总复习教案函数的图像教师版.docx

总复习教案函数的图像教师版.docx

《总复习教案函数的图像教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《总复习教案函数的图像教师版.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

总复习教案函数的图像教师版

第五节

函数的图象

[知识能否忆起]

一、利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：

①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；其次：

列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；最后：

描点，连线．

二、利用基本函数的图象作图

1．平移变换

（1）水平平移：

y＝f（x±a）（a>0）的图象，可由y＝f（x）的图象向左（＋）或向右（－）平移a个单位而得到．

（2）竖直平移：

y＝f（x）±b（b>0）的图象，可由y＝f（x）的图象向上（＋）或向下（－）平移b个单位而得到．

2．对称变换

（1）y＝f（－x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称．

（2）y＝－f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称．

（3）y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．

（4）要得到y＝|f（x）|的图象，可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．

（5）要得到y＝f（|x|）的图象，可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．

3．伸缩变换

（1）y＝Af（x）（A>0）的图象，可将y＝f（x）图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．

（2）y＝f（ax）（a>0）的图象，可将y＝f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的

倍，纵坐标不变而得到．

[小题能否全取]

1．一次函数f（x）的图象过点A（0,1）和B（1,2），则下列各点在函数f（x）的图象上的是（　　）

A．（2,2）　　　　　　　　B．（－1,1）

C．（3,2）D．（2,3）

解析：

选D　一次函数f（x）的图象过点A（0,1），B（1,2），则f（x）＝x＋1，代入验证D满足条件．

2．函数y＝x|x|的图象大致是（　　）

解析：

选A　函数y＝x|x|为奇函数，图象关于原点对称．

3．（教材习题改编）在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝ax的图象可能是下列四个图象中的（　　）

解析：

选B　因a>0且a≠1，再对a分类讨论．

4．（教材习题改编）为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度．

答案：

右　3

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意a＝|x|＋x

令y＝|x|＋x＝

图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0.

答案：

（0，＋∞）

　　1.作图一般有两种方法：

直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．

[注意]　对于左、右平移变换，可熟记口诀：

左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．

2．一个函数的图象关于原点（y轴）对称与两个函数的图象关于原点（y轴）对称不同，前者是自身对称，且为奇（偶）函数，后者是两个不同的函数对称．

作函数的图象

典题导入

[例1]　分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝2x＋2；

（3）y＝x2－2|x|－1.

[自主解答]　

（1）y＝

图象如图1.

（2）将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.

（3）y＝

图象如图3.

由题悟法

画函数图象的一般方法

（1）直接法：

当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

（2）图象变换法：

若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

以题试法

1．作出下列函数的图象：

（1）y＝|x－x2|；

（2）y＝

.

解：

（1）y＝

即y＝

其图象如图1所示（实线部分）．

（2）y＝

＝1＋

，先作出y＝

的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y＝

的图象，如图2.

识图与辨图

典题导入

[例2]　（2012·湖北高考）已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　）

[自主解答]　法一：

由y＝f（x）的图象知

f（x）＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f（2－x）＝

故y＝－f（2－x）＝

法二：

当x＝0时，－f（2－x）＝－f

（2）＝－1；当x＝1时，－f（2－x）＝－f

（1）＝－1.观察各选项，可知应选B.

[答案]　B

由题悟法

“看图说话”常用的方法

（1）定性分析法：

通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题．

（2）定量计算法：

通过定量的计算来分析解决问题．

（3）函数模型法：

由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

以题试法

2.

（1）如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（1,2），（3,1），则f

的值等于________．

（2）（2012·东城模拟）已知函数对任意的x∈R有f（x）＋f（－x）＝0，且当x>0时，f（x）＝ln（x＋1），则函数f（x）的图象大致为（　　）

解析：

（1）∵由图象知f（3）＝1，

∴

＝1.∴f

＝f

（1）＝2.

（2）∵对∀x∈R有f（x）＋f（－x）＝0，∴f（x）是奇函数．f（0）＝0，y＝f（x）的图象关于原点对称，当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－ln（－x＋1）＝－ln（1－x），由图象知符合上述条件的图象为D.

