奥数题分析.docx
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奥数题分析
奥数题分析
一、平均数问题
求平均数的基本方法是用几个数的和除以这几个数的和的个数，即：
总数量÷总份数=平均数。
典例剖析
例题一
在期中考试中，明明的语文、数学、英语的平均成绩是94分，其中语文和数学的平均成绩分别是92分、97分，他的英语考了多少分？
【名师点拨】根据题意，可以由“平均数×总份数=总数量”，先求出他三门功课的总分，再减去语文和数学的成绩，求得英语的成绩：
94×3－92－97=93（分）。
例题二
小宁共参加五次跳远测试，前两次的平均成绩是3.75米，后三次的平均成绩是4.05米。
小宁这5次跳远的平均成绩是多少?
【名师点拨】根据前两次测试的平均分数，可以求出前两次测试的总分数，同样的道理，可以求出后三次测试的总分数。
用五次测试的总分数除以测试的总次数就可以得出五次测试的平均分数是（3.75×2+4.05×3）÷5=3.93（米）。
例题三
一条山路长600米，小明上山的速度是20米/分，沿同一条路下山的速度是60米/分。
小明上山和下山的平均速度是多少?
【名师点拨】往返的平均速度公式是“往返总路程÷往返总时间=往返平均速度”。
根据题意知，往返总路程为600×2=1200（米），往返总时间为600÷20+600÷60=40（分），所以往返的平均速度为1200÷40=30（米/分）。
易错分析
切记“往返平均速度=往返总路程÷往返总时间”，千万不要直接求两个速度的平均数哟！
二、相遇、追及问题
（1）相遇问题：
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
相遇问题的数量关系：
相遇时间=总路程÷速度和
总路程=速度和×相遇时间
速度和=总路程÷相遇时间
未知速度=速度和－已知速度
（2）追及问题：
两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一时间而不是同时出发，或者在不同的地点又不是同时出发）做同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
这类问题就叫做追及问题。
第一页
追及问题的数量关系是：
追及时间=前后相隔路程÷速度差
前后相隔路程=速度差×追及时间
典例剖析
例题一
小红和小明住在电影院两侧，两人同时从家里出发到电影院看电影，15分钟后两人同时到达电影院。
小刚平均每分钟走30米，小红平均每分钟走60米。
小红和小明家相距多少米?
【名师点拨】根据题意我们可以画出下面的线段图：
小红家
小明家
方法一：
根据题意，可以先求出两人1分钟一共走多少米，再求出两人15分钟一共走多少米，就是两家的距离。
（60+30）×15
=90×15
=1350（米）
答：
小红和小明家相距1350米。
方法二：
也可以先分别求出两个15分钟各走多少米，再把两人走的路程相加，就是两家的距离。
60×15+30×15
=900+450
=1350（米）
答：
小红和小明家相距1350米。
例题二
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，两人从出发到第二次相遇需多长时间?
【名师点拨】“第二次相遇”可以理解为两人共跑了两圈。
因此总路程为（400×2）米，相遇时间=（400×2）÷（5+3）=100（秒）。
第二页
答：
两人从出发到第二次相遇需100秒。
例题三
小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，小强自行车的速度是多少?
【名师点拨】根据题意可知，小明和小强走的路程都是1000米，由“路程÷速度=时间”可以求出小明走的总时间，进而可求出小强骑自行车所用的时间，由此解决问题即可。
（1）小明走的总时间：
1000÷50=20（分）
（2）小强骑自行车的速度：
1000÷（20－12）=125（米/分）
答：
小强骑自行车的速度是125米/分。
易错分析
此题需抓住“追及问题中速度不同，所以行驶的时间不同，但是行驶的路程相同”这个关键的隐含条件。
例题四
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米。
求小亮的速度是每秒多少米?
