中考数学全面突破题型3 实际应用与方案设计型问题.docx

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中考数学全面突破题型3实际应用与方案设计型问题

题型3　实际应用与方案设计型问题

实际应用与方案设计型总结以下常考类型：

1.购买分配类问题；2.工程、生产、行程问题；3.增长率（面积）问题；4.一次函数的实际应用；5.二次函数的实际应用．购买问题常考模型有：

①A、B总数量已知，单价和总花费已知，求A、B数量（列方程组求解，如第4题）；②已知A、B的单价与总花费及A、B价格变化后的总花费或已知A、B的进价、售价、总进价与总获利，求A、B数量（列方程组求解，如第2题）；③已知A、B单价和，A与B单价之间的关系，求A、B单价（如第3题）．工程、生产、行程问题常考模型有设单位1，求解和通过公式求解（常列分式方程，所用公式有v＝

，数量＝

，工作效率＝

）．增长率（面积）问题，常列一元二次方程求解，这里一般是由矩形面积求边长．一次函数的实际应用常考形式有图象型、表格型、阶梯费用（分段函数）、最值问题．二次函数的实际应用常考形式有抛物线型、涉及几何图形面积（矩形）、最值问题．

类型一　购买、分配类问题

1.解古算题：

“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？

”

题目大意是：

甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48；如果乙得到甲所有钱的

，那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱？

2.某商场销售A、B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：

A

B

进价（万元/套）

1.5

1.2

售价（万元/套）

1.65

1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润＝（售价－进价）×销售量）

（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？

3.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．

（1）求足球和篮球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？

4.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．

（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；

（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元（注：

毛利润＝售价－进价）．

类型二　工程、生产、行程问题

5.“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该工程的

，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．

（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？

（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？

6.甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶．甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h.

（1）求甲车的速度；

（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．

7.某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．

（1）求每行驶1千米纯用电的费用；

（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？

8.某工厂通过科技创新，生产效率不断提高，已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．

问：

今年第一季度生产总量是多少台机器？

m的值是多少？

类型三　增长率（面积）问题

9.青海新闻网讯：

2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.

10.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2.

（1）求这个地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：

m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

类型四　一次函数的实际应用

11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发．甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；

（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．

12.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其他因素）．

（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；

（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．

13.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份A型车销售总额增加25%.

（1）求今年A型车每辆售价多少元？

（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

A型车

B型车

进货价格（元/辆）

1100

1400

销售价格（元/辆）

今年的销售价格

2400

14.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

15.A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？

将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？

类型五　二次函数的实际应用

16.课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：

当窗户半圆的半径为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2.

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6m．利用图③，解答下列问题：

（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积；

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？

请通过计算说明．

17.为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：

米）与水平距离x（单位：

米）的函数关系式；（不要求写自变量x的取值范围）

（2）在

（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？

请通过计算说明；

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？

（排球压线属于没出界）

18.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：

y＝

.

（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；

（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？

最大年利润是多少？

（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围

类型一　购买、分配类问题

1.解：

设甲带的钱为x，乙带的钱为y，

由题意得：

，

解得

.

答：

甲、乙两人各带钱为36、24.

2.解：

（1）设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，

由已知得

，

解得

.

答：

该商场计划购进A种设备20套，B种设备30套．

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由已知得

1．5（20－a）＋1.2（30＋1.5a）≤69，

解得a≤10.

答：

A种设备购进数量至多减少10套．

3.解：

（1）设购买足球与篮球的单价分别为x元、y元，依题意得

，解得

.

答：

足球的单价是103元，篮球的单价是56元．

（2）设学校购买足球z个，则购买篮球（20－z）个，于是有：

103z＋56（20－z）≤1550，解得z≤9

.

答：

学校最多可以购买9个足球．

4.解：

（1）设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了y台，

由题意得：

，

解得

.

所以A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台．

（2）设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水器的毛利润为2z元．

由题意得：

100z＋60×2z≥11000.

解得z≥50，

又∵售价＝毛利润＋进价，

∴A型号家用净水器的售价≥150＋50＝200元，

∴每台A型号家用净水器的售价至少为200元．

类型二　工程、生产、行程问题

5.解：

（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷

＝90（天）．

设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则

＋

＝1.

去分母，得x＋30＝2x，解得x＝30.

经检验x＝30是原方程的解．

答：

乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．

（2）设乙队施工y天完成该项工程，则

1－

≤

.

解得y≥18.

