华理高数答案.docx
《华理高数答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华理高数答案.docx（44页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
华理高数答案
第2章（之1）
第2次作业
教学内容：
§2.1导数概念
**1.设，试用导数定义求f〔x）.
解:
**2.试用导数定义计算下列函数的导数：
13
（1）f（x），求f
（1）；
（2）gt=8-t,求g2；
x
（3）「t=3t2-t，求」-1.
（1）
解:
（2）
gtt-gt
△t
4「讥3锂一鬥=limZ"
."U0.it
.:
t
t3-t33t：
t3t：
t2：
t3
=lim
tt
-lim-3t-3t：
t-.：
t2--3t2,
（3）
:
t凤-：
t
At
gt=-3t2,g2—12.
3（t+At丫一（t十At3t2—t】
At
2
二吧沖3「=6t"，
6t.：
t空一讥
At
:
t=6t-1，中J1&—7.
**3.求曲线y=2x2在点P£1,2处的切线方程
2x2_2
解：
曲线在点P处切线的斜率为lim2X2=4,
—x—1
所以切线方程为y=4X-12.
**4.化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。
设有一化学反应，反应物浓度C与反应开始后的时间t之间有如下关系：
C=ft.
1试表出时刻to到时刻tt=to这段时间内的平均反应速率；
2表出在时刻t0的瞬间化学反应速率。
**5.已知沿直线运动物体的运动方程为:
s=1，求物体在时刻to=2的（瞬时）速度。
t
解:
1
t•:
t
--t
：
S_tt：
t_1
进：
ttt:
t
1
11=t
11
-物体在时刻to=2的（瞬时）速度vo2.
to4
**6.在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角二与
时间t有如下关系：
-t。
试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度「（t）表达式.
解：
-t4--t，t--，
加it
t：
t-^t..
■：
t
.‘（tri[mo貢二忸“t•
**7.在时间段.：
t流经导线某个截面的电量为.：
q,则称二9为时间段.-：
t上的平均电流强度，记
At
为I,现已知时间段［0,t］内流经导线这个截面的电量为q（t）,试求在时刻t导线于该截面上的电
流强度I（t）.
解：
一qt-qt,1=出=£^1也，
t.■:
t
qq（t.：
t）-q（t）
I=limI=limlimq（t）.
后心At口At
第2章（之2）
教学内容：
§2.2.1
第3次作业
函数极限的定义
**1.试证：
limcosx二cosx0.
xo
证明：
Pea0,取6=s,Vx满足条件Ocx-xo<呂，有
cosx-cosx0
.x—勺
<
C.X—勺
<
9anp
cm
9onp
X—X0
Z.oil1
oil1
Z.oil1
2
2
2
limix=2.
x]4
「4：
：
x-2，
limcosx二cosx0.
X—■X。
也_2
x—1
斗Jx+1*3
x—13
所以只要取5=min（3E,1）,当0c
x+3<6时,就有
1+3x2
—
x+3
<
1
x—1
x—1
从而也就证明了
lim
x）-3
=2.
13x
x-1
*0，限定|x-4|：
：
：
4，则有0：
：
：
x:
:
8，即0：
：
：
、、x：
：
：
•..8，若使
Vx-2
x—4
具卡22
于是We>0，当0cx—4£6时，有|Jx—2|w名.
**3
则limf（x）
:
:
:
2乂
即lim2x=0.
x..
**6.从极限的定义出发，证明：
limlnx=lnx0（x0-0）.
X）X0
证明：
只需证明3d>0,0vx—x0|£6n|lnx—lnx0£Ee即可。
由于：
Inx—InXq=In上cge,
Xo
即：
一；e:
:
In—<；e,e-e：
：
兰：
：
ee,x0（ee-1）：
：
x—x0：
：
x0（ee—1）,
XoXq
取6=min{x0e_s-x0,x0es-x0\
则当0cx—x0c6时，有Inx—lnx0c%成立，即：
IimInx=Inx0（x00）.
JXo
***7.设Iimf（X）二A,若存在Xo的某个去心邻域N?
（Xo,、J，使当XN?
（Xoc）时，成立
X）0
f（x）0,试问是否必有A0成立，为什么？
2
解：
不一定。
女口f（x）二x在x=0点.
第2章（之3）第4次作业教学内容：
§2.2.2极限的性质§2.2.3无穷小与无穷大
1.填充题：
*
（1）用M-X语言写出极限Iimf（x）二-:
:
的定义为：
-M0,-IX0,一x：
：
-X=f（x）M。
用M-3语言写出极限Iimf（x）--：
：
的定义为：
^0
_M0,_一:
0,~x（x0,x0、）=f（x）：
：
—M。
用£-X语言写出极限Iimf（x）二A的定义为：
X—
一；0,X0,-XX二f（x）-A：
：
；
（C）不是无界量，是无穷大量；
（D）不是无界量，也不是无穷大量
答（B）
f（）x-1f（x）=
X-1
（B）等于0;
（D）不存在但不是无穷大.
