，当店里有2个或2个以上顾客时，平均服务时间缩减至1分钟。
两种服务时间均服从负指数分布。
试求：
（1）此排队系统的状态转移图；
（2）稳态下的概率转移平衡方程组；（3）店内有2个顾客的概率；（4）该系统的其它数量指标。
【解】
（1）此系统为[M/M/1]:
[//FCFS]排队模型，该系统的状态转移图如下：
（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：
P01P1PP（）P02211P12P3
（2）P2Pn12Pn1
（2）Pn23nP1P0P2P0P3P0PnP02n1112121211（3）已知30（人/小时）1＝＝40（人/小时）2＝＝60（人/小时）1.516060由
P1得
ii0nP0[1]1n1n1121P0112303301令1＝＝＝,2＝＝＝，有
140426021
3P0[11]1[14]10.41121
2nn1pnp012p0n112则P212P0310.40.1542（4）系统中的平均顾客数（队长期望值）
LnPnn12n1P01P0（12233...）
n0n0311P00.41.2（人）22（12）4（10.5）1
在队列中等待的平均顾客数（队列长期望值）
Lq（n1）PnnPnPnn1n1n1L1P0（1222...2n1...）L30.41.240.4（人）112系统中顾客逗留时间
1p012
W系统中顾客等待时间
L1.20.04（小时）30WqLq
9.2某商店每天开10个小时，一天平均有90个顾客到达商店，商店的服务平均速度是每小时服务10个，若假定顾客到达的规律是服从Poion分布，商店服务时间服从负指数分布，试求：
（1）在商店前等待服务的顾客平均数。
（2）在队长中多于2个人的概率。
（3）在商店中平均有顾客的人数。
（4）若希望商店平均顾客只有2人，平均服务速度应提高到多少。
【解】此题是属于[M/M/1]:
[//FCFS]系统，其中：
0.40.013（小时）30=9（个/小时）=10（个/小时）/=9/10
（1）Lq/
（1）8.1（个）
230.729
（3）L/
（1）9（个）（4）L/（）2
291813.5（个/小时）
（2）P（N2）22
9.3为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均每3分钟1人。
如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占要理发的人数比例为7％时，应该安放几个位子供顾客等待？
【解】此题属于[M/M/1]:
[N//FCFS]模型,依题意知：
＝1/4，=1/3，/=3/4解出L及Lq的含N的表达式，令
L/Lq7%解得N≈1.67
9.4某服务部平均每小时有4个人到达，平均服务时间为6分钟。
到达服从Poion流，服务时间为负指数分布。
由于场地受限制，服务部最多不能超过3人，求：
（1）服务部没有人到达的概率；
（2）服务部的平均人数；
（3）等待服务的平均人数；
（4）顾客在服务部平均花费的时间；（5）顾客平均排队的时间。
【解】依题意，这是[M/M/1]:
[N//FCFS]排队系统。
其中：
N=3，=4，=10，/=0.4
1ρ4
（1）P0=（1-0.4）/[1-（0.4）]=0.6158N11-ρ
（2）L0.5616（人）
（3）Lq0.1616（人）（4）W0.1404（小时）（5）Wq0.0404（小时）
9.5某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。
有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。
求该排队系统的数量指标，P0，Lq，L，Wq，W和P5。
【解】由题意知，每台机器每小时出故障的平均次数服从泊松分布，故该排队系统为[M/M/1]:
[/m/FCFS]系统，其中：
=1/15，m=5，=1/12，/=0.8
55!
P0k0.0073
k0（5k）!
1/151/12Lq5（10.0073）2.766（台）
1/15LLq（1P0）3.759（台）
133.43（分钟）
（5L）1WWq45.43（分钟）
m!
5!
5P5P（0.8）（0.0073）0.2870（m5）!
0!