答：

乙队至少施工18天才能完成该项工程．

6.解：

（1）v甲＝

＝80（km/h）．

∴甲车的速度为80km/h.

（2）相遇时间为

＝2（h）．

依题意得

＋

＝

.

解得a＝75.

经检验，a＝75是原分式方程的解．

∴a的值为75.

7.解：

（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油的费用为（x＋0.5）元．

根据题意得：

＝

，

解得x＝0.26（元），

经检验x＝0.26是原方程的根．

答：

纯用电每行驶1千米所需要的费用为0.26元．

（2）由

（1）得纯燃油每行驶1千米所需的费用为0.5＋0.26＝0.76（元），从A到B的距离为26÷0.26＝100（千米）．

设用电行驶y千米，则用燃油行驶（100－y）千米．

根据题意得0.26y＋0.76（100－y）≤39，

解得y≥74.

答：

至少用电行驶74千米．

8.解：

设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为（1＋m%），二月份的生产效率为（1＋m%＋

），

根据题意得：

＝

，

解得m%＝

，

经检验可知m%＝

是原方程的解，

∴m＝25.

∴第一季度生产总量为120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590（台）．

答：

今年第一季度生产总量是590台机器，m的值是25.

类型三　增长率（面积）问题

9.解：

（1）设每个站点的造价为x万元，公共自行车的单价为y万元．

根据题意可得

，解得

.

答：

每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．

（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得：

720

2＝2205，

解得a1＝

＝75%，a2＝－

（不符合题意，舍去）．

答：

2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.

10.解：

（1）设矩形的长为xm，则宽为（20－x）m.

根据题意得：

x（20－x）＝96，即x2－20x＋96＝0.

解得x1＝8，x2＝12，

当x＝8时，20－8＝12，

∵8＜12，不合题意，舍去，

∴这个地面矩形的长为12m．

（2）用第一种规格的地板砖所需费用为：

96÷（0.80×0.80）×55＝8250（元）；

用第二种规格的地板砖所需费用为：

96÷（1×1）×80＝7680（元）．

∵8250＞7680，

∴用第二种规格（即1.00×1.00）的地板砖费用较少．（

类型四　一次函数的实际应用

11.解：

（1）如解图，设直线OA的解析式为y＝k1x（k1≠0）．

第11题解图

把点（1.5，180）代入，得：

1．5k1＝180，

∴k1＝120，

∴直线OA的解析式为y＝120x.

当y＝300时，则120x＝300，解得x＝2.5.

∴甲车从A地到达B地的行驶时间为2.5小时．

（2）设直线AB的解析式为y＝k2x＋b1（k2≠0）．

把点（2.5，300），（5.5，0）分别代入得：

，解得

，

∴甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋550（2.5≤x≤5.5）．

（3）设直线CD的解析式为y＝k3x＋b2（k3≠0）．

把点（0，300），（1.5，180）分别代入得

，解得

，

∴直线CD的解析式为y＝－80x＋300.

令y＝0，则－80x＋300＝0，x＝3.75.

把x＝3.75代入y＝－100x＋550得

y＝－375＋550＝175（千米），

∴乙车到达A地时甲车距A地的路程为175千米．

12.解：

（1）设y1与x的函数关系式为y1＝kx＋b（k≠0），

∵函数y1＝kx＋b的图象经过点（0，1200）和（60，0），

∴

，解得

，

∴y1与x的函数关系式为：

y1＝－20x＋1200，

当x＝20时，y1＝－400＋1200＝800（万m3）．

（2）设y2与x的函数关系式为y2＝mx＋n（m≠0）．

∵函数y2＝mx＋n的图象经过点（20，0），（60，1000），

∴

，解得

，

∴y2与x的函数关系式为y2＝25x－500，

∴总蓄水量y与x的函数关系为：

①当0≤x≤20时，y＝y1＝－20x＋1200;

②当20

综上，y与x的函数关系式为：

y＝

.

发生严重干旱时x的取值范围是15≤x≤40.

【解法提示】当y≤900时，由y＝－20x＋1200≤900（0≤x≤20），得15≤x≤20；

由y＝5x＋700≤900（20

故发生严重干旱时，x的取值范围是：

15≤x≤40.