答：
（D）
1
（3）limtanxarctan=
Tx
（A）0;（B）不存在;
31
（近;
ji
（Dp
答：
A
解:
0■x-1
1
任给M。
令_x_i
>
***4、当x>x0时，f（x）是无穷大，且limg（x）二A，从定义出发证明^x0
当x—x0时，f（x）g（x）也为无穷大.
证明：
因为limg（x）二A，所以由局部有界性定理可知
3^>0^M^>0,当0cX—X。
v®时，有g（x）vM1.
又因为limf（x）二：
:
，所以
x0
PM>0,萊2>0，当0<|x_x0|c芬2时，有fgAM+M-
取6=min（d,当0cx—x°£6时,有
f（x）g（x）一f（x）—g（x）（MMJ—Mi=M所以x—x0时，f（x）•g（x）是无穷大.
第2章（之4）
第5次作业
教学内容：
§2.2.4极限的运算法则A-D
1.选择题
*
（1）下列叙述不正确的是
A.无穷大量的倒数是无
B.无穷小量的倒数是无
C.无穷小量与有界量的
D.无穷大量与无穷大量
**
（2）下列叙述不正确的是
A.无穷小量与无穷大量
B.无穷小量与有界量的
C.无穷大量与有界量的
D.无穷大量与无穷大量
穷小量；
穷大量；
乘积是无穷小量；的乘积是无穷大量。
答（B）
的商为无穷小量;积是无穷小量；积是无穷大量；的积是无穷大量。
答（
**（3）"当X—；x0时，f（x）-A是无穷小"是"limf（x）二A"的：
（）x—-xo
（A）充分但非必要条件
（B）必要但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件，亦非必要条件
答：
C
2.
求下列极限:
3=6.
lim2x-1=0,
Xi
cos有界，
2x-1
6
**3.若limg（x）=0,
X〕X0
且在x0的某去心邻域内g（x）=0,lim卫刃二A,fg（x）
则limf（x）必等于0,为什么?
x—SK0
解:
limf（x）=lim
X「XOXjXq
f（x）g（x）
***4
设Xmi
x3ax2
Xb
x2-1x3ax2xb
3,试确定a,b之值.
解:
2,
因0i
X2-1
二3,
***5
解:
原式=|jm|Xf（x°）—xf（x）^xf（x）—x°f（x）
Xfx-xqx-xq
「limxf（x）—f（xQ）limf（x）
X—XqX-XQX—；Xq
=f（x。
）-x°f（Xq）.
第2章（之5）第6次作业
**1.试求下列极限:
（1）
lim
x—P12x
（2）叫
3x1）
丨x）
（3）
2
lim（13x）时。
x）0
解:
1|
l1+2x丿
（2）
1
3x173lim（）
x13x
1
四［（1+2x产］2
3dx
1
~~2
e
（3）
2
lim（13x）五
x—0
=lim
=e6.
**2.试求fX二COSx的导数。
解：
fXpm°COSx'X—Cosx
-2sinx+
:
x.:
x
Sin-22
:
x
二lim
:
x「―0
LX
sin-
2
=x
皿叫x+g
.lim
匚j0|-
—sinLT
<2丿」
2jx
2
.Ax
sin-
lim2=-sinx,
•J0Lx
2
fx=cosx=-sinx
**3。
研究极限lim2一2cosax（a.0）的存在性
解：
原式=lim
ax
2sin—
2
x
lim
x0■
x
c.ax
2sin—
2
ax
2sin
=lim2=a
X—0■x
ax
-2sin-
=lim2=-a
xT_x
由于左、右极限不相等，所以原极限不存在
c.ax
2sin—
2
lim
x0一x
4•选择题
（1）设a:
（x）=__-,P（x）=3_3仮，则当xt1时（）
1+x
（A）〉（x）与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
（B）〉（x）与-（x）是等价无穷小;
（C）：
（x）是比1（x）高阶的无穷小;
（D）'■（x）是比:
-（x）高阶的无穷小.
答：
A
**
（2）设f（x）为可导函数且满足肌
（a,f（a））处的切线斜率为（）
（A）2（B）-1（C）1（D）-2
..f（a）—f（a—x）1rf（a—x）—f（a）limlim
x）02x2x：
0
f（a）--2.
