人教B版数学必修第一册新教材同步讲义第3章+311+第1课时 函数的概念和答.docx

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人教B版数学必修第一册新教材同步讲义第3章+311+第1课时函数的概念和答

3.1　函数的概念与性质

3.1.1　函数及其表示方法

第1课时　函数的概念

学习目标

核心素养

1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．（重点、难点）

2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．（重点）

1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．

2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．

3．借助f（x）与f（a）的关系，培养逻辑推理素养.

1．函数的概念

定义

给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f（x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：

y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量

三要素

对应关系

y＝f（x），x∈A

定义域

自变量x的取值的范围（即数集A）

值域

所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}

思考：

（1）有人认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

（2）f（x）与f（a）有何区别与联系？

提示：

（1）这种看法不对．

符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），h（x）等来表示函数．

（2）f（x）与f（a）的区别与联系：

f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一个常数．

2．两个函数相同

一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数．

1．思考辨析

（1）函数y＝f（x）＝x2，x∈A与u＝f（t）＝t2，t∈A表示的是同一个函数．（　　）

（2）函数y＝f（x）＝x2，x∈[0,2]与g（x）＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．（　　）

（3）函数y＝f（x）＝x2，x∈[0,2]与h（x）＝x2，x∈（0,2）表示同一个函数．（　　）

[提示]　

（1）两个函数定义域相同，对应关系也相同．

（2）两函数的对应关系不同．

（3）两函数的定义域不同．

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．函数y＝

的定义域是（　　）

A．[－1，＋∞）　　　B．[－1,0）

C．（－1，＋∞）D．（－1,0）

C　[由x＋1>0得x>－1.

所以函数的定义域为（－1，＋∞）．]

3．若f（x）＝

，则f（3）＝________.

－

　[f（3）＝

＝－

.]

4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．

x

x＜2

2≤x≤3

x＞3

y

－1

0

1

{－1,0,1}　[函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]

函数的概念

【例1】　

（1）下列四组函数，表示同一函数的是（　　）

A．f（x）＝

，g（x）＝x

B．f（x）＝x，g（x）＝

C．f（x）＝

，g（x）＝x

D．f（x）＝x2，g（x）＝（

）4

（2）判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．

①A＝R，B＝R，对应法则f：

y＝

；

②A＝{1,2,3}，B＝R，f

（1）＝f

（2）＝3，f（3）＝4；

③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应法则如图所示．

（1）C　[选项A中，由于f（x）＝

＝|x|，g（x）＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；

选项B中，由于f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝

的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；

选项C中，f（x）＝

＝x，g（x）＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；

选项D中，f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（

）4＝x2的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]

（2）[解]　①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：

y＝

的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．

②由f

（1）＝f

（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．

③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

（1）A，B必须是非空实数集．

（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．判断函数相等的方法

（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；

（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

1．判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．

（1）A＝N，B＝N*，对应法则f：

对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

（2）A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：

x→y＝x2，x∈A，y∈B；

（3）A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：

x→y＝x2，x∈A，y∈B；

（4）A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：

对A中元素求面积与B中元素对应．

[解]　

（1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．

（2）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．

（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．

（4）集合A不是数集，故不是函数．

求函数的定义域

[探究问题]

1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？

提示：

不可以．如f（x）＝

.倘若先化简，则f（x）＝

，从而定义域与原函数不等价．

2．若函数y＝f（x＋1）的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？

函数y＝f（x）的定义域是什么？

提示：

[1,2]是自变量x的取值范围．

函数y＝f（x）的定义域是x＋1的范围[2,3]．

【例2】　求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝2＋

；

（2）f（x）＝（x－1）0＋

；

（3）f（x）＝

·

；

（4）f（x）＝

－

.

[思路点拨]　要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．

[解]　

（1）当且仅当x－2≠0，

即x≠2时，

函数f（x）＝2＋

有意义，

所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

（2）函数有意义，当且仅当

解得x>－1且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

（3）函数有意义，当且仅当

解得1≤x≤3，

所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

（4）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

解得x≤1且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．

（变结论）在本例（3）条件不变的前提下，求函数y＝f（x＋1）的定义域．

[解]　由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.

所以函数y＝f（x＋1）的定义域为[0,2]．

求函数定义域的常用方法

（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零.

（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.

（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

2．下列函数的定义域不是R的是（　　）

A．y＝x＋1　　　　　　B．y＝x2

C．y＝

D．y＝2x

C　[A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都是R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.]

3．已知函数f（x）＝

的定义域为M，g（x）＝

的定义域为N，则M∩N＝（　　）

A．{x|x≥－2}B．{x|x＜2}

C．{x|－2＜x＜2}D．{x|－2≤x＜2}

D　[由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．]

求函数值（值域）

【例3】　设f（x）＝2x2＋2，g（x）＝

.

（1）求f

（2），f（a＋3），g（a）＋g（0）（a≠－2），g（f

（2））；

（2）求函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域．

[思路点拨]　

（1）直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；

（2）所有函数值的集合即为值域．

[解]　

（1）因为f（x）＝2x2＋2，

所以f

（2）＝2×22＋2＝10，

f（a＋3）＝2（a＋3）2＋2＝2a2＋12a＋20.

因为g（x）＝

，

所以g（a）＋g（0）＝

＋

＝

＋

（a≠－2）．

g（f

（2））＝g（10）＝

＝

.

（2）当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.

所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．

1．函数求值的方法

（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值．

（2）求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则．

2．求函数值域的常用方法

（1）观察法：

通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：

①一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的值域是R；②反比例函数f（x）＝

（k≠0）的值域是{y|y≠0}；③二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，值域是y

；当a＜0时，值域是

.

（2）配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．

（3）换元法：

通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．

4．已知f（x）＝x3＋2x＋3，求f

（1）和f（f（－1））的值．

[解]　f

（1）＝13＋2×1＋3＝6；

f（f（－1））＝f（（－1）3＋2×（－1）＋3）＝f（0）＝3.

5．求函数y＝1－x2的值域．

[解]　因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为（－∞，1]．

1．判断两个函数相同

函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．

2．对函数定义的再理解

（1）函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝

＋

就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠∅且A⊆R.

（2）函数定义中强调“三性”：

任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．

（3）函数f（x）的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．

例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.

1．思考辨析

（1）函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．（　　）

（2）函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．（　　）

（3）函数的定义域和值域一定是无限集合．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．下列函数中，与函数y＝x相等的是（　　）

A．y＝（

）2　　　B．y＝

C．y＝|x|D．y＝

D　[函数y＝x的定义域为R；y＝（

）2的定义域为[0，＋∞）；y＝

＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝

＝x，且定义域为R.故选D.]

3．将函数y＝

的定义域为________．

（－∞，0）∪（0,1]　[由

解得x≤1且x≠0，

因此函数的定义域为（－∞，0）∪（0,1]．]

4．已知函数f（x）＝x＋

.

（1）求f（x）的定义域；

（2）求f（－1），f

（2）的值；

（3）当a≠－1时，求f（a＋1）的值．

[解]　

（1）要使函数f（x）有意义，必须使x≠0，

∴f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

（2）f（－1）＝－1＋

＝－2，f

（2）＝2＋

＝

.

（3）当a≠－1时，a＋1≠0，

∴f（a＋1）＝a＋1＋

.