第七章 平面直角坐标系.docx

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第七章平面直角坐标系

第七章平面直角坐标系

7.1．1有序数对

教学目标：

1、理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法

培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.

重点:

有序数对及平面内确定点的方法.

难点:

利用有序数对表示平面内的点.

教学过程

一.问题探知

1．一位居民打电话给供电部门：

“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯同学们欣赏下面图案.

2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°东经125.7°”。

3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。

分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。

你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？

二.概念确定

有序数对：

用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对（orderedpair）,记作（a,b）。

利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。

与3大道例1如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？

6大道

5大道

A

4大道

3大道

B

2大道

1大道

1街

2街

3街

4街

5街

6街

分析：

图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道。

解：

其他的路径可以是：

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；

（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）；

1．在教室里，根据座位图，确定数学课代表的位置

2．教材65页练习

三.方法归类

常见的确定平面上的点位置常用的方法

（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。

（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。

1．如图，A点为原点（0，0），则B点记为（3，1）

2．如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏

东45，距灯塔3km处。

例2如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图

，对我方舰艇来说：

1）北偏东方向上有哪些目标？

要想确定

敌舰B的位置，还需要什么数据？

（2）距我方潜艇图上距离为1cm处的敌

舰有哪几艘？

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？

四、课堂小结

1.为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗？

2.几种常用的表示点位置的方法.

五、作业布置教科书68页:

1题

7.1．2平面直角坐标系

教学目标：

1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位

渗透对应关系，提高学生的数感.

重点:

平面直角坐标系和点的坐标.

难点:

正确画坐标和找对应点.

一.利用已有知识，引入

1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，

2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？

二.明确概念

平面直角坐标系：

平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标：

我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。

表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。

例1写出图中A、B、C、D点的坐标。

建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，

分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

你能说出例1中各点在第几象限吗？

例2在平面直角坐标系中描出下列各点。

A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2）

问题1：

各象限点的坐标有什么特征？

练习：

教材43页：

练习1，2。

三.深入探索

识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。

四、巩固练习：

教材44页习题6.1——第1题；教材45页——第2，4，5，6。

五、课堂小结

1.平面直角坐标系；2.点的坐标及其表示；3.各象限内点的坐标的特征；4.坐标的简单应用

六、作业布置：

课本P66第3题

7．2．1用坐标表示地理位置

教学目标：

1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力．

2．通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念．

3．通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置．

4．通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度．

重点：

利用坐标表示地理位置．

难点：

建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．

教学过程

一、创设问题情境

观察：

教材第63页图7．2-1．

今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题．

二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法

活动1：

根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．

小刚家：

出校门向东走150米，再向北走200米．

小强家：

出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．

小敏家：

出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．

问题：

如何建立平面直角坐标系呢？

以何参照点为原点？

如何确定x轴、y轴？

如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？

小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：

10000（即图中1cm相当于实际中10000cm，即100米）．

由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）．

引导学生一同完成示意图．

问题：

选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？

可以很容易地写出三位同学家的位置．

活动2：

归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．

经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

应注意的问题：

用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度．

有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．

活动3：

进一步理解如何用坐标表示地理位置．

展示问题：

（教材第82页活动1，公园平面图）

让学生分别画出直角坐标系，标出其他景点的位置．

三、课堂小结：

让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置．

四、课后作业：

第79页第5题、第8题．

7．2．2用坐标表示平移

教学目标：

1．掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程．

2．发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识．

3．用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用．

4．培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化．

重点：

掌握坐标变化与图形平移的关系．

难点：

利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．

教学过程

一、引言

上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用．

二、新课

展示问题：

教材第75页图．

（1）如图将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出它的坐标，把点A向上平移4个单位长度呢？

（2）把点A向左或向下平移4个单位长度，观察他们的变化，你能从中发现什么规律吗？

（3）再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现的规律变化？

规律：

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（，））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（，））．

教师说明：

对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．

例如图

（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．

（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．

解：

如图

（2），所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．

课本P77思考题：

由学生动手画图并解答．

归纳：

三、练习：

教材第78页练习；习题7．2中第1、2、4题．

四、作业布置第78页第3题．

第七章平面直角坐标系

小结

一、本章知识结构图：

二、平面直角坐标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系.平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴（正方向向右），铅直的数轴叫做y轴或纵轴（正方向向上），两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．

x轴和y把坐标平面分成四个象限（每个象限都不包括坐标轴上的点），要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：

由坐标平面内一点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后）．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

2、不同位置点的坐标的特征：

（1）、各象限内点的坐标有如下特征：

点P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；

点P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；

点P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；

点P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0.

（2）、坐标轴上的点有如下特征：

点P（x,y）在x轴上y为0，x为任意实数.

点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数.

