微分几何测试题集锦含答案.docx

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微分几何测试题集锦含答案

《微分几何》测试题

（一）

一．填空题：

（每小题2分，共20分）

向量具有固定方向，则=___t__。

非零向量满足的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线

设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面

是曲线在P点的___密切平面__________。

曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方

程是__________________________。

曲线在t=1点处有，则曲线在t=1对应的点处其挠率

=_-2_____。

主法线与固定方向垂直的曲线是__一般螺线__

如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

曲面在点的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：

（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线

12、曲线在P（t）点的曲率为k,挠率为，则下列式子___A___不正确。

A、B、C、D、

13、对于曲面的第一基本形式__D___。

A、B、C、D、

三．计算与证明题：

（22题14分，其余各9分）

21、已知圆柱螺线，试求

在点的切线和法平面。

曲率和挠率。

22、对于圆柱面，试求

的第一、第二基本形式；

在任意点处沿任意方向的法曲率；

在任意点的高斯曲率和平均曲率；

试证的坐标曲线是曲率线。

《微分几何》测试题

（二）

一．单项选择题（2×10=20分）

1．若向量函数的终点在通过原点的一条直线上，则（）

A．是定长的；B.是定向的；

C．；D..

2．对于向量函数，若，则（）

A．是定长向量；B.定长向量；

C．是定向向量；D.是定向向量.

3．设均为非零向量，且，则（　）

Ａ.线性相关；　　　　　　Ｂ.线性无关；

Ｃ.可以由线性表示；D.可以由线性表示.

4．挠率曲率的曲线是（）

A．半径为4的圆；B.半径为的圆；

C．半径为2的圆；D.半径为的圆.

5．空间曲线的形状由（）决定

A．由曲率和挠率；B.仅由曲率；

C．仅由挠率；D.由参数的选取.

6．曲率是常数的曲线（）

A．一定是直线；B.一定是圆；

C．一定是球面上的曲线；.答案A,B,C都不对.

7．设S是球面，则（）

A．S上每一点是双曲点；B.S上每一点是抛物点；

C．S上的圆的指向球心；D.S上的测地线的指向球心.

8．若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为（）

的球面贴合

A．；B.2；C.；D.4.

9．圆柱螺线在任一点的切线与轴的夹角（）

A．为；B.；C.与有关；D.与有关.

10．设非直线的曲线C是曲面S:

上的测地线，则有（）

A.C在每一点∥;B.C在每一点;

C.C在每一点∥;D.C在每一点.

一．判断题（2×10=20分）

1．向量函数满足，则必有一常向量，满足⊥.

2．如果曲线C:

的所有向径共面，则必与某一固定向量垂直.

3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.（）

4．直纹面上的直母线一定是曲率线.（）

5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切，则C是S上的测地线.

6．如果两个曲面S与S之间的一个对应关系，使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则S与S等距等价.

7．设曲面S：

=,如果,则—线是曲率线.（）

8．设曲面S：

=，如果，则曲面上的所有曲线都是曲率线.

9．曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.（）

10．球面上的曲率线是大圆.（）

二．计算题（10×4=40分）

1．求曲线C：

=｝上在处的密切面方程.

2．已知曲线C：

=（是弧长参数）的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数，求曲线：

=的曲率和挠率.

3．求曲面上的渐近线.

4．求圆环面S：

={（b+acos）cos,（b+acos）sin,asin}

上的椭圆点，双曲点和抛物点.

三．证明题（10×2=20分）

1．证明：

如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.

2．设C是半径为的球面上半径为的圆，是曲率.证明：

.

B

一．单项选择题（2×10=20分）

1．设，若∥则（）

A．；B.；C.；D.为任意实数.

2．设曲线C:

满足则（）

A.C是单位球面上的曲线；B.是C的弧长参数；

C.变向量具有固定方向；D.变向量具有固定长度.

3．若向量函数对于任意都有.则（）

A.是定向的向量；B.是定长的向量；

C.；D..

4．可展曲面上每一点都是（）

A.椭圆点；B.抛物点；

C.圆点；D.平点.

5．若曲线C的曲率则（）

A.C是半径为2的圆;B.C是半径为的圆;

C.C是半径为的圆;D.C是半径为的圆.

6．曲面上与线正交的曲线满足（）

A.;B.;

C.;D..

7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则（）

A．C在每一点，∥；B.C在每一点,；

C．C在每一点，∥；D.C在每一点，.

8．在曲面S:

上，线的微分方程是（）

A．；B.；

C．；D..

9．若两个曲面等距等价，则（）

A.它们有相同的第一基本形式；

B.它们有相同的第二基本形式；

C．它们有相同的第三基本形式；

D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.

10．若曲面S:

上任一点，都有，则（）

A．参数曲线网是渐近线网；B.参数曲线网是曲率线网；

C．参数曲线网是测地线网；D.答案A,B,C都不对.

二．判断题（2×10=20分）

1.向量函数满足则必有一常向量，满足⊥.（）

2．如果曲线C:

的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（）

3.曲线C：

=与曲线：

=在处有相同的曲率.（）

4.曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆.（）

5.设S是平面，则S上每一点，都有==0.（）

6.球面上的圆的指向球心.（）

7.可展曲面上没有双曲点.（）

8.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.（）

9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有，=.（）

10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.（）

三．计算题（10×4=40分）

1.求曲线C：

=｛,｝的曲率和挠率.

2.设曲线C：

=是平面曲线，求.

3.求圆柱面=在处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.

4.求曲面S：

=的高斯曲率.

四．证明题（10×2=20分）

1．证明：

如果一条曲线：

=（s）（s是弧长参数）的所有从切面都经过一个固定点，则的挠率和曲率之比是s的一次函数.

2．证明：

可展曲面上的直母线是曲率线.

证明：

如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平面.

《微分几何》测试题（三）

一．填空题：

（每小题2分，共20分）

具有固定方向的充要条件是______________________。

挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是

。

如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向

。

曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为

____________。

7．半径为R的球面的高斯曲率K=.

8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。

10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和。

二．选择填空题：

（每小题3分，共30分）

1、圆柱螺线在点的切线为______。

A、B、

C、D、

2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0

C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0

3、在直纹面（为单位向量）中，导线是腰曲线

的充要条件是_____。

A、B、C、D、

4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0

5、下列曲面中_____不是可展曲面。

A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面

6、曲面上，不是曲面的内蕴量。

A、两曲线的夹角B、曲线的弧长

C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率

7、曲面，是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，是不正确的。

A、N=B、N=C、N=D、N=

9、球面的坐标曲线构不成。

A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网

10、曲线在P点的基本向量是曲率为k（s）,挠率为，则=。

A、B、C、D、

三．计算题：

（1、2题各10分，3题8分，共26分）

1、求螺线上点的曲率和挠率。

2、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯

曲率。

四．证明题：

（每小题8分，共24分）

1．证明：

如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。

《微分几何》测试题（四）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、变矢满足的充要条件是______________________。

2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、、，则过P点由和确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。

3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。

4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。

5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。

6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。

7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。

9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg，G是单连通曲面域，G的边界是一条光滑闭曲线，则。

二、选择题（每小题3分，共30分）

11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。

A、法曲率knB、挠率τ

C、测地曲率kgD、曲率k

12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。

A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线

13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。

A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定

14、设、、是曲线（C）在一点的三个基本向量，则=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。

A、kB、τC、－τD、τ

15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。

A、F=0B、M=0C、F=M=0D、L=N=0

16、曲面上的直线不一定是_____。

A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线

19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、锥面B、单叶双曲面