【名师点拨】小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[500÷（200÷40）]秒，所以小亮的速度是：
（500－200）÷[500÷（200÷40）]
=300÷100
=3（米/秒）
答：
小亮的速度是3米/秒。
三、过桥问题
过桥问题是指计算一定长度的列车（队伍）通过一定长度的的大桥（或隧道）需要的时间，或计算桥长、列车长（或队伍）长、列车（或队伍）速度等数量的应用题。
过桥问题也叫列车问题。
过桥问题是特殊的行程问题。
题目中过桥时间应从车头上桥算起，至车尾离桥终止。
这里的路程，并不是桥长，而应是桥长加上列车长。
其基本数量关系是：
路程÷速度=时间。
典例剖析
例题一
一列长90米的火车要通过一座长150米的大桥，火车的运行速度是每秒15米，火车多长时间可以通过这座大桥?
【名师点拨】火车通过大桥，行驶的总路程是一个桥长加一个车身长，即（150+90）米，在根据关系式：
路程÷速度=时间，求出它的时间。
（150+90）÷15=16（秒）
第三页
答：
火车经过16秒可以通过这座大桥。
例题二
一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。
求这列火车的速度是每秒多少米?
车长多少米?
【名师点拨】火车40秒行驶的路程=桥长+车长；火车30秒行驶的路程=山洞长+车长。
比较上面两种情况，由于车长与车速都不变，所以可以得出火车40－30=10秒能行驶530－380=150米，由此可以求出火车的速度和火车的长度。
（1）火车的速度：
（530－380）÷（40－30）=150÷10=15（米/秒）
（2）火车的长度：
15÷40－530=70（米）
答：
这列火车的速度是每秒15米，车长70米。
四、流水问题
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。
这类问题的主要特点是，流水的速度在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本数量关系式：
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
典例剖析
例题一
一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。
此在静水中的速度是多少?
【名师点拨】由“一只渔船顺水行25千米，用了5小时”，可求出它的顺水速度是25÷5=5（千米/时），又因为水流的速度是每小时1千米，所以船速是5－1=4（千米/时）。
列综合算式为：
25÷5－1=4（千米/时）
答：
此船在静水中的速度是4千米/时。
例题二
一艘轮船在长江顺流而下400千米，需要10小时；逆水而上360千米，也需要10小时。
求这艘轮船在静水中航行190千米所用的时间。
【名师点拨】这是一道典型的流水中的行程问题。
由题意可知，船的顺水速度为每小时400÷10=40（千米），逆水速度为每小时360÷10=36（千米），也就是说船速与水速的和为40千米，船速与水速的差为36千米，这样就能求出船在静水中的速度为（40+36）÷2=38（千米/时），进而求出它在静水中航行190千米需要190÷38=5（小时）。
答：
这艘轮船在静水中航行190千米所用的时间是5小时。
第四页
五、工程问题
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。
工程问题的基本数量关系是：
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
温馨提示：
如果题目中没有给出工作总量的具体数量，也没有给出工作效率的具体数量，那么我们通常把工作总量看作整体“1”，工作效率表示单位时间内完成工作量的几分之几。
典例剖析
例题一
一项工程，甲单独做15天完成，乙单独20天完成，丙单独做12天完成。
三个人合做几天完成整个工程的五分之三?
【名师点拨】把一项工程看作“1”，甲单独做15天完成，每天就完成整个工作量的十五分之一；同理乙每天就完成整个工作量的二十分之一，丙每天就完成整个工作量的十二分之一。
于是求出三个人合做每天完成整个工作量的（十五分之一+二十分之一+十二分之一）；要求三个人合做几天完成整个工程的五分之三，此时工作量是整个工作量的五分之三，根据工作总量÷工作效率=工作时间，求得三个人合做完成整个工程的五分之三需要的时间。
五分之三÷（十五分之一+二十分之一+十二分之一）
=五分之三÷五分之一
=3（天）
答：
三个人合做3天完成整个工程的五分之三。
例题二
一个水池上有两个进水管，单开甲管，10分钟可把空池注满。
现先开甲管，2分钟后再把乙管也打开，再过几分钟能把水池注满?
