中考数学复习 瓜豆原理 旋转相似之主动从动.docx

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中考数学复习瓜豆原理旋转相似之主动从动

旋转相似之主动从动（瓜豆原理）

例题1、如图等腰Rt△ABC,AB=AC=2,点E是半径为1的圆C上的一动点，连接AE,过点A向左侧作AD⊥AE，且使得AE=AD。

其中点D是因E动而动，所以我们称点E为主动点，点D为从动点。

（1）问随着主动点E的运动，求从动点D的运动路径长？

（2）连接CD,求CD的最大值与最小值

（3）△ABC与△ADE是我们之前学过的旋转相似，那么请问：

主动点E和圆心C这两点在旋转相似中我们称他们的位置关系是。

例题2、如图半径为1的圆C，圆外有一定点A,且AC=2,圆C上有一动点E,连接AE,以A为直角顶点向左侧作等腰直角△EAD.

（1）求点D的运动路径长。

（2）求CD的最大与最小值。

定义：

①把主动点所在的圆心称之为：

主心

②把“动而形不变”的三角形中的三个顶点中的定点称之为旋转中心（公共顶点）。

总结：

作主动与从动类型题目步骤：

以“主动点”和“主心”为旋转同位点，将“动而形不变”的三角形绕“旋转中心”进行放大旋转，使得“主动点”与“主心”重合（即：

使得同位点重合），从而构建旋转相似的两个三角形，之后就可以利用旋转相似得到”从动点”的运动轨迹了。

变式1、在△ABC中,BC=

AC=1,以AB为边作等腰直角△ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）.当∠C变化时，求线段CD长的最大值为多少?

变式2、在平面直角坐标系中,点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为___.

变式3、已知：

PA=

，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小、正方形ABCD的面积．

变式4、△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为．

例题3、如图，点O在线段AB上，OA=1,OB=3，以O为圆心，OA为半径作圆O，点M在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△ABC，使∠MBC=90°，M，B，C三点按逆时针顺序排列，连接AC，则AC长的取值范围是_____.

变式1、如图，P是圆O上一个动点，A是圆O外的的一个定点，且AO=4，连接AP，作AQ⊥AP，且AQ=AP。

若圆O的半径为1，则当点P在圆O上运动时，求OQ的最值.

变式2、如图，点P是半径为1的圆O上的一个动点，点A是圆外的一个定点，且OA=3，连接AP，以AP为边作等边三角形APQ,随着点P运动的过程中，求OQ的最值

变式3、如图，点P是半径为1的圆O上的一个动点，点A是圆外的一个定点，且OA=

，连接AP，以AP为斜边作等腰直角三角形APQ,当点P绕着点O运动一周后，求点Q的运动路径长.

变式4、已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为_____.

变式5、如图,已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点,以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC,∠C=90°.连接OB.求OB的最值.

变式6、已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为.

变式7、（2018·南通市）如图，正方形ABCD中，AB＝2

，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：

AE＝CF．

（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．

（3）求线段OF长的最小值．

变式8、如图,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围。

变式9、如图，已知圆O的半径为2，A是圆上一定点，B是OA的中点，E是圆上一动点，以BE为边作正方形BEFG（B、E、F、G四点按逆时针顺序排列），当点E绕⊙O圆周旋转时，点F的运动轨迹围成的图形的面积是。

变式10、如图，已知在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A是⊙O上一动点，点B是反比例函数

（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连结OC，则OC的最小值为.

变式11、如图,正方形ABCD中,AB=3cm,以B为圆心,1cm长为半径画B,点P在B上移动,连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′,连接BP′.在点P移动的过程中,BP′长度的最小值为___cm.

变式12、如图，已知扇形AOB中OA=3,∠AOB=120。

C是弧AB上的动点，以BC为边向右上方作正方形BCDE.当点C从点A移动至点B时，求点D经过的路径长。

变式13、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）点B的坐标为（5,0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM的最大值及此时点P的坐标。

变式14、如图，线段AB，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是____

旋转相似之构建相似三角形

例题4、如图点P在半径为2的圆O上运动，点A是圆O外的一个定点，且AO=6，连接AP，过点A向上作AQ⊥AP，且AQ:

AP=1:

2。

①问当点P绕点O运动一圈后，求点Q的运动轨迹长。

②问在点P运动过程中，求OQ的最值。

变式1、如图点P在半径为2的圆O上运动，点A是圆O外的一个定点，且AO=6，连接AP，过点A向上作AQ⊥AP，且tan∠QPA=

。

①问当点P绕点O运动一圈后，求点Q的运动轨迹长。

②问在点P运动过程中，求OQ的最值。

变式2、如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=2，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为直角边作Rt△ABC，使∠MBC=90°，且tan∠MCB=

M,B,C三点按逆时针顺序排列，连接AC，则AC长的取值范围是_____.

变式3、

（1）如图1，在△ACB=90°，CH⊥AB于点H，若AB=6,则CH的最大值为。

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=12,BC=CD,∠BCD=60°，AD=9,连接AC，求△ABC面积的最大值。

（3）如图3.某市郊区点O处有棵古树，点A处是某市古树名木保护研究中心，且OA=40km.为加强对该古树的检测和保护.拟在距古树3km处设置三个观测点B,C,D.以形成保护区域四边形ABCD.那么，是否可以形成一个满足要求的面积最大的四边形ABCD?

若可以，求出满足条件的四边形ABCD的最大面枳；若不可以，并说明理由.（研究中心及各观测点的占地面枳爸略不计）

构建旋转全等进行边的转换

【条件】

将△OCD绕点O旋转。

【1】求证：

△OAC≌△OBD；【2】若AC=3，求BD的长。

例题1.1、如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求BD的长.

变式1、如图，点A是△DBC内一点，AB=

BC=8，∠DAC=120°，∠ABC=60°，AD=AC，求BD的长。

变式2、①如左图,四边形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45∘,求BD的长。

②如右图,在①的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长。

变式3、如图,四边形ABCD中,∠CAB=90°,∠ADC=∠ACB=α,tanα=43，CD=5，AD=12，求BD的长。

变式4、如图，在四边形ABCD中，BC=5,CD=8,AB=AC=

∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长。