数与代数的知识点.docx
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数与代数的知识点
ModifiedbyJACKontheafternoonofDecember26,2020
数与代数的知识点
整理和复习
一、数与代数
（一）数的认识
定义：
像8，16，+1，，+这样的数叫做正数
正数写法和读法：
正数前面加“+”号。
如+8读作：
“正八”
“+”号一般可以省略不写
数定义：
像-1，，，-这样的数叫做负数
负数写法和读法：
负数前面加“-”号。
如-15读作：
“负十五”
数字越大负数反而越小
比0小的数是负数，比0大的数是正数“0”既不是正数，也不是负数。
正整数
自然数
整数0
负整数
（自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数）
小数：
整数部分，小数点，小数部分
数真分数
分数：
整数1
假分数
带分数
（小数是特殊的分数）
百分数：
（1）分母是100的分数叫做百分数。
（2）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
百分数又叫百分比或百分率。
百分数通常不写成分数形式，而采用符号“%”来表示，叫做百分号。
知识点一：
整数
整数部分
小数点
小数部分
亿级
万级
个级
数位
千百十亿
亿亿亿
位位位位
千百十万
万万万
位位位位
千百十个
位位位位
.
十百千......
分分分
计数单位
千百十亿
亿亿亿
千百十万
万万万
千百十一
（个）
十百千......
分分分......
之之之......
一一一......
1、读数：
从最高位起，一级一级的读。
读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。
每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。
写数：
先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0。
2、数的改写与求近似数：
为了读写方便，常把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数。
如:
2365500=万（改写用“万”作单位的数）。
如:
2365500≈237万（省略万位后面的尾数，写成近似数），如:
≈（保留一位小数）。
知识点二：
小数
1、小数的意义：
把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几份是十分之几，百分之几，千分之几…可以用小数来表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…
2、小数的读法和写法：
①读小数时，整数部分按照整数读法来读（整数部分是0的读作“零”）小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。
②写小数时，整数部分按照整数写法来写（整数部分是0的写作“0”小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。
3、小数大小的比较：
比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就在;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
4、小数的性质：
小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
知识点三：
分数
1、分数的分类
（1）真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
（2）假分数：
分子比分母大或者与分母相等的分数叫做假分数。
（3）带分数：
假分数化成带分数：
用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、余数做分子、分母不变。
如：
=1（10÷7=1……3）
3、分数大小的比较：
分母相同的两个分数，分子大的分数比较大;分子相同的两个分数，分母小的分数比较大
4、分数的基本性质：
分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
5、约分:
根据分数的基本性质，把分子、分母的公因数约去的过程，叫做分数的约分。
通分:
根据分数的基本性质，把分母不同的分数化成分母相同的分数,这个过程叫做分数的通分。
6、分数的乘法和除法
×=÷=×
分数的倒数：
分数的分子、分母交换位置（乘积是1的两个数互为倒数）
整数的倒数：
化为分母为1的分数，再求倒数
小数的倒数：
化为分数，再求倒数
知识点四：
因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例如，12÷2=6,12是2的倍数，2是12的因数。
因数与倍数是相互依存的。
2、一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数个数是无限的。
3、个位上是5或0的数都是5的倍数，个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
4、整数中，是2的倍数的书叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
5、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
如2,3,5,7都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
如4,6,15,49都是合数。
1既不是质数，也不是合数。
2是最小的质数，4是最小的合数。
7、100以内的质数：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
8、互质数：
公因数只有1的两个数叫做互质数。
9、最大公因数：
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
10、最小公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最大的一个数叫做这几个数的最小公倍数。
11、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的积。
利用短除法求最大公因数和最小公倍数。
