可靠度的例题和习题.docx

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可靠度的例题和习题

结构可靠性分析例题和习题

1.

0.05,0.04,0.03，假设各杆破坏

图示桁架在荷载H乍用下，杆a,b,c的破坏概率分别为是统计独立的，求桁架的破坏概率。

解：

用A,B,C分别表示杆a,b,c各自破坏的事件。

有

P（A）=0.05,P（B）=0.04,P（C）=0.03

桁架破坏概率P（E）=P（ABC）

=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）

-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

因为A，B，Ct目互独立，有

P（AB）=P（A）P（B）=0.002,P（BC）=0.0012,P（AC）=0.0015,P（ABC）=0.00006

所以桁架破坏概率P（E）=0.11536

或者P（E）=1-P（E）=1-P（AB■C）

P（A■B-C）=P（A）P（B）P（C）

=（1-0.05）（1-0.04）（1-0.03）=0.88464

即得:

P（E）=1-0.88464=0.11536

2.由二杆组成的系统如图。

若杆1，杆2的破坏概率都是0.03，求系统的破坏概率。

解：

杆1,杆2的破坏事件分别记为A1,A。

有

P（E）=P（A2A2）=P（A1）+P（A»P（A1A2）=0.03+0.03-P（A2丨A〃P（A1）

s可见，P（E）取决于条件概率P（A2IA1），表示二杆破坏的相关性。

若A1,A2相互独立，P（A2IA1）=P（A2）,\

S

P（E）=0.06-0.03X0.03=0.0591

若A1,A2完全相关，P（A2IA1）=1,P（E）=0.06-1X0.03=0.03

一般可有0.03_P（E）_0.0591

3.某提升机由电机、减速器、卷筒三部分组成，可靠度分别为0.98,0.94,0.92。

求

提升机（视为三部分串联系统）的可靠度。

4.钢制拉杆强度r--N（600,48）N/mm2,试计算1）荷载S=450N/mn2时的失效概率。

2）可

靠度为R=0.99时，拉杆可承受的最大应力Smax>（Pf=0.00089,Smax=489N/mn?

）

载荷F—N（80000,1200）N，求其伸长、.（=FL/AE）。

（、.-（1.83,0.084）mm）

注：

对于独立正态变量有Z=XY时,

Z=X/Y时，・Z=・X/」y，

"Z=」x"y‘二Z=（・*2；孑2+吋2；》2+；了2今2）1/2；

二Z=【（收2；刁2+吋2；次2）/（」y2+；「y2）］1/2/Jy.

7.某杆半径r,（+=30mm门=1.5mm）,求截面积A的-舜口cA。

[（2833,283）mm]

8.拉杆直径D（」D=30mm,；：

.D=0.3mm）,材料屈服限s（^s=290N/mn?

^rs=52N/mn2），求其所能承受的拉力F（乍；下）。

（204990,18140）N

注：

对于函数y=f（xi,X2，…,xn）,在均值点作泰勒级数展开有

取线性近似有：

U=S：

L/2=S2L/2AE，若S服从标准正态分布,

9.在外力S乍用下，线弹性杆的应变能为

试求U的概率密度。

（假设L/2AE=Const）

-■2

Var（X）=]」x_E（x）]f（x）dx=-+…

11.某结构支承在A,B,C三个支点上。

假定支点的沉降量「aAC都是独立正态变

量，均值分别为2,2.5,和3cm,变异系数分别为0.2,0.2,和0.25。

问

1）最大沉降量超过4cm的概率是多少？

2）如果支点A和B分别沉降了2.5和3.5cm，求最大沉降差不超过1.5cm的概率。

解：

1）P（ma）>4）=1-P（max_4）=1-P（.A_4一.：

b_4；：

C_4）=1-P（.：

A_4）P（.：

B_4）P（.C_4）

=1-症[（4-2）/2X0.2]：

.：

」[（4-2.5）/2.5X0.2]：

.：

」[（4-3）/3X0.25]

=1-G（5）G（3）G（1.33）=1-1X0.9986X0.9082=0.0931

2）P（max—1.5）=P（2±C—4）=：

」[（4-3）/3X0.25）-/[（2-3）/3X0.25）

=./（1.33）->（-1.33）=0.9082-0.0918=0.8164

12.已知服从正态分布NW，；：

2）,x1,x2,-,xn为的一组样本观察值，试用最大似然法

13.