【名师点拨】把满池水看作“1”，由“单开甲管，10分钟可把空池注满，单开乙管，15分钟可把空池注满”可知，单开甲管，每分钟可以注全池水的十分之一，单开乙管，每分钟可以注全池水的十五分之一，那么先开甲管2分钟后还要注的水占全池水的1－十分之一×2=五分之四，两管同时开，每分钟能注十分之一+十五分之一=六分之一，进而求出要把水池注满水，还要五分之四÷六分之一=五分之二十四（分）。
答：
再过五分之二十四分钟池能把水池注满。
六、年龄问题
典例剖析
例题一
小方今年11岁,他爸爸今年43岁,求多少年后，爸爸的年龄是小方年龄的3倍？
【名师点拨】因为小方与爸爸的年龄差43－11=32不变。
几年后小方的年龄
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为1份数，爸爸的年龄就是3份的数。
根据差倍问题的解法：
差数÷（倍数－1）=1倍数，可求出小方几年后的年龄，再求出经过的年数。
（43－11）÷（3－1）=16（岁）
16－11=5（岁）
答：
5年后，爸爸的年龄是小方年龄的3倍。
例题二
妈妈今年比儿子大24岁，几年前，妈妈的年龄与儿子一共38岁，那时妈妈和儿子的年龄各是多少?
【名师点拨】妈妈今年比儿子大24岁，两年的年龄差是不变的，所以几年前妈妈也是比儿子大24岁；又因为几年前妈妈的年龄与儿子一共38岁，这样就变成了一道和差问题，根据“（和－差）÷2=较小数”就能先求出几年前儿子（或妈妈）的年龄数。
（38－24）÷2=7（岁），（38+24）÷2=31（岁）
答：
那时妈妈31岁，儿子7岁。
例题三
爷爷和孙子的年龄共计76岁，4年后爷爷的年龄是孙子的5倍。
求爷爷和孙子现在的年龄。
【名师点拨】爷爷和孙子的年龄和是76岁，4年后两人各增长了4岁，那时的年龄和为76+4×2=84（岁），而那时爷爷的年龄是孙子的5倍，这样就变成了一道“和倍问题”，再运用“和÷（倍数+1）=1倍数”求解。
76+4×2=84（岁）84÷（1+5）=14（岁）
14－4=10（岁）76－10=66（岁）
答：
爷爷和孙子现在的年龄分别是66岁、10岁。
七、盈亏问题
盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。
盈亏问题的解题关键：
解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。
典例剖析
例题一
阿姨给幼儿园的小朋友分饼干。
如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干。
问：
有多少小朋友，有多少块饼干?
【名师点拨】依题中条件，我们可知：
第一种分法：
每人3块，还剩16块；
第二种分法：
每人5块，还少4块。
通过比较可以看出：
由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16+4=20（块），换句话说：
每人多分了2块，就得多分20块，因此就可以算出有20÷2=10（人），那么总饼干数就是：
10×3+16=46（块）或10×5－4=46（块）。
例题二
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阿姨给幼儿园小朋友分饼干。
如果每人分3块，则少4块；如果每人分5块，那么就少16块饼干。
问：
有多少小朋友，有多少块饼干?
【名师点拨】依题中条件，我们可知：
第一种分法：
每人3块，还剩4块；
第二种分法：
每人5块，还少16块。
通过比较可以看出：
由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16－4=12（块），换句话说：
每人多分了2块，就得多分12块，因此就可以算出有12÷2=6（人），那么总饼干数就是：
6×3－4=14（块）或6×5－16=14（块）。
八、阶梯计费问题
阶梯计费问题与现实生活联系紧密，经常在各类试题中实现。
解答阶梯计费问题时，我们首先要理解是如何分段计费的，然后分段进行考虑。
典例剖析
例题一
出租车计费。
【名师点拨】根据题意，先画出下面的线段图：
由上图可知，起步价+以1.8元/千米计价路程（3千米以外路程）的路费=一共要付的费用。
列式解答为：
8+（20－3）×1.8=38.6（元）
答：
至少需要38.6元。
例题二
自来水公司为鼓励居民节约用水，规定每人每月不超过2吨时，按每吨3.5元计费；超过2吨的部分按每吨5元计费。
王红家三口人，上月交水费31元，她家上月共用水多少吨?