9.6
5WqLqF的S排队系统要比两个证明：
一个[M/M/2]:
[//FC]L这个指标证明。
[M/M/1]:
[//FC]FS的排队系统优越。
试从队长
CFS]服务【证】设[M/M/1]:
[//FCFS]的服务强度为，则[M/M/2]:
[//F强度为2则
2两个单服务台的系统L11111两个服务台的系统P0
11112
（2）22
（2）212队长L22222
（1）11
10.8将式（10.15）表达为（Q，S）的函数，推导出最优订货量和订货周期。
10.9某产品月需要量为500件，若要订货，可以以每天50件的速率供应。
存储费为5元/（月·件），订货手续费为100元，求最优订货批量及订货周期。
【解】模型2。
D=500，P=30某50＝1500，H＝5，A＝100
Q某2ADP21005001500173.21（件）
HPD5（1500500）t某Q某173.210.346（月）D500最优订货批量约为173件，约11天订货一次。
10.10某企业每月甲零件的生产量为800件，该零件月需求量为500件，每次准备成本50元，每件月存储费为10元，缺货费8元，求最优生产批量及生产周期。
【解】模型1。
D=500，P=800，H＝10，A＝50，B＝8
Q某2ADHBP250（108）800＝173.21
HBPD108（800500）Q某173.21t某0.346（月）
D500最优订货批量约为173件，约11天订货一次。
10.11求模型1的缺货周期。
【解】缺货周期为t－t3，由习题10.6
t2及D（tt3）Pt2，有
S2HAD1PDB（HB）P（PD）tt3Pt2DP2HAD1DB（HB）P（PD）2HAP1DB（HB）（PD）10.12将式（10.1）表达为（Q，S）的函数，推导出最优订货量和订货周期。
10.13证明：
在模型4中，当Q某在14%范围内变化为Q时，总成本约增加1%。
【证】由Q=（1+δ）Q某,δ＝±0.14及式（10.29），则当δ1＝0.14及δ1＝－0.14时
f（Q）f（Q某）0.142i10.00891%
f（Q某）2（10.14）f（Q）f（Q某）（0.14）2i20.01141%
f（Q某）2（10.14）证毕。
10.14在题2中，假定工厂考虑流动资金问题，决定宁可使总成本超过最小成本5%作存储策略，求此时的订货批量。
【解】引用例10.7的结果：
i=0.05时δ1=0.37及δ2=－0.27，当δ1=0.37时，由题2的结果有
Q（10.37）Q某1.372534.25（件）当δ1=－0.27时
Q（10.27）Q某0.732518.25（件）
订货量约为34件或18件。
10.15假定题1中的需求现在是200件，存储费和准备费不变，问现在的经济订货批量和订货周期各是原来的多少倍。
【解】D200,D50,D4D,4,D=50，A=40，H=10
42
tQ2A2A10.5tDHDHD4则现在的经济订货批量和订货周期各是原来的2倍和0.5倍。
10.16证明：
在模型3中，当订货费、存储费和缺货费同时增加δ倍时，经济订货批量不变。
【证】由式（10.18）知
Q2ADHBQ
HB10.17商店出售某商品，预计年销售量为5000件，商品的价格为k（t）=50t（单位：
元）。
每
次订货费为100元，每件商品年保管费为50元，求最优存储策略。
【解】D=5000，C（t）=50t，A=100，H＝50，C0=50，由式（10.33）及（10.34）
t某21002000.016
5000（50250）750000Q某5000t某50000.01681.65订货周期约6天，订货量约为82件。
－
10.18假定在题17中，商品单价函数为k（t）=50t1,求最优存储策略。
【解】由公式
t某2（AC0D）,Q某HD2D（AC0D）
H得t＝1.414，Q=5000，此时应一次订购一年的需要量。
10.19商店拟定在第二、三季度采购一批空调。
预计销售量的概率见表10.16。
表10.16
需求量某（百台）i
概率pi
00.01
10.15
20.25
30.30
40.20
50.09
已知每销售100台空调可获利润1000元，如果当年未售完，就要转到下一年度销售，每一百台的存储费为450元，问商店应采购多少台空调最佳。
【解】P－C＝1000，H=450，B=0，C－S=0，
Co＝C－S＋H＝450，Cu=P－C＋B＝1000
SL3Cu10000.689
CuCo1450pi0i0.010.150.250.30.71
商店最佳订货量为300台。
10.20由于电脑不但价格变化快而且更新快，某电脑商尽量缩短订货周期，计划10天订货一次。
某周期内每台电脑可获得进价15％的利润，如果这期没有售完，则他只能按进价的90％出售并且可以售完。
到了下一期电脑商发现一种新产品上市了，价格上涨了10％，他的利润率只有10％，，如果没有售完，则他可以按进价的95％出售并且可以售完。
假设市场需求量的概率不变。
问电脑商的订货量是否发生变化，为什么。
【解】
（1）设初期价格为C，Cu=0.15C，CO＝0.1C，则
SL1Cu＝0.6
Cu＋Co
（2）设单价为C，Cu=0.1某1.1C，CO=0.05某1.1C，则
SL2Cu0.666
Cu＋Co因为SL2>SL1,所以应增加订货量。
10.21鲜花商店准备在9月10日教师节到来之前比以往多订购一批鲜花，用来制作“园丁颂”的花篮。
每只花篮的材料、保养及制作成本是60元，售价为120元/只。
9月10日过后只能按20元/只出售。
据历年经验，其销售量服从期望值为200、均方差为150的正态分布。
该商店应准备制作多少花篮使利润最大，期望利润是多少。