求■'-,的估计量。

14.设某车间生产的螺栓直径刈服从正态分布，c2=0.05，某日随机抽取六件产品量得直

径为14.9,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1mm,求均值•啲95%置信区间。

解：

样本均值为x=Lxi/n=15mm.由:

=1-0.95=0.05,查得K./2=1.96

即[14.82」一15.18]

15.已知M10标准螺栓静强度的标准差二21.5N/mm2,今测得40个螺栓的强度样本均值为

x=511N/mm2,求置信度为95%的螺栓强度置信区间。

（504.34,517.66）

16.

22.0,18.5,

设某混凝土抗压强度服从正态分布，测得六个立方试块的抗压强度为

18.0,21.5,19.0,21.0MPa,求母体均值.的95%置信区间。

（未知方差）

解：

由a=1-0.95=0.05，凶2=0.025;n-1=5，查得t0.025（5）=2.571

样本均值为x=[Xj/n=20MPa

样本方差为s2=[（Xj-X）2/（n-1）=2.9

则均值•的95%置信区间为

爲亠X-:

]

=[18.213丄21.787]

17.由材料试验测得25个钢试件屈服极限均值为X=667N/mm2,s=27.5N/mm2,求置信度为

95%的材料屈服极限嘲置信区间。

（655.65,678.35N/mm2）

18.某零件的应力和强度都服从对数正态分布，已知・is=60MPa,；「s=20MPaHr=100MPa,

寸=10MPa求零件的可靠度。

（=1.64,R=0.9495）

19.拉杆直径D,（・D=30mm,：

.D=3mm,屈服强度r（丹=290N/mn?

斫=25N/mn?

），拉

力F=105N,在功能函数为1）Z=（二d2/4）r-F;2）Z=r-4F/二d2二种情况下，试用中心点

法求其可靠指标和可靠度。

（0.9906;0.9999）

20.某钢梁承受确定性弯矩M=128.8kN.m,抗弯截面模量W—N（」v?

884.9X10-6nP,

Vv=0.05）；钢材强度f服从对数正态分布（・f=262MPa,M=0.1）。

试用中心点法和验

算点法求可靠指标［及梁的失效概率Pf。

解：

中心点法

1）由抗力写功能函数为：

Z=fW-M=fW-128800（N.m）

・Z：

」f・祐128800=262X106X884.9X10-6-128800=103043

辽:

」行W•吒试二.叫吒（VWVf2）=25920.9

I〕：

屮2/cZ=3.975

2）由应力写功能函数为

Z=f-M/W（MPa）

・Z：

」f-M/」俩262-0.1288/（884.9X10-6）=116.45MPa

辽」2（M）2吒「"fV；（J）g=27.19

Y^wX仏

l：

-

验算点法

W为正态变量^W=884.9X10-6n?

cv=VWlv=44.245X10-6m3,

Pf

f为对数正态变量气’=f*（1-lnf*+ln[.]）=f*（6.5634-lnf*）（MPa）

J1+V；

-f'=f*In（1V；）=0.09975f

初值取f*=if,w*=w-=o-迭代结果如下表

次数

P

Xi

*

Xi

1

Of

艸’

«i

P

aP

1

0

f

262.00X106

26.13X

260.70X

-0.895

4.269

4.269

W

-6

884.90X10

44.25X

884.90X

-0.446

2

4.269f

160.86X106

16.05X

238.53X

-0.803

5.161

0.892

W

-6

800.66X10°

44.25X

884.90X

-0.596

3

5.161f

172.01X106

17.16X

243.54X

-0.816

5.169

0.008

W

-6

748.80X10°

44.25X

884.90X

-0.579

21.某钢制薄壁容器筒体，筒体壁厚t,（T=2.6mm,:

:

t=0.043mm）;半径r,（」r=280mm

；zy=4.7mm）;工作压力p,（Mp=7.84MPa,

试计算焊缝强度的可靠性。

（当r/t很大时，有K^s、二a=（pr/t）..二a,且由3二原则知^a=0.002）

（R=0.9992）

22.

