奥数6110牛吃草问题题库.docx
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奥数6110牛吃草问题题库
教学目标
1.理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路.
2.初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识精讲
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.
“牛吃草”问题主要涉及三个量:
草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
1草的每天生长量不变;
2每头牛每天的食草量不变;
3草的总量
草场原有的草量
新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
4新生的草量
每天生长量
天数.
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度
(对应牛的头数
较多天数
对应牛的头数
较少天数)
(较多天数
较少天数);
⑶原来的草量
对应牛的头数
吃的天数
草的生长速度
吃的天数;
⑷吃的天数
原来的草量
(牛的头数
草的生长速度);
⑸牛的头数
原来的草量
吃的天数
草的生长速度.
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
例题精讲
板块一、一块地的“牛吃草问题”
【例1】青青一牧场,牧草喂牛羊;
放牛二十七,六周全吃光。
改养廿三只,九周走他方;
若养二十一,可作几周粮?
(注:
“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
)
【解说】题目翻译过来是:
一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛,要几个星期才可以吃完?
(注:
牧场的草每天都在生长)
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,27头牛吃6周共吃了
份;23头牛吃9周共吃了
份.第二种吃法比第一种吃法多吃了
份草,这45份草是牧场的草
周生长出来的,所以每周生长的草量为
,那么原有草量为:
.
供21头牛吃,若有15头牛去吃每周生长的草,剩下6头牛需要
(周)可将原有牧草吃完,即它可供21头牛吃12周.
【巩固】牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,10头牛吃20天共吃了
份;15头牛吃10天共吃了
份.第一种吃法比第二种吃法多吃了
份草,这50份草是牧场的草
天生长出来的,所以每天生长的草量为
,那么原有草量为:
.
供25头牛吃,若有5头牛去吃每天生长的草,剩下20头牛需要
(天)可将原有牧草吃完,即它可供25头牛吃5天.
【巩固】仓库里原有一批存货,以后继续运货进仓,且每天运进的货一样多。
用同样的汽车运货出仓,如果每天用4辆汽车,则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车,则6天恰好运完。
仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完?
1【解析】设
辆汽车
天运货为“
”,进货速度为
,原有存货为
,仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要
(天)
【例2】牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周?
1【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”,草的生长速度为
,原有草量为
,可供
(头)牛吃18周
【巩固】有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么
天生长的草量为
,所以每天生长的草量为
;原有草量为:
.
20天里,草场共提供草
,可以让
头牛吃20天.
【巩固】(2007年湖北省“创新杯”)
牧场有一片青草,每天长势一样,已知70头牛24天把草吃完,30头牛60天把草吃完,则头牛96天可以把草吃完.
2【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天新生长的草量为
,牧场原有草量为
,要吃96天,需要
(头)牛.
【巩固】一牧场放牛58头,7天把草吃完;若放牛50头,则9天吃完.假定草的生长量每日相等,每头牛每日的吃草量也相同,那么放多少头牛6天可以把草吃完?
3【解析】设1头牛1天的吃草量为1个单位,则每天生长的草量为:
,原有草量为:
,
(头)
【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果要4周吃光野果,则需有多少只猴子一起吃?
(假定野果生长的速度不变)
2【解析】设一只猴子一周吃的野果为“
”,则野果的生长速度是
,原有的野果为
,如果要4周吃光野果,则需有
只猴子一起吃
【巩固】一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
4【解析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天?
(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天?
(台).
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天?
(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天?
(台).
若6天抽完,共需抽水机多少台?
(台).
【例3】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
5【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天自然减少的草量为:
,原有草量为:
;10天吃完需要牛的头数是:
(头).
【巩固】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供多少头牛吃12天?
2【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。
牧场上的草每天自然减少
;
原来牧场有草
,
12天吃完需要牛的头数是:
(头)或
(头)。
【例4】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天.那么,可供11头牛吃几天?
2【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,
天自然减少的草量为
,原有草量为:
.
若有11头牛来吃草,每天草减少
;所以可供11头牛吃
(天).
【巩固】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃多少天?
3【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。
牧场上的草每天自然减少
原来牧场有草
可供10头牛吃的天数是:
(天)。
【例5】一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天.那么每天生长的草量为
,原有草量为:
.
10头牛和75只羊1天一起吃的草量,相当于25头牛一天吃的草量;25头牛中,若有10头牛去吃每天生长的草,那么剩下的15头牛需要
天可以把原有草量吃完,即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天.
【巩固】(
年希望杯六年级二试试题)
有一片草场,草每天的生长速度相同。
若14头牛30天可将草吃完,70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。
那么,17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
4【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”,所以可以设一只羊一天的食量为1,那么14头牛30天吃了
单位草量,而70只羊16天吃了
单位草量,所以草场在每天内增加了
草量,原来的草量为
草量,所以如果安排17头牛和20只羊,即每天食草88草量,经过
天,可将草吃完。
【巩固】一片牧草,每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。
如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?
6【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,
只羊的吃草量等于
头牛的吃草量,
只羊的吃草量等于
头牛的吃草量,所以草的生长速度为
,原有草量为
,12头牛与88只羊一起吃可以吃
(天)
【巩固】一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
16头牛15天16×15=240:
原有草量+15天生长的草量
100只羊(25头牛)6天25×6=150:
原有草量+6天生长的草量
从上易发现:
1天生长的草量=10;那么原有草量:
150-10×6=90;
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量,其中10头牛去吃新生草,那么剩下的10头牛吃原有草,90只需9天,所以8头牛与48只羊一起吃,可以吃9天。
【例6】有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完.问:
原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为
,原有草量为:
.
现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加
才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为
(头).
【巩固】一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以再吃几天?
1【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为
,原有草量为:
.如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩
,而牛的头数变为6,现在就相当于:
“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?
”易得答案为:
(天).
【例7】一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?
2【解析】设1匹马1天吃草量为“1”,根据题意,有:
15天马和牛吃草量
原有草量
天新生长草量……⑴
20天马和羊吃草量
原有草量
天新生长草量……⑵
30天牛和羊(等于马)吃草量
原有草量
天新生长草量……⑶
由
可得:
30天牛吃草量
原有草量,所以:
牛每天吃草量
原有草量
;
由⑶可知,30天羊吃草量
天新生长草量,所以:
羊每天吃草量
每天新生长草量;设马每天吃的草为
份
将上述结果带入⑵得:
原有草量
,所以牛每天吃草量
.
这样如果同时放牧牛、羊、马,可以让羊去吃新生长的草,牛和马吃原有的草,可以吃:
(天).
【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?
3【解析】牛、马45天吃了原有
天新长的草①
牛、马90天吃了2原有
天新长的草⑤
马、羊60天吃了