分析:
**（3）
（A）
（C）
f（a）-f（a-x）=一1,则曲线y=f（x）在点
2x
-x
1
=丄f（a）j,
2
答（D）
设f（x）二（2"|x）sinx，贝Uf（x）在x=0处f（0）=2（B）f（0）=0
f（0）-1（D）不可导
sinx（2+|x|）J
=lim=2
x_0
lim"^
x]0
答（A）
***5•适当选取A、k的值，使下式成立：
..1tanx-1■sinx~Axk（当x“0）
解:
tanx-sinx
-1tanx.1sinx
1-cosx
sinx（）
cosx
1tanx1sinx
sinx2sin2x
2
（、1tanx.1sinx）cosx
x—；0时，sinx~x,
1
A,k=3.
4
上式等价于
11
x3
6.当Xr0时，试确定下列各无穷小对x的阶数.
*
（1）X310000X2;
x（x+1）
⑵13x
32
解：
（1）limx10000x10000,
x2
阶数为2。
x（x1）
（2）Tim3
T（1+Tx），x
x+1
黒乔vx
=1,
.阶数为1.
（、1:
-（x）cos
x
0
数f（x）在x=0点处可导.
**7.设f（x）二
x=0,
其中〉（x）为X的高阶无穷小.（X-;
cos-是有界量，所以
x
证明：
由于x>0时，1凶是无穷小量,
x
.f（x）在x=0处可导•
x2
1
（a0），试确定a,
b之值•
0），试证明函
解:
设lim—
xTla2+x2（b-cosx）
处可导，且
（0）=5,
f（x）（x）tan5xtan5x（x）-（0）
limlim2lim
xj0xx0xxj0xx
二f（x）与5乂为同阶无穷小（XTo时）.
***10.
设f（x）=HM,
（1-e2x）x
其中（x）在x=0处可导，且（0）=0,求limf（x）.
^_^0
解：
limf（x）=lim（x）一（0）
^0\/^0
sinx
1-e2x
***11.
（1）若当xX（某个定数）时，恒有fx岂gx乞hx，且已知
limfx=lim-hx=A。
证明：
lim-gx=A.
x、：
：
X）：
：
X—）:
:
（2）若对于一切正数x，都有
_1—_Lx—
X21X、x21
<-，试求:
证明：
（1依题意，-；.0,Xi0，使仅当xXi时，A-；：
:
：
f（x）；同理，
-iX2•0,当x.X2时，有h（x）:
:
：
A•；,令X’=max（x1,x2,x）则当x■X'时，同时成立
A—；：
：
：
f（x）“（x2h（x）：
：
：
A；,即g（x）—A「，亦即xmg（x）=ao
^2/
2）依题意，有匸x；：
—（x）^xx21,
利用
（1）,知lim「（x）=2.
x_Jpc
**1•从定义出发证明函数fx=Ix在任一点心〔，0处连续。
分析:
X—X0
|x_X0|
Xg
—xr怡
Xo
=0=f0,x
二函数f（x）在点x=0连续.
~e（cosx-1）—-x2
2
e
x
故原式=lim22
xTx2
sinx42
（e-1）1x
（1-cosx）ln（1x2）
」m」（x）叮乩（1一"2,
x
f（1-0）
兀x
理叩丄込于二0,
71
f（1"违
第2章（之7）
第8次作业
教学内容：
§2.3.4函数的间断点及其分类
§2.4.1函数可导与连续的关系
§2.3.5闭区间上连续函数的性质
§2.4.2函数的和差积商的求导法则
**1.函数
A.
C.
x2—1
y=~2——的间断点为
x-3x2
=1,2都是第一类；
=1是第一类，
x=1、2,则此函数间断点的类型为（
D.
答：
C
x=1是第二类，
B.x=1,2都是第二类;x=2是第二类；x=2是第一类.
***2.设f（x）二
X2-X
x2-1
sin1，则x一1是f（x）的
x
间断点；x=0是f（x）的
_间断点;
答案:
1、无穷；
X=1是f（x）的
2、可去；3、跳跃.
间断点.
***3.对怎样的
a值，点x=a是函数fx=x4的可去间断点?
x—a
x2-4
解：
函数在可去间断点处x=a极限必存在。
由极限基本定理，设limA，则必有
x-a
a时的无穷小。
而limx2-4=a2-4,
2a-4二0得a=「2。
经验证，当
x2-4=Ax-a］亠mxx-a，其中xix是x—
另一方面，limAx-a］亠⑵xx-a丨-0。
所以由
xt
x2_4
2时，lim存在，故a=2为所求.
—x—a
故x二■,2-，-3二，…是f（x）的第二类间断点；
.x=1是f（x）的跳跃间断点
1
f（1"而，f—）
1-COSX
2x
xsinx
故x二0不是无穷间断点
limf（x）=lim-x（x二。
一」
joj0x-1sinx
***5、指出下面函数的无穷间断点：
f（x）=—.
xsinx
解：
依题意，x=0及x=k二（k二1,_2，…）是f（x）的间断点.而
=lim^」
x*-x（2k二-x）
口1—cosx1—cos（2k兀一x）
乂limlim
x-2k二xsinxx_2k^-xsin（2k^-x）
而x^册f2），
函数f（x）的无穷间断点为x-_i,二3二，二5二，….