知识点五：
数的互化
数的互化包括小数、分数、百分数之间的互化。
（二）数的运算（加、减、乘、除）
1、在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。
2、在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。
3、在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
4、运算定律
交换律：
A+B=B+A交换律：
A×B=B×A
加法结合律：
（A+B）+C=A+（B+C）乘法结合律：
A×B×C=A×（B×C）
分配律：
（A+B）×C=A×C+B×C
减法的运算性质：
A-B-C=A-（B+C）除法的运算性质：
A÷B÷C=A÷（B×C）
5、常见的数量关系：
速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间
单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量
工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
收入-支出=结余本金×利率×时间=利息
6、分数应用题：
关键是找准标准量，即单位“1”。
若单位“1”已知，用乘法计算；若单位“1”未知，用除法计算。
（1）求甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）的解题规律：
甲乙的差÷乙；
（2）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求甲的的解题规律：
乙×（1±几分之几/百分数）；求比前的量用乘法。
（3）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求乙的的解题规律：
甲÷（1±几分之几/百分数）；求比后的量用除法。
（三）式与方程
知识点一：
用字母表示数
1、数量关系可以用含有字母的式子简明而概括地表达出来。
用字母还可以表示运算律或者计算公式。
2、写法：
字母和数字之间或字母与字母之间的乘号可以记作“·”或者省略不写。
但要注意，在省略乘号的时候，数字要写在字母的前面。
例如：
a×3=3·a（或3a）；m×n=m·n（或mn）；5×b×c=5·b·c（5bc）。
知识点二：
等式与方程
1、等式：
表示相等关系的式子叫等式。
2、方程：
含有未知数的等式叫做方程。
3、等式与方程的关系：
所有的方程都是等式，但是等式不全是方程。
知识点三：
等式的性质
1、等式的基本性质1：
等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。
2、等式的基本性质2：
等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。
知识点四:
解方程
1、方程的解的定义：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2、解方程的定义：
求方程解的过程叫做解方程。
3、解方程的依据：
（1）等式的性质；
（2）加与减、乘与除各部分之间的互逆关系。
知识点五:
列方程解决问题
列方程解决问题的一般步骤：
1、弄清题意，找出未知数并用x表示；
2、找出问题中数量之间的相等关系，列出方程；
3、解方程；4、检验并写出答语。
（四）比和比例
知识点一有关比和比例的知识
1、比和比例的联系和区别
比
比例
意义
两个数的比表示两个数相除
表示两个比相等的式子叫做比例
各部分的名称
9:
6=
前项后项比值
9：
6=3：
2
内项
外项
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
两个外项的积等于两个内向的积
联系
例子
各部分名称
分数
分子
分数线—
分母
分数值
除法
被除数
除号÷
除数
商
5÷8
比
前项
比号：
后项
比值
5:
8
2、比和分数、除法的关系
3、比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律之间的关系
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
分数的基本性质：
分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
商不变的规律：
被除数和除数同时乘和除以相同的数（0除外），商不变。
4、求比值和化简比的联系和区别
一般方法
结果
求比值
根据比值的意义，用前项除以后项
是一个商，可以是整数、小数、分数
如，60:
50=不能写成60:
50=6:
5
化简比
根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）
结果是一个比，前项和后项都是整数
18:
6=3:
1
化简比的方法
整数比
比的前项和后项同时除以它们最大公因数（也可以一步一步的除）
如，18:
6=（18÷6）：
（6÷6）=3:
1或18:
6=（18÷2）：
（6÷2）=9:
3=（9÷3）：
（3÷3）=3:
1
小数比
先把比的前项和后项同时乘以10、100……，变成整数比；再把整数比化成最简比
如，:
=（×100）：
（×100）=25:
150=1:
6
分数比
先把比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比；再把整数比化成最简比
如，：
=（×24）：
（×24）=20:
9
混合比
先把混合比变成小数比或分数比（如果比中的分数不能化成有限小数的，一般化为分数比），再变成整数比，最后把整数比化成最简比
如，：
=：
=25:
2或：
=:
=25:
2
如，：
中的不能化成有限小数，所以把：
先化为分数比。
：
=：
=25:
9
知识点二按比例分配解决问题
1、按比例分配应用题：
把一个数量按照一定的比例分配成几部分，求每一部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。
2、解题方法：
一般方法：
把比转化成分数，用分数方法解答。
即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。
归一法：
把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用总
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