答案：

（1）2　

（2）D

函数图象的应用

典题导入

[例3]　（2011·新课标全国卷）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1,1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个　　　　　　　　　B．9个

C．8个D．1个

[自主解答]　根据f（x）的性质及f（x）在[－1,1]上的解析式可作图如下：

可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；0

x>10时|lgx|>1.

结合图象知y＝f（x）与y＝|lgx|的图象交点共有10个．

[答案]　A

若本例中f（x）变为f（x）＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数．

解：

根据f（x）的性质及f（x）在[－1,1]上的解析式可作图如下：

由图象知共10个交点．

由题悟法

1．利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

2．利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象的交点的横坐标．

以题试法

3．已知函数f（x）＝2－x2，g（x）＝x.若f（x）*g（x）＝min{f（x），g（x）}，那么f（x）*g（x）的最大值是________．（注意：

min表示最小值）

解析：

画出示意图（实线部分），

f（x）*g（x）＝

其最大值为1.答案：

1

1．函数f（x）＝2x3的图象（　　）

A．关于y轴对称　　　　　　B．关于x轴对称

C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称

解析：

选D　显然函数f（x）＝2x3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称．

2．函数y＝

的图象大致是（　　）

解析：

选B　当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.

3．（2012·北京海淀二模）为了得到函数y＝

log2（x－1）的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点的（　　）

A．纵坐标缩短到原来的

，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B．纵坐标缩短到原来的

，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

解析：

选A　本题考查图象的平移和伸缩．将y＝log2x的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的

，得y＝

log2x的图象，再将y＝

log2x的图象向右平移1个单位长度即可．

4．（2011·陕西高考）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），则y＝f（x）的图象可能是（　　）

解析：

选B　表达式“f（x）＝f（－x）”，说明函数是偶函数，表达式“f（x＋2）＝f（x）”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.

5．（2012·济南模拟）函数y＝lg

的大致图象为（　　）

解析：

选D　由题知该函数的图象是由函数y＝－lg|x|的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D中的图象．

6．（2011·天津高考）对实数a和b，定义运算“⊗”：

a⊗b＝

设函数f（x）＝（x2－2）⊗（x－x2），x∈R.若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）

A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

解析：

选B　

由题意可知

f（x）＝

＝

作出图象，由图象可知y＝f（x）与y＝c有两个交点时，c≤－2或－1

，

即函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点时实数c的取值范围是（－∞，－2]∪

.

7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log

f（x）的定义域是________．

解析：

当f（x）>0时，函数g（x）＝log

f（x）有意义，

由函数f（x）的图象知满足f（x）>0的x∈（2,8]．

答案：

（2,8]

8．函数f（x）＝

图象的对称中心为________．

解析：

f（x）＝

＝1＋

，把函数y＝

的图象向上平移1个单位，即得函数f（x）的图象．由y＝

的对称中心为（0,0），可得平移后的f（x）图象的对称中心为（0,1）．

答案：

（0,1）

9．如图，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．

解析：

当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，

则

得

∴y＝x＋1.

当x>0时，设解析式为y＝a（x－2）2－1，

∵图象过点（4,0），

∴0＝a（4－2）2－1，得a＝

.

答案：

f（x）＝

10．已知函数f（x）＝

（1）在如图所示给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；

（2）写出f（x）的单调递增区间；

（3）由图象指出当x取什么值时f（x）有最值．

解：

（1）函数f（x）的图象如图所示．

（2）由图象可知，

函数f（x）的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

（3）由图象知当x＝2时，f（x）min＝f

（2）＝－1，

当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝3.

11．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，求a的取值范围．

解：

当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，

由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜

.

当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，

由已知可得0＜2a＜1，

即0＜a＜

，但a＞1，故a∈∅.

综上可知，a的取值范围为

.