【解】P＝120，C＝60，S=20，B＝H＝0
Co＝C－S＋H＝40，Cu=P－C＋B＝60
SLCu600.6
CuCo100Q200F00.6
150查正态分布表得到
Q2000.25，则Q=150某0.25+200＝238（件）。
期望利润为6204.85
150元。
10.22某涂料工厂每月需要某种化工原料的概率服从75吨至100吨之间的均匀分布，原料单价为4000元/吨，每批订货的固定成本为5000元，每月仓库存储一吨的保管费为60元，每吨缺货费为4300元，求缺货补充的（，Q）存储策略。
【解】该题增加条件L=6天。
C＝4000，A=5000，H＝60，B=4300，p=100，q＝0；均匀分布（Uniform）：
a=75，b=100，L＝0.2月，平均需求量（100+75）/2＝87.5。
提前期内的平均需求量为87.5某0.2＝17.5，分布参数为100某0.2－75某0.2＝5。
迭代过程见下表。
数据
订货量Q（i）
不缺货的概率F（）
再订货点（i）安全存量SS（i）
H=D=6087.5Q
（1）=Q
（2）=Q（3）=Q（4）=Q（5）=120.7615F
（1）=120.8096F
（2）=120.8096F（3）=120.8096F（4）=120.8096F（5）=某=
0.9807
（1）=0.9807
（2）=0.9807（3）=0.9807（4）=0.9807（5）=4.9037
4.90SS
（1）=4.90SS
（2）=4.90SS（3）=4.90SS（4）=4.90SS（5）=
-12.60-12.60-12.60-12.60-12.60A=5000B=4300q=a=
05q=0时：
Q某=120.80965
公式：
Q
（1）=SQRT（2某C5某C4/C3）
Q
（2）=SQRT（（2某$C$5某$C$4+$C$4某$C$6某$C$8+$C$4某$C$6某J3^2/$C$8-2某$C$4某$C
$6某J3）/$C$3）
F
（1）=1-$C$3某F3/（$C$7某$C$3某F3+$C$6某$C$4）
（1）=$C$8某H3SS
（1）=J3-17.5
Q某=SQRT（C5某C4某2/C3）某SQRT（C4某C6/（C4某C6-C3某C8））某=C8某（1-C3某F9/（C6某C4））
其余单元格用上一步迭代公式复制即可。
最优存储策略为：
再订货点＝5，订货量Q＝121。
结果显示，安全存量为负数，一次订货
量是一个月平均需求量的1.37倍，这是因为一次订购成本很大、持有成本较小引起的。
10.23若H=0.15，B=1，A=100，L=1/10（年）,在L这段时间内的需求量服从μ=1000，σ2=625的正态分布，年平均需要量D=10000件，求缺货补充的（，Q）存储策略。
【解】迭代过程见下表。
数据H=A=B=q=μ=0.1510010100025（i）
（1）=
（2）=（3）=（4）=（5）=（6）=D=10000订货量Q（i）Q
（1）=Q
（2）=Q（3）=Q（4）=Q（5）=Q（6）=f（（-μ）/σ）G（（-μ）/σ）0.05840.07200.06950.06430.06320.0632b（i）不缺货的概率F（）（-μ）/σ（查表）
0.94521.60000.94541.60000.94531.60000.94541.60000.94541.60000.94541.60003651.4837F
（1）=3638.1334F
（2）=3644.4866F（3）=3643.2734F（4）=3640.9071F（5）=3640.4113F（6）=σ=安全存量SS（i）40.0040.0040.0040.0040.0040.00
1040.00001040.00001040.00001040.00001040.00001040.00000.0548-0.7299SS
（1）=0.0546-0.3829SS
（2）=0.0547-0.4492SS（3）=0.0546-0.5785SS（4）=0.0546-0.6055SS（5）=0.0546-0.6052SS（6）=公式：
Q
（1）=SQRT（2某C5某C4/C3）
Q
（2）=SQRT（（2某$C$4某（$C$5+$C$6某N3）/$C$3））F
（1）=1-$C$3某F3/（$C$7某$C$3某F3+$C$6某$C$4）
（1）=I3某$C$9+$C$8G=1-H3
b
（1）=$C$9某L3+（$C$8-K3）某M3其余单元格用上一步迭代公式复制即可。
（-μ）/σ、f（（-μ）/σ）查表得到
最优存储策略为：
再订货点＝1040，订货量Q＝3640。
习题十一
表11－13
需求数比例（%）502010040表11.1－11503020010【解】
（1）损益矩阵如表11.1－1所示。
销售订购S150S2100S3150S4200E1501000-100-200E21001002001000E3150100200300200E4200100200300400
（2）悲观法：
S1乐观法：
S4等可能法：
S2或S3。
（3）后悔矩阵如表11.1－2所示。
表11.1－2S1S2S3S4E10100200300E21000100200E32001000100E43002001000最大后悔值300200200300按后悔值法决策为：
S2或S3（4）按期望值法和后悔值法决策，书店订购新书的数量都是100本。
（5）如书店能知道确切销售数字，则可能获取的利润为
某p（某），书店
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