某钢梁承受弯矩M—N（・M=1300kN.cm,qM=91kN.cm）,抗弯截面模量W—N（」w=54.72,:

:

V=2.74）cm3,钢材强度f--N（」f=380MPa,亍=30.4MPa）,极限状态方程为Z=fW-M=0,求可靠指标汲梁的失效概率Pf。

（丄3.8,Pf=1-G（J=7.235X10-5）

*|*9*99

:

f=-30.4W/.（2.74f）2（30.4W）29102

：

帀910/,（2.74f*）2（30.4W*）29102

设计验算点为：

W*='W■:

W^Wf*="f+：

f七f，M*="m+：

M七M一（b）

2）假定初值为W0=54.72,f0=380,代入（a）,得:

W:

f,\M

再将（b）之F*代入极限状态方程得：

f*V\/-M*=（380-23.378）（54.72-1.32-）-（13000+382.837-）=0

解上述方程得：

上3.81,（另一根上66.3舍去）

若=3.81，由（b）有f*[=209.93,0*仁49.69,M*广14458.61,与初值相差很大。

3）假设f*0=209.93,W*o=49.69,M*0=14458.61，作第二次迭代得：

二聊=-°.412,-f=-0.781,、，m=0.4702

f*=380-23.742：

W*=54.72-1.129'-,M*=13000+427.882'-,

代入极限状态方程得

1=3.79，由（b）有f*2=290.02,W*2=50.44,M*2=14621.67。

4）假设f*0=290.02,W*o=5O.44,M*0=14621.67;作第二次迭代得：

上3.80，由（b）有：

f*=289.23,W*=50.51,M*=14608.3;迭代收敛。

5）失效概率Pf=1-：

.：

」

（1）=7.235X10-5.

23.某拉杆承受的轴向拉力叱厂服从正态分布，^NG=142.9kN,VNG=0.07.截面抗力R也为正态分布，・R=kRR<=1.08Rk,Vr=0.08.钢材强度标准值fyk=240MPa,设计可靠指标-=3.2,试确定拉杆所需的截面面积。

解极限状态方程为Z=R-Ng=0,对于正态变量、线性方程有：

•□•NG「卜rVr）2（LngVng）2=0二解得」R=204.18kN

则抗力标准值为：

Rk^iR/kR=204.18/1.08=189.1kN

拉杆截面积为：

A=Rk/fyk=788mm?

.

24.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g（R,NGNL）=R-NGNL=0.抗力R服从对数正

态分布，MR=4560kN^jR=729.6kN.恒载Nq-MMNG=1159.1kN,aNG=81.1kN）,活载N_服从极值1型分布，・NL=765.5kN,；「NL=222kN,求可靠指标一：

。

解：

1）当量正态化

2

抗力R为对数正态，有怖R=ln[r2]=8.4124,怖R=（ln（1+Vr）=0.159廿V；

I**I*

」r=r（1-lnR+l|nR）,二R=RQnR,

若取R*0=Mr=4560,则kR=4503,crR'=725

活载Nl为极值1型，有a=0.78oNL=172.9,k=kNL-0.5772a=665.6

若取N*L0=・InL=765.5贝U:

p=（-MngAnL）/JbR2+曲g+c<=3.443

验算点为：

R*=pR+paRnR=2120.7

NG*^lNG^>-

*II

叱^NL^aN^NL=931-78

3）第二次迭代：

（取第一次结果为验算点初值）

」r=R（1-1nR+」]nR）=3717.8,；「r=R*；「“r=337.19

**

fn^Nl）=0.001,Fn^Nl）=0.80786

ON】=观®-1[Fnl（N*L）MNL（N*L）=273.7Hnl=Nl-①-1[FNL（Nl）]UNL=694.2

：

R=-0.76322,：

NG=0.18357,：

NL=0.61951;丄4.22

验算点为：

R*=2631.8,NG*=1221.9,NL*=1410。

4）五次迭代后的结果为：

=3.96,Pf=3.747X10-5。

R*=3009.8,N6=1194.1,NL*=1815.6

25.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g（R,NGNL）=R-NGNL=0。

抗力R服从对数正

态分布，VR=0.17;恒载NG-N（・iNG=636kN,VNG=0.07）,活载NL服从极值1型分布，•iNL=840kN,VNL=0.29,求可靠指标=3.7时的截面抗力均值

解：

恒、活载标准差分别为：

匚NG^nG^NG^AM,匚NL="nlVnL=243.6

当量正态化（公式同前题）。

对于极值1型荷载Nl，有：

：

=0.78;「NL=190.08,k=^nL-0.5772:

=730.37。

1）第一次计算假定初值为Nl=%匸840,Ng=」NG=636.

有：

fNL（N*L）=0.001686,FnL（N*L）=0.57037

二N「=r：

r1[Fnl（N*L）]"fnl（N*l）=232.9

Mnl'=N_*-①-1[FnL（N*L）1<^Nl'=798.66

由极限状态方程得R*=NG*+NL*=1476,且有：

:

R=R*cinR=R*.ln（1VR2）=249.13

:

R=-；「R/.；「R24；「n2l=-0.7243

上3.7）

:

NG/G..s2Vg==0.1294

aNl=aNL'/JuR2十Eg+E2l=0.6772

验算点为：

NgNnG^-ng：

nG"657,32（

Nl=»NL+甩NL°NL=1382.2

*=Ng*+NL*=2039.5

2）以后各次迭代结果

迭代

次数

变

量

验算点初值X*

*fx（x）

*

Fx（x）

1

ox

Ax

«x

验算点

*

X

*

也R

R

1476.0

249.13

-0.7243

2039.5

563.5

1

Ng

636.0

44.52

636.0

0.1294

657.32

叱

840.0

0.001686

0.57037

232.9

798.66

0.6772

1382.2

R

2039.5

344.2

-0.6198

2478.9

439.4

2

Ng

657.32

44.52

636.0

0.0802

649.2

叱

1382.2

0.0001648

0.9682

433.3

578.43

0.7805

1829.7

R

2478.9

418.42

-0.5899

2607.6

128.7

3

Ng

649.2

44.52

636.0

0.06277

646.34

Nl

1829.7

0.00001602

0.9970

570.97

260.67

0.8050

1961.3

R

2607.6

440.14

-0.5860

2620.39

12.79

4

ng

646.34

44.52

636.0

0.05927

645.76

Nl

1961.3

0.00000803

0.9985

607.03

159.63

0.8081

1974.63

R

2620.39

442.3

-0.5860

2620.95

0.56

5

ng

645.76

44.52

636.0

0.05898

645.71

Nl

1974.63

0.00000751

0.9986

610.02

151.3

0.8081

1975.24

3）结果为：

R*=pR+PwrgR=2620.95;注意到抗力R为对数正态，有:

片nR=“【n^^],^R=R（1-lnR*+ln【r^^]）,

、“+Vr5/1+Vr

二R=RIn（1VR）

故得：

•R=R\1VRexp（-『xr.In（1vR））=3833.5kN

式中，R*=2620.95,Vr=0.17,=0.17,:

R=-0.586（由表中结果知）。

25.悬臂木梁跨长L=3.6m,允许挠度为1/200。

允许失效概率Pf=0.115（-=1.2）.已知均布载荷q为极值1型变量，」q=3kN/m,Vq=0.17,木料弹性模量E—N（七=17000MPa,《=

0.21）,截面惯性矩1—N（片未知，

V|=0.20），试确定。

解：

功能函数为

Z=.-qL4/8EI

.：

=L/200=0.018m

计算公式

，qL4/8EI=0

***

=I=qL/8E.-■：

q

*="q'：

qtq：

E=咤+先詰E,I=卩|+ct|Pcq=卩|（1+a|帥）

7=i*/（1+：

「vi）,-二哺（E*p2（q*「）2

:

q=；「q'/H:

E=-（q*/E*）二W：

|=-（q*/1*）二|/门.

极值1型变量q当量正态化,有：

=0.78；帀=0.78X3000X0.17=397.8（N/m）,

k=f-0.5772:

=2770（N/m）

*1q*-k4）*

q（q）=exp[-（）-e-]Fq（q）=exp[-exp（-[q-k]/：

）]

aa

cq={G-1[Fq（q）]}/fq（q）,勺=q--：

^1[Fq（q）]p.

迭代求解结果为=3.0675X10-4m4=30675cmt.

26.图中结构体系由二拉杆组成，各杆抗力F为随机变量，密度函数如图。

承受拉力S=

1.1kN,VS=0.求系统破坏概率。

解设二杆统计独立，各杆抗力分布函数为

FR（r）=（r-1）/21

破坏概率为：

Pf1=FR：

r=1.1）=0.05

系统破坏概率为：

Pf=1-二（1-Pfi）=0.0975（上限）

若设二杆完全相关，则系统破坏概率为

Pf=max（Pfi）=0.05（下限）

27.图中所示桁架之各杆失效概率为：

Pf1=Pf2=0.002,Pf3=Pf4=0.0012,Pf5=0.003，假

定各杆独立，求桁架的破坏概率Pf。

Pf=1-二（1-Pfj）1%=2X0.002+2X0.0012+0.003=0.0094

28.由三根钢丝组成的超静定系统如图。

拉力S,iS=60kN,变异系数Vs=0.25。

单根钢丝

抗拉力为R,・R=37.5kN，变异系数VFF0.15.假定R,S均服从对数正态分布，求系统

损坏概率及其中一根钢丝拉断后的损坏概率。

解：

假定拉力S由三根钢丝均匀承受，

•Si=20kN,VSj=0.25

每根钢丝的破坏概率为：

Pfj=1-门（帀）=1-"In」R—ln%j].N；—V2）

=1-「（2.16）=1-0.9846=0.0154

体系的损坏概率为：

0.0154<3X0.0154=0.0462

如果体系中一根钢丝已断，剩余二根钢丝的荷载为

•Si=30kN,VSj=0.25

此时，钢丝的破坏概率为：

Pfi=15f）=1：

」（[InS-InyRVS2）

=1-「（0.77）=1-0.7794=0.2206

由剩余二根钢丝组成的体系的损坏概率为：

0.2206空Pf£-（1-0.2206）2]=0.3925（F不能视为小量，故用此式）

29.图示体系中若已知」s=140kN,VS=0.25;单根钢丝抗拉力为R,且・R=88.5kN，

V丈0.15;假定RS均服从对数正态分布，且各钢丝的破坏是独立且同分布的，

试讨论下述二种情况下系统的破坏模式及

相应的系统破坏概率。

1）钢丝为冷拔钢丝，脆性材料，R为抗拉强度。

2）钢丝为理想塑性材料，R为屈服强度。

解：

1）体系有六种破坏模式，即钢丝破坏次序为

1>2>31>3>22>1>3

2>3>13>2>13>1>2

任何一种模式的破坏都造成体系的破坏，故体系是这六种破坏模式的串联。

第一根钢丝的破坏概率为：

Pf1=1-门（中）=1-Mln」R-ln（」si/3）]工乂2）=1-：

：

」（2.2）=0.0139

第二根钢丝的破坏概率为：

（在第一根钢丝已破坏的条件下）

P