【名师点拨】本题一定要按照“每人每月用水不超过2吨时，按每吨3.5
第七页
元计费；超过2吨的部分按每吨5元计费”这个规定来考虑。
先算出用水2吨需要付出的水费，再用付出水费的总额减去2吨以内的水费，求出超过2吨部分应付的水费，然后用这部分水费除以超过2吨后每吨的水费，求出每吨5元的水的吨数。
最后把两段用水量相加。
3.5×2×3=21（元）
31－21=10（元）
10÷5=2（吨）
2×3+2=8（吨）
答：
她家上月共用水8吨。
九、方案设计问题
在旅游、购物时，有时有多种方案可供采用，此时，我们总想确定最省钱的方案。
解答这样的问题时，一般要全面分析，再进行比较得出的结果。
典例剖析
例题一
“元旦”期间，黄山市各大商场纷纷进行促销活动，情况如下：
龙川商场：
本店所有商品一律八折销售
汇博商场：
本店所有电器一律让利15%
佳佳商场：
凡购买本店商品，满100元减22元
张阿姨想买某产品的电饭煲（全国统一零售价450元/台），可她看了活动广告后，不知哪家的电饭煲更便宜，请你帮她选择一下。
【名师点拨】先分别求出三家商场购买商家450元的电饭煲需要的钱数，再进行比较，作出决定。
龙川商场：
450×80%=360（元）
汇博商场：
450×（1－15%）=382.5（元）
佳佳商场：
450－22×4=362（元）
答：
张阿姨到龙川商场购买最便宜。
十、鸡兔同笼问题
解决“鸡兔同笼”问题时，常用的方法是假设法和方程法。
用假设法解答“鸡兔同笼”问题时，常用的关系是：
兔的只数=（脚的只数－鸡兔总只数×每只鸡的脚数）÷（每只兔的脚数－每只鸡的脚数）。
典例剖析
例题一
停车场里的小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共86个轮子。
停车场有小轿车多少辆?
摩托车多少辆?
【名师点拨】方法一：
假设法。
假设停车场停的都是小轿车，则轮子的个数是32×4=128（个），比实际多了128－86=42（个）。
将一辆摩托车假设成一辆小轿车时，就会增加轮子2个，于是可以求出摩托车的辆数是42÷2=21（辆），小轿车的辆数是32－21=11（辆）。
方法二：
方程法。
解：
设停车场有小轿车x辆，则摩托车有（32－x）辆。
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4x+2（32－x）=86
2x+64=86
X=11
32－11=21（辆）
答：
停车场有11辆小轿车，21辆摩托车。
十一、植树问题
在一条线路中按等量距离植树，线路长、树的棵树及两棵树的距离（株距）这三种存在着特殊的关系。
从这三个数量中已知两个数量求出另一个未知量的应用题叫做植树问题。
（1）线路上植树问题有两种情况：
1.在没有封闭的线路上植树,如果两端都植树,那么：
路长=株距×（株数－1）
株距=路长÷（株数－1），
株数=路长÷株距+1
2.如果两端都不植树，那么在上面这些式子中应把加1改成减1，减1改成加1如果只一端植树，就不加1也不减1，即：
株数=路长÷株距
（2）在封闭线路上植树：
株数=路长÷株距
典例剖析
例题一
在1000米的公路一侧每隔20米栽一棵树（两端都不栽），一共要栽多少棵树？
【名师点拨】每隔20米分成一段，一共可以分成：
1000÷20=50（段），因为两端都不栽，所以栽树的棵数应该比分的段数少1，因此栽树的棵数是：
50－1=49（棵）。
1000÷20－1=49（棵）
答：
一共要栽49棵树。
例题二
有一个圆形花圃长120米。
若沿着这个花圃每隔6米栽一株丁香，再在每相邻两株丁香之间等距离地栽两株月季，丁香和月季共需栽多少株？
【名师点拨】沿封闭图形的边裁花，栽的株数正好等于分成的间隔数，所以丁香的株数是120÷6=20（株），也就是20个间隔，又因为每个间隔里栽2株月季所以月季栽了20×2=40（株），共栽丁香和月季20+40=60（株）。
120÷60=20（株）
20×2=40（株）
20+40=60（株）
答：
丁香和月季共需要栽60株。
十二、鸽巢原理
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鸽巢原理也叫“抽屉原理”，鸽巢原理最常见的形式：
原理1：
将多于n只的鸽子任意放到n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中的鸽子只数不少于2只。
反过来，要想保证至少有一个鸽巢中有2只或2只以上的鸽子，至少要有n+1只鸽子。
原理2：