12．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋

＋2的图象关于点A（0,1）对称．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）＋

，g（x）在区间（0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

解：

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），∵点（x，y）关于点A（0,1）的对称点（－x,2－y）在h（x）的图象上，

∴2－y＝－x＋

＋2，

∴y＝x＋

，

即f（x）＝x＋

.

（2）由题意g（x）＝x＋

，

且g（x）＝x＋

≥6，x∈（0,2]．

∵x∈（0,2]，

∴a＋1≥x（6－x），

即a≥－x2＋6x－1.

令q（x）＝－x2＋6x－1，x∈（0,2]，

q（x）＝－x2＋6x－1＝－（x－3）2＋8，

∴x∈（0,2]时，q（x）max＝q

（2）＝7，

故a的取值范围为[7，＋∞）．

1.（2013·威海质检）函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

①函数y＝f（x）满足f（－x）＝－f（x）；

②函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（－x）；

③函数y＝f（x）满足f（－x）＝f（x）；

④函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x）．

A．①③　　　　　　　　　　B．②④

C．①②D．③④

解析：

选C　由图象可知，函数f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称，所以f（1＋x）＝f（1－x），所以f[1＋（x＋1）]＝f[1－（x＋1）]，即f（x＋2）＝f（－x）．故①②正确．

2．若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与函数f（x）的值域相同，则称变换T是函数f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中变换T不属于函数f（x）的同值变换的是（　　）

A．f（x）＝（x－1）2，变换T将函数f（x）的图象关于y轴对称

B．f（x）＝2x－1－1，变换T将函数f（x）的图象关于x轴对称

C．f（x）＝2x＋3，变换T将函数f（x）的图象关于点（－1,1）对称

D．f（x）＝sin

，变换T将函数f（x）的图象关于点（－1,0）对称

解析：

选B　对于A，与f（x）＝（x－1）2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式为g（x）＝（－x－1）2＝（x＋1）2，易知两者的值域都为[0，＋∞）；对于B，函数f（x）＝2x－1－1的值域为（－1，＋∞），与函数f（x）的图象关于x轴对称的图象对应的函数解析式为g（x）＝－2x－1＋1，其值域为（－∞，1）；对于C，与f（x）＝2x＋3的图象关于点（－1,1）对称的图象对应的函数解析式为2－g（x）＝2（－2－x）＋3，即g（x）＝2x＋3，易知值域相同；对于D，与f（x）＝sin

的图象关于点（－1,0）对称的图象对应的函数解析式为g（x）＝sin

，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同．

3．已知函数y＝f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2＋x）＝f（2－x）．

（1）证明：

函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；

（2）若f（x）是偶函数，且x∈[0,2]时，f（x）＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f（x）的表达式．

解：

（1）证明：

设P（x0，y0）是函数y＝f（x）图象上任一点，则y0＝f（x0），点P关于直线x＝2的对称点为P′（4－x0，y0）．因为f（4－x0）＝f（2＋（2－x0））＝f（2－（2－x0））＝f（x0）＝y0，所以P′也在y＝f（x）的图象上，所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称．

（2）因为当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，

所以f（－x）＝－2x－1.

又因为f（x）为偶函数，

所以f（x）＝f（－x）＝－2x－1，x∈[－2,0]．

当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，

所以f（4＋x）＝2（4＋x）－1＝2x＋7.

而f（4＋x）＝f（－x）＝f（x），

所以f（x）＝2x＋7，x∈[－4，－2]．

所以f（x）＝

1．设D＝{（x，y）|（x－y）（x＋y）≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t（t∈[－1,1]）之间的部分的面积”为S，则函数S＝f（t）的图象的大致形状为（　　）

解析：

选C　如图平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除D；当t＝－

时，S>

Smax，排除A、B.

2．（2012·深圳模拟）已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，对于满足0

①f（x2）－f（x1）>x2－x1；

②x2f（x1）>x1f（x2）；

③

.

其中正确结论的序号是________．（把所有正确结论的序号都填上）

解析：

①错误，①即为

>1，在（0,1）上不恒成立；由题图知，0

>

，②正确；图象是上凸的，③正确．

答案：

②③