版高中数学第二章函数23函数的应用Ⅰ学案新人教B版必修1含答案.docx
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版高中数学第二章函数23函数的应用Ⅰ学案新人教B版必修1含答案
2.3函数的应用(Ⅰ)
学习目标 1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题,加深对函数概念的理解.2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活,又服务于生活.
知识点一 常见的函数模型
思考 用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型,常见的函数模型有哪些?
梳理 三类常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
______函数模型
y=+b
k≠0
二次函数模型
一般式:
y=ax2+bx+c顶点式:
____________________________
a≠0
知识点二 函数应用的模型
思考 解决实际问题的基本过程是什么?
梳理 数学模型的基本程序
类型一 一次函数模型的应用
例1 某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足.某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)月用电量为100千瓦时时,应交电费多少元?
(2)当x≥100时,求y与x之间的函数关系式;
(3)月用电量为260千瓦时时,应交电费多少元?
引申探究
若将例1
(2)中的x≥100去掉,求y与x的关系式.
反思与感悟 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么,设什么,列什么”的原则来处理,求解过程也较简单.
跟踪训练1 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;
(2)按购买总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯数为x(个),付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并指出如果顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法?
类型二 二次函数模型的应用
例2 如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x米.要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少米?
引申探究
若将例2改为:
要使鸡场面积为,怎样设计可使用的篱笆最短?
反思与感悟
(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式).
(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.
(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象.
跟踪训练2 据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系;
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?
类型三 分段函数模型的应用
例3 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?
如果订购1000个,利润又是多少元?
(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
反思与感悟 分段函数模型的求解技巧
(1)在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.
(2)求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已知函数值,解出相应x的值,再判别是否属于所在区间.
跟踪训练3 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在如图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示.
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)在
(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?
1.某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副20元,球每只5元,该店制订了两种优惠方法:
①买一副球拍赠送一只球;②按球拍和球的总价的92%付款.某单位计划购买4副球拍和30只球,该单位若想更省钱,则应选优惠方法( )
A.①B.②
C.两种一样D.不能确定
2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )
A.118元B.105元
C.106元D.108元
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了获得最大利润,每个售价应定为( )
A.95元B.100元
C.105元D.110元
4.用长度为24m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )
A.3mB.4m
C.6mD.12m
解决函数应用问题的一般程序
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模:
将文字语言转化成数学语言,选择适当的函数建立函数模型.
(3)求模:
求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原:
将得到的结论,还原为实际问题的结果.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 一次函数、二次函数、反比例函数.
梳理
y=kx+b k≠0 反比例 y=a·2+
知识点二
思考 ①分析问题,②建立函数模型,③解决函数问题,④回到实际问题.
题型探究
例1 解
(1)月用电量为100千瓦时时,应交电费为60元.
(2)当x≥100时,y与x之间为一次函数关系.
设y=kx+b,则
∴
∴y=x+10.
(3)当x=260时,y=×260+10=140(元).
所以月用电量为260千瓦时时,应交电费为140元.
引申探究 解 由函数图象不在同一条直线上,所以选择分段求解.
(1)当0≤x≤100时,
设y=kx,则60=100k,∴k=,
∴y=x.
(2)当x≥100时,同上例
(2),y=x+10.
∴y=
跟踪训练1 解
(1)买4个茶壶,送4个茶杯,再单买x-4个茶杯,
∴y=5(x-4)+20×4(x≥4),
即y=5x+60(x≥4).
当x=40时,y=5×40+60=260(元).
(2)只买茶杯,
则y=0.92×5x,即y=4.6x.
当x=40时,y=4.6×40=184(元).
比较两种方案,可以看出,应选择第
(2)种方案更优惠.
例2 解 设鸡场面积为S.
∵养鸡场总长为x,∴宽为.
∴S=x·即S=-(x2-50x)
=-(x-25)2+,
∴当x=25时,Smax=.
即鸡场的长度为25米时,面积最大.
引申探究 解 ∵长为x,∴宽为,
∴L=x+×3,即l=x+.
由对勾函数的性质知,L=x+在(0,25)上为减函数,在(25,+∞)上为增函数,
∴当x=25时,Lmin=25+25=50.
跟踪训练2 解
(1)由题可设y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20代入上式,
得20=25a+17.5.
解得a=.
所以y=0.1x2-3x+40(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y
=1.6x-(0.1x2-3x+40)
=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
因为x=23∈[10,25],
所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
例3 解
(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+=550(个).因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
(2)当0<x≤100时,P=60;
当100<x≤550时,P=60-0.02(x-100)=62-;
当x>550时,P=51.
∴P=f(x)
=(x∈N+).
(3)设销售商一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,
则L=(P-40)x
=
当x=500时,L=6000;当x=1000时,L=11000.
因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.
跟踪训练3 解
(1)由图知该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数图象为两条直线段,且在前20天,图象经过点(0,2)和(20,6),后10天经过点(20,6)和(30,5),故解析式为
P=
(2)设Q=at+b(a,b为常数),将(4,36)与(10,30)代入,
得解得a=-1,b=40.
日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N+.
(3)由
(1)
(2)可得y=
即y=
当0<t≤20时,当t=15时,ymax=125;
当20<t≤30时,y=t2-12t+320在(20,30]上是减函数,
又当20<t≤30时,ymax<×202-12×20+320=120<125,
所以第15日交易额最大,最大值为125万元.
当堂训练
1.A 2.D 3.A 4.A