13.解：

（1）设去年A型车每辆x元，则今年A型车每辆（x＋400）元，

根据题意得，

＝

，

解得x＝1600，

经检验，x＝1600是方程的根，且符合题意．

1600＋400＝2000（元）．

答：

今年A型车每辆售价为2000元．

（2）设今年7月份进A型车m辆，那么进B型车（50－m）辆，获得的总利润为y元，根据题意，得50－m≤2m，

解得m≥16

，

y＝（2000－1100）m＋（2400－1400）（50－m），

即y＝－100m＋50000，

∵k＝－100<0，

∴y随m的增大而减少，但m只能取正整数，

∴当m取17时，可以获得最大利润．

答：

进A型车17辆，B型车33辆时能使这批车获利最多．

14.解：

（1）由每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．

根据题意列方程组得，

，

解得

.

答：

每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．

（2）当0≤x≤14时，y＝2x；

当x＞14时，y＝14×2＋（x－14）×3.5＝3.5x－21.

故所求函数关系式为：

y＝

.

（3）∵26＞14，

∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70（元）．

答：

小明家5月份应交水费70元．

15.解：

（1）依题意知，从A城至D乡运（30－x）台，从B城至C乡运（34－x）台，从B城至D乡运（x＋6）台，

∴W＝250x＋200（30－x）＋150（34－x）＋240（x＋6）

＝140x＋12540（0≤x≤30）．

（2）∵W≥16460，

∴140x＋12540≥16460，

解得x≥28，

∴28≤x≤30，

∴x可取28，29，30，

∴有三种不同的调运方案：

当x＝28时，从A城至C乡运28台，从A城至D乡运2台，从B城至C乡运6台，从B城至D乡运34台；

当x＝29时，从A城至C乡运29台，从A城至D乡运1台，从B城至C乡运5台，从B城至D乡运35台；

当x＝30时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．

（3）依题意得

W＝140x＋12540－ax＝（140－a）x＋12540，

当00，x取0时，W最小，

此时，从A城至C乡运0台，从A城至D乡运30台，从B城至C乡运34台，从B城至D乡运6台；

当a＝140时，W＝12540.各种方案费用一样多；

当140

此时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．

类型五　二次函数的实际应用

16.解：

（1）由已知条件得，AD＝

＝

（m），

此时窗户的透光面积S＝AB·AD＝1×

＝

（m2）．

（2）设AB＝xm，则AD＝（3－

x）m，

∵x＞0，3－

x＞0，∴0＜x＜

.

设窗户透光面积为S，由已知得，

S＝AB·AD

＝x（3－

x）

＝－

x2＋3x

＝－

（x－

）2＋

，

当x＝

时，且x＝

在0＜x＜

的范围内，S最大值＝

.

∵

m2＞1.05m2，

∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

17.解：

（1）依题可知，顶点坐标为（7，3.2）且过点（0，1.8），

设y＝a（x－7）2＋3.2，将点（0，1.8）代入得

1．8＝49a＋3.2，

∴a＝－

，

∴y＝－

（x－7）2＋3.2＝－

x2＋

x＋

.

（2）把x＝9.5代入y＝－

x2＋

x＋

得，

y≈3.0＜3.1，故她可以拦网成功．

（3）由题知，设抛物线解析式为y＝a（x－7）2＋h.

①当排球恰好过球网时，将点（0，1.8）和（9，2.43）分别代入得：

，解得

，

此时抛物线解析式为y＝－0.014（x－7）2＋2.486，此时排球飞行的最大高度为h＝2.486；

②当排球恰好处于边界时，将点（0，1.8）和（18，0）代入得：

，解得

，

此时抛物线解析式为y＝－0.025（x－7）2＋3.025，排球飞行的最大高度h＝3.025.

综上，排球飞行的最大高度h的取值范围是2.486≤h≤3.025.

18.解：

（1）W＝

.

【解法提示】根据题意知当年销量为

y＝－2x＋140时，

年利润为W＝（－2x＋140）x－（－2x＋140）×30，

化简得，W＝－2x2＋200x－4200（40≤x＜60），

当年销量为y＝－x＋80时，年利润W＝（－x＋80）x－（－x＋80）×30

化简得W＝－x2＋110x－2400（60≤x≤70），

∴W＝

.

（2）由

（1）知，当40≤x＜60时，W＝－2（x－50）2＋800，

∵－2＜0，

∴当x＝50时，W有最大值为800；

当60≤x≤70时，W＝－（x－55）2＋625，

∵－1＜0，

∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，

∴当x＝60时，W有最大值为600.

∵800＞600，

∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．

（3）当40≤x＜60时，令W＝750，得：

－2（x－50）2＋800＝750，

解得x1＝45，x2＝55，

由函数W＝－2（x－50）2＋800的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750；

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750，

∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.