（2）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝（k＋1），
|PQ|＝（xQ－x）＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－（k－1）（k＋1）3.
令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，
因为f′（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，
所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
角度四 利用基本不等式求最值
（2018·太原模拟）已知椭圆M：
＋＝1（a>0）的一个焦点为F（－1，0），左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（1）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
【解】
（1）由题意，c＝1，b2＝3，
所以a2＝4，所以椭圆M的方程为＋＝1，
易求直线方程为y＝x＋1，联立方程，得
消去y，得7x2＋8x－8＝0，Δ＝288，
设C（x1，y1），D（x2，y2），x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|CD|＝|x1－x2|＝＝.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，
此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋1）（k≠0），
联立方程，得
消去y，得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k（x2＋1）＋k（x1＋1）|＝2|k（x1＋x2）＋2k|＝，因为k≠0，上式＝≤＝＝，
所以|S1－S2|的最大值为.
处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
[通关练习]
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝，且椭圆过点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）．
则
解得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径为R，
易知△F1AB的周长为4a＝8，则S△F1AB＝（|AB|＋|F1A|＋|F1B|）R＝4R，
所以当S△F1AB取得最大值时，R取得最大值，△F1AB的内切圆的面积取得最大值．
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，
由得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－.
则S△F1AB＝|F1F2|·（y1－y2）＝，
令＝t，则m2＝t2－1（t≥1），
所以S△F1AB＝＝（t≥1），
令f（t）＝3t＋（t≥1），则f′（t）＝3－，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，＋∞）上单调递增，
有f（t）≥f
（1）＝4，
所以S△F1AB≤3，
即当t＝1，即m＝0时，S△F1AB取得最大值，最大值为3，
由S△F1AB＝4R，得Rmax＝，所以所求内切圆面积的最大值为π.
故△F1AB的内切圆面积的最大值为π，此时直线l：
x＝1.
求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．
圆锥曲线中常见最值的解题方法
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
求解范围、最值问题的两个易错点
（1）求范围问题要注意变量自身的范围；
（2）利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．
[学生用书P325（单独成册）]
1．如图，抛物线W：
y2＝4x与圆C：
（x－1）2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是（ ）
A．（10，14） B.（12，14）
C．（10，12）D．（9，11）
解析：
选C.抛物线的准线l：
x＝－1，焦点（1，0），
由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，
圆（x－1）2＋y2＝25的圆心为C（1，0），半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋（xP－xQ）＋5＝6＋xP，
由抛物线y2＝4x及圆（x－1）2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，
即有xP∈（4，6），
可得6＋xP∈（10，12），
故△PQC的周长的取值范围是（10，12）．故选C.
2．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ（λ＞1），则λ的值为________．
解析：
根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
答案：
4
3．已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的焦距为4且过点（，－2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．
解：
（1）椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的焦距是4，所以焦点坐标是（0，－2），（0，2），2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，
即椭圆C的方程是＋＝1.
（2）若直线l垂直于x轴，则点E（0，2），F（0，－2），
·＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E（x1，y1），F（x2，y2），
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到（2＋k2）x2＋4kx－4＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝＋＋4＝－8，
因为0＜≤10，所以－8＜·≤2，
所以·的取值范围是[－8，2]．
4．设椭圆M：
＋＝1（a>b>0）的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解：
（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.
（2）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝（2m）2－16（m2－4）>0，得－2且，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·.
又P到直线AB的距离为d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝··
＝＝
≤·＝.
当且仅当m＝±2∈（－2，2）时取等号，所以（S△PAB）max＝.
1．如图所示．
已知点E为抛物线y2＝4x内的一个焦点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．
（1）若k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；
（2）若k1＋k2＝1，求证：
直线MN过定点．
解：
（1）抛物线y2＝4x的焦点E（1，0），
因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，设直线AB的方程为y＝k1（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4，
因为AB中点M，
所以M，
同理，点N（2k＋1，－2k1）．
所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，
当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.
（2）证明：
设直线AB方程为y＝k1（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4，
因为AB中点M，所以M，同理，点N，
所以kMN＝＝＝k1k2，
所以直线MN：
y－＝k1k2[x－]，
即y＝k1k2（x－1）＋2，
所以直线MN恒过定点（1，2）．
2．（2017·高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l：
y＝kx＋m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
解：
（1）由椭圆的离心率为，得a2＝2（a2－b2）．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，
因此椭圆方程为＋＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程
得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ>0得m2<4k2＋2. （*）
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D，
又N（0，－m），
所以|ND|2＝＋，
整理得|ND|2＝，
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3.
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，所以y′＝1－.
当t≥3时，y′>0，
从而y＝t＋在[3，＋∞）上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由（*）得－故≥，
设∠EDF＝2θ，则sinθ＝≥，
所以θ的最小值为.
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述：
当k＝0，m∈（－，0）∪（0，）时，∠EDF取到最小值.
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