平面向量的线性运算以及坐标运算.docx

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平面向量的线性运算以及坐标运算

平面向量的线性运算以及坐标运算

一、同步知识梳理

1、向量：

既有大小，又有方向的量．（注意零向量，单位向量）

数量：

只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：

起点、方向、长度．

平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

2、向量加（减）法运算：

三角形法则的特点：

首尾相连．

平行四边形法则的特点：

共起点．

三角形不等式：

．

运算性质：

交换律：

；结合律：

；．

3、向量数乘运算：

实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

；

当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

运算律：

；；．

二、同步例题分析

例1、判断下列命题的真假。

（1）零向量是没有方向的；

（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量与向量的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量的单位向量是；（10）若，则；（11）若，则；（12）若，则；（13）若，则。

例2、给出下列几个命题：

（1）若，则；

（2）若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

（3）在平行四边形ABCD中，一定有；

（4）若，则。

其中不正确命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

例3、如图，在中，，M为BC的中点，则=________。

（用表示）

变式：

1、化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）。

2、已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（）

A．B．C．D．

3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（）

（1）时，与的方向一定相反；

（2）时，与的方向一定相同；

（3）时，与是共线向量；

（4）时，与的方向一定相同；

（5）时，与的方向一定相反。

A.2个B.3个C.4个D.5个

4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。

求证：

5、如图，在五边形ABCDE中，若ACDE是平行四边形，且，，，试用表示向量及。

例8、设两个非零向量不共线，

（1）若，求证：

A、B、D三点共线。

（2）试确定实数k使得与共线。

变式：

如图，平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：

M是BD的一个三等分点。

三、课后作业

1、若有以下命题：

两个相等向量的模相等；若和都是单位向量，则；

相等的两个向量一定是共线向量；，，则；

零向量是唯一没有方向的向量；两个非零向量的和可以是零。

其中正确的命题序号是。

2、已知下列各式：

①；②③④

其中结果为零向量的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（）

A．B．C．D．

4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；

此时．

5、若则的取值范围是

6、（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量（）

A.B.C.D.

7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____

8、设为两个不共线的向量，若与共线，则=__________________

9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．

10、如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC

④中点公式

设，P为的中点，则对任一点O，有

，所以点P的坐标是。

二、专题经典讲练

例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）

A.B.

C.D.

例2、已知，向量，若，求向量。

变式：

1、已知，求。

2、若，则=___________。

3、设向量a=（1,－3）,b=（－2,4）,若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）

（A）（1，－1）（B）（－1，1）（C）（－4，6）（D）（4，－6）

4、已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为（）

A．0B．－8C．2D．10

例2、已知点，设的平分线AE与BC相交于E，且，则等于（）

A.2B.C.-3D.

变式：

1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为（）

例3、已知点A（1,－2）,若向量与={2,3}同向,=2,则点B的坐标为.

变式：

1、已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是（）

A．[－4，6]B．[－6，4]C．[－6，2]D．[－2，6]

2、已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）

A．B．C．16，0D．4，0

3、若平面向量与向量的夹角是，且，则

A.B.C.D.

4、若向量，满足，则与所成角的大小为________．

例4、若向量，且，求的值。

变式：

1、已知向量且∥，则=

（A）（B）（C）（D）

2、向量，当为何值时，A、B、C三点共线。

3、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为（）

（A）（B）（C）（D）

例5、已知三点，点P满足

（1）为何值时，点P在正比例函数的图像上？

（2）设点P在第三象限，求的取值范围。

课后作业

1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，

2、已知点（　　）

A．B．C．D．

3、已知，，，若，则等于（）

A．

B．

C．

D．

4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量,则向量的坐标为

6、在直角坐标系xOy中，已知点A（0,1）和点B（-3,4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=

7、已知ABCD为平行四边形，A（-1,2），B（0,0），Ｃ（1,7），则Ｄ点坐标为

8、若平面向量满足，平行于轴，，则．

9、已知点,,.若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为__________.