将多于m•n只的鸽子任意放到n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中的鸽子只数不少于m+1只。
典例剖析
例题一
在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出（）个球才能保证其中有白球。
A.14B.15C.17D.18
【名师点拨】假设最不利情况：
前面取球的时候都没有白球。
也就是说将问题转化成为“至多取多少个球仍能满足其中没有白球”。
很显然，前面至多可以取10个黑球+4个红球=14个球。
然后第15个球就必然能取到白球。
答案：
B
规律总结
鸽巢原理解题的关键是利用极端法，营造“最不利情况”。
例题二
六
（1）班有40个学生，老师让每个学生在寒假里阅读《论语》《骆驼样子》《雷雨》三种课外书中的任意两种，至少有多少个学生读的课外书是相同的？
【名师点拨】首先要弄清楚读的课外书有多少种不同的情况。
任意两种课外书的搭配一共有3种：
《论语》和《骆驼样子》、《论语》和《雷雨》、《雷雨》和《骆驼样子》。
将这3种情况作为3个鸽巢，40÷3=13（个）……1（个）。
根据原理2，至少有13+1=14（个）学生读的课外书相同。
十三、逻辑推理
解决逻辑推理问题，一般要根据题目所给的条件理清各部分之间的关系，然后借助分析和思考，排除错误的情况，逐步归纳，找出正确的答案。
解题方法有：
排除法、假设法、列表法、图解法。
典例剖析
例题一
学校举行数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学进入前五名。
他们猜测个人名次如下：
A的猜测：
B第三名，C第五名；
B的猜测：
D第二名，E第四名；
C的猜测：
A第一名，E第四名；
D的猜测：
C第一名，B第二名；
E的猜测：
D第二名，A第三名。
老师说他们各猜对了一半。
你能推测出他们的名次吗?
【名师点拨】我们可以根据“他们各猜对了一半”这一条件，列表进行
第十页
分析推理。
解答:
（1）假设A猜B第三名正确，列表如下：
一
二
三
四
五
A
B√
C√
B
D√
E×
C
A×
E√
D
C√
B×
E
D√
A×
从表中可以看出最终推导出E的名次有矛盾，因此假设不成立。
（2）假设A猜C第五名正确，列表如下：
一
二
三
四
五
A
B×
C√
B
D×
E√
C
A×
E√
D
C×
B√
E
D×
A√
从中可以看出假设成立
答:
前五名同学的顺序依次是D、B、A、E、C。
十四、等量替换
“等量替换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
这个数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础，是一个非常重要的知识点。
典例剖析
例题一
小红去文具店买了10支铅笔和5个笔记本，共花了22元5角。
已知5支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等。
那么1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？
【名师点拨】我们可以根据“等量替换”的思想进行计算。
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1.因为5支铅笔的价钱=2个笔记本的价钱
2.那么10支铅笔的价钱=4个笔记本的价钱
又因为10支铅笔的价钱+5个笔记本的价钱=22.5（元）
把2.式带入得：
4个笔记本的价钱+5个笔记本的价钱=22.5（元）
所以1个笔记本=22.5÷9=2.5（元）
再把1本笔记本的价钱带入1.式得：
5支铅笔=2×2.5=5（元）
所以1支铅笔=5÷5=1（元）
答：
1支铅笔1元，1个笔记本2.5元。
例题二
三角形、圆形、五角星各代表一个数。
已知五角星+三角形=25，圆形－三角形=3，五角星=三角形+三角形+三角形+三角形。
求圆形、三角形、五角星的值。
【名师点拨】由五角星+三角形=25和五角星=三角形+三角形+三角形+三角形，可得三角形+三角形+三角形+三角形=25，即5个三角形=25，
所以三角形=5。
把三角形=5代入五角星+三角形=25，得五角星+5=25，
所以五角星=20。
同理，把五角星代入圆形－三角形=3，得圆形－5=3，所以圆形=8.
第十二页
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