**6•设y二fx在0,1】上连续，且0乞fx空1。
试证：
存在］三0,11使f二成立.证：
构造函数Fx］=fx-x，则Fx在0,11上连续。
且F01=f0-0_0,
F1=f1-1岂0。
则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个>0,11使F「）=0,
即f•二成立.证毕.
***7.证明方程x=asinxba0,b0至少有一个不超过a-b的正数根.
证：
令Fx二x-asinx-b,且有F0二一b：
：
0,
Fab=a^sinaLo，故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个
r：
=（0,ab］，使得F=0，即=asin：
亠b.证毕.
***8.如果fx在区间a,b内连续，捲：
：
：
x2：
：
：
…：
:
：
xn是该区间内任意n个点，试证明在a,b内至少存在一点•，使得f二口»…电.
n
证：
因为函数fx在吒公.〔二〔a,b上连续。
由闭区间上连续函数最值定理有
m=minfx,M二maxfx.
x1_x^xriaian
所以，
x1fx2…fxn:
:
:
M.
n
再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。
证毕
**9
解：
设f（x）=x5-3x-1，
零值定理知至少存在一点-（1,2）,使f（）=0
即方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间•
****10.若fx在:
;:
-匚打;3:
上连续，且lim_fx=A，试证明fx在:
亠「］上有界.
证明：
依题意，取名=1,次A0，当XAX时，有f（X）—AV1，于是f（x）勻f（x）—A+|Ac1+|A.
又当x兰X时，利用闭区间上连续函数的有界性定理，
mM1>0,WxeLx,X】，有f（x）|兰M1，取M=max（M仆1+A），则在
（-°°,址）上有f（x）兰M成立.
**11.讨论
解:
**12.试问曲线
2-x,
x_1
x:
:
1
在点1,1处是否有切线，为什么？
试简单说明之
解：
没有。
lim=2，
x1x—1
2-x-1
x-1
X-1
2-x-1
即曲线在点1,1处没有切线
***13.设f（x）在（」：
「：
）上有定义,在此定义域上恒有f（x•1）=2f（x）,且在［0,1］上有f（x）=x（1-x）.讨论f（x）在x=0处的可导性.
解:
=lim-
0-
***14.试确定式中
f.（0Hlim空SO）
^0+x
1
x（x1）
2
讪止刃=1,
x）0x
a,b之值，使f（x）处处可导:
x
e,
、ax+b,x兰0.
解：
；f（x）在0点处可导，所以必连续。
x:
:
0,
f（0-0）=limf（x）=limex=1,
^0—x—J0—
f（00^limf（X）=lim（axb）=b,
xT十xT
b=1。
/e-be
f_（0）=limlim
7—x7—f/（0）jim^^“心3十
a=1.
***15.设f（x）=x-ag（x）,其中g（x）在x=a处连续且g（a）=O,讨论f（x）在x=a处的连续性与可导性.
limf（x）-f（a）
=lim
x__.a
x-a
x-a
g（x）=0
解:
*16.设u（x）,v（x）,w（x）在点x处可导。
试证明：
[u（x）v（x）w（x）]二u（x）v（x）w（x）u（x）v（x）w（x）u（x）v（x）w（x）.
证明：
左式=[（uv）w]=（uv）w（uv）w二（uvwuvw）uvw=右式.
第2章（之8）
第9次作业
教学内容：
§243反函数的求导法则
§244复合函数求导法则§245基本求导公式
*1.求下列各函数的导数
⑴
y=cotx-cscx；
（2）
secx
y2；
x
⑶
Inxy=x
（4）
y二x（ex_lnx）；
（5）
xI
y=xeInx；
（6）
y=ex（cosxsinx）；
⑺y=2x3--log3e;
x
x
（8）y=2tanxsecx.
secx
（2）—（xtanx-2）;
x
⑷（x1）ex一Inx-1;
（6）2excosx；
（8）2xIn2tanx2xsec2xsecxtanx.
2.求下列函数的导数：
**
（1）y二sin（3e2x1）；
**
（2）
解:
x3'
◎x-1丫2（x+3）_（2x_1）1ix十3丿（x+3）2
=4（2x-Q6_2x1]
（x3）5
y、4
28（2x-1）3
（x3）5
**（3）
y=ln[2sin（x1）]；
~2cos（x+1）=cot（x+1）.
**（5）
解:
7
2xx°
解：
y'=cos（3e2x1）3e2x2=6cos（3e2x1）e2x.
解：
y二sin2
升级会员 