3、点P（x,y）坐标的几何意义：

（1）点P（x,y）到x轴的距离是|y|；

（2）点P（x,y）到y袖的距离是|x|；

（3）点P（x,y）到原点的距离是

4、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：

（1）点P（a,b）关于x轴的对称点是；

（2）点P（a,b）关于x轴的对称点是；

（3）点P（a,b）关于原点的对称点是；

〖考查重点与常见题型〗

1、考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题，如：

若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

2、考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题，

如：

点P（－1，－3）关于y轴对称的点的坐标是（）

（A）（－1，3）（B）（1，3）（C）（3，－1）（D）（1，－3）

3、考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有算术平方根中自变量的取值范围，题型多为填空题，如：

2x－3的自变量x的取值范围是

4、取值范围：

（1）1x－1中自变量x的取值范围是

（2）x＋2＋5－x中自变量x的取值范围是

（3）x－2（2－x）2－1中自变量x的取值范围是

5、已知点P（a,b），a·b>0，a＋b<0，则点P在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

6、在直角坐标系中，点P（－1，－12）关于x轴对称的点的坐标是（）

（A）（－1，－12）（B）（1，－12）（C）（1，12）（D）（－1，12）

7、已知点P（x,y）的坐标满足方程|x＋1|＋y－2=0,则点P在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

考点训练：

1、点A（x,y）是平面直角坐标系中的一点，若xy<0，则点A在象限；若x=0则点A在；若x<0，y≠0则点A在;若xy>0，且x=y,则点A在

2、已知点A（a,b）,B（a,－b）,那么点A,B关于对称，直线AB平行于轴

3、点P（－4,－7）到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点距离为

4、已知P是第二象限内坐标轴夹角平分线上一点，点P到原点距离为4，那么点P坐标为

5、某音乐厅有20排座位，第一排有18个座位，后面每排比前一排多一个座位，每排座位数m与这排的排数n的函数关系是，自变量n的取值范围是

6、求下列函数中自变量的取值范围：

（1）y=　132x+1（　　　　）

（2）y=--3x--1∣x∣--2（　　　　）

解题指导　　　　　　　　　

1、点P（x,y）在第二象限，且│x│=2,│y│=3，则点P的坐标是，点P到原点O的距离OP=.

2、已知点P（x,4）,Q（--3,y）.若P,Q关于y轴对称，则x=,y=；若P,Q关于x轴对称，则x=,y=；若P,Q关于原点O对称，则x=,y=.

3．以A（0,2）,－4,0）,C（3,0）为三个顶点画三角形，则S△ABC=.

4、依此连结A（－6,－1）,B（－3,－4）,C（2,1）,D（－1,4）四点，则四边形ABCD是形.

5、当x=－2时，则2x--1x+1的值是；

6、--xx--1中x的取值范围是.

7、等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y，写出以x表示y的关系式，并指出自变量x的取值范围.

8、多边形的内角和a与边数n（n≥3）的关系式是；多边形的对角线条数m与边数n（n≥3）的关系式是

独立训练　　　　　　　　　　　　　　

1、已知A（－3,2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是，与点B关于原点对称的点C的坐标是，这时点A与点C关于对称.

2、在xx2--1中，自变量x的取值范围是.

3、若点M（a,b）在第二象限，则点N（a-1,b）在第象限.

4、所有横坐标为零的点都在上，所有纵坐标为零的点都上

5、若点P（a,--3）在第三象限内两条坐标轴夹角的平分线上，则a=

6、若A（a,b）,B（b,a）表示同一点，则这一点在

7、求下列x的取值范围：

（1）3x－1x－2（　　　　　　）（3）32+x－1（　　　　　　）2x－3+9－3x（　　　　　）

三、坐标方法的简单应用

（一）、表示地理位置：

（注意点）

1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.（说清楚以什么为原点，什么所在的方向为x轴的正方向，什么所在的方向为y轴的正方向）.

2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度.（比例尺不能漏，单位长度不要忘记）.

3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称.

（二）、用坐标表示平移

1、图形的平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这种图形的运动称为平移.

2、图形的移动引起坐标变化的规律：

（1）、将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：

（x+a，y）

（2）、将点（x，y）向左平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：

（x-a，y）

（3）、将点（x，y）向上平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：

（x，y+b）

（4）、将点（x，y）向下平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：

（x，y-b）

3、点的变化引起图形移动的规律：

（1）、将点（x，y）的横坐标加上一个正数a，纵坐标不变，即（x+a，y），则其新图形就是把原图形向右平移a个单位.

（2）、将点（x，y）的横坐标减去一个正数a，纵坐标不变，即（x-a，y），则其新图形就是把原图形向左平移a个单位.

（1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b），则其新图形就是把原图形向上平移a个单位.

（1）、将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b），则其新图形就是把原图形向下平移b个单位.

4、平移的性质：

（1）、平移后，对应点所连的线段平行且相等；

（2）、平移后，对应线段平行且相等；

（3）、平移后，对应角相等；

（4）、平移后，只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小.

5、决定平移的因素：

平移的方向和距离.

6、画平移图形，必须找出平移的方向和距离、画平移图形的依据是平移的性质.

7、在实际生活中，同一个图案往往可以由不同的基本图案经过平移形成的，选取了不同的基本图案之后，分析这个图案的形成过程就有所不同.