新东方考研数学基础班线性代数讲义全.docx

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线性代数

考研基础班线性代数2010考研基础班线性代数

主讲：

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尤承业

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考研基础班线性代数讲义考研基础班线性代数讲义基础班

第一讲基本概念矩阵向量行列式等

线性代数的主要的基本内容：

线性方程组一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+?

+a1nxn=b1,?

ax+ax+?

+ax=b,?

2112222nn2?

?

?

?

?

?

?

am1x1+am2x2+?

+amnxn=bm,?

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n个数C1,C2,…,Cn构成,它满足:

当每个方程中的未知数x1都用C1替代时都成为等式.

对线性方程组讨论的主要问题两个:

（1）判断解的情况.

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线性代数

线性方程组的解的情况有三种:

无解,唯一解,无穷多解.

ax+by=c?

?

dx+ey=f

如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。

（2）求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:

b1=b2=?

=bn=0的线性方程组.0,0,…,0

总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:

唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号或方括号,m行n列的表格称为m×n矩阵.这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为（i,j）位元素.

3?

21045

是一个2×3矩阵.

对于上面的线性方程组,称矩阵

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线性代数

a11A=

a12

a1n

和

a11（Aβ）=a21

a12a22

a1nb1?

a2nb2

a21a22?

a2n?

?

?

?

am1am2?

amn

?

?

?

?

am1am2?

amnbm

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为

1?

1?

11?

111,常数列为?

1,则方程组为0?

1?

22

x1-x2-x3=1,?

?

-x1+x2+x3=-1,?

-x-2x=2.n?

2

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量维向量,称这些数为它的分量分量.分量零矩阵:

元素都是0的矩阵.零向量:

分量都是0的向量.

2.矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:

写成一行或写成一列.

3

问题:

（3,-2,1）和

2是不是一样?

1

作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样（左边是1×3矩

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线性代数

阵,右边是3×1矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.一个m×n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.

3.n阶矩阵与几个特殊矩阵n×n的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行号与列号相等.）下面列出几类常用的n阶矩阵:

对角矩阵:

对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵:

对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵:

对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E（或I）.上三角矩阵:

对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:

对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:

满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:

下列矩阵都是什么矩阵?

100

①

c00

②

2?

11

③

000002011

0c000c000

00

10

70

④

120100

⑤

000000

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线性代数

对角矩阵:

①、②、⑤上三角矩阵:

①、②、③、⑤下三角矩阵:

①、②、⑤对称矩阵:

①、②、④、⑤

三.线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的.①加（减）法:

两个m×n的矩阵A和B可以相加（减）,得到的和（差）仍是m×n矩阵,记作A+B（A-B）,法则为对应元素相加（减）.

04?

5117

+

1?

420

3?

6

=

10?

2311

两个同维数的向量可以相加（减）,规则为对应分量相加（减）.

②数乘一个数c与一个m×n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m×n的矩数乘:

阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量α可以相乘,乘积仍为n维向量,记作cα.法则为α的每个元素乘c.

c000c0=cE00c

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线性代数

αα向量组的线性组合:

设α1，2…，s是一组n维向量,

（以c1,

c1,c2,…,

cs是一组数,则称c1a1+c2a2+?

+csas为α1，α2…，αs的c2,…,cs为系数的线性组合线性组合.线性组合

3?

1

例:

求矩阵合.

47的列向量组的系数为1,1,1的线性组?

6

A=50

08

3

解:

1

4

6

5+0+7=1208?

62

2.转置转置把一个m×n的矩阵A行和列互换,得到的n×m的矩阵称为A的转置,记作

AT.

T

153087

10=5837

（A±B）T=AT±BT（cA）T=cAT

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线性代数

1

αT=（?

1.2.3）即α=2

3

四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:

①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.A→B.

2.阶梯形矩阵:

一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行,非零行,则都零行在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.

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线性代数

1?

32000000

6

51

24?

630?

3940064051?

63904

0?

320020000

0?

3006

1?

32000000

51

04?

640?

394000

问题:

对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?

0

0

0

011010001

c000c000c

0?

10002

一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:

如果A是阶梯形矩阵.

（1）A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?

（2）A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?

3.简单阶梯形矩阵

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线性代数

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角台角.台角简单阶梯形矩阵:

是特殊的阶梯形矩阵,满足:

③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵

2

5

6

13

13

1

3

2

6

5

2?

5613131?

3265→→?

25?

4?

15?

1?

25?

4?

15?

1?

11?

4?

911?

3265001022?

111?

32100?

4?

9651

130→0?

2120

213→2?

2122?

112

0?

2?

2?

361?

32650001002132?

212

0101?

3205000100

1?

300?

7100

1000?

34?

960

→

2030→201200100

00?

90100→10600100100001

请注意:

①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非

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线性代数

零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4.线性方程组的矩阵消元法消元法原理:

用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:

15

1

1

1

03?

2Aβ→003000000

1?

214?

2040

x1+5x2+x3+x4=1?

3x?

2x+x=?

2?

234?

?

3x3+x4=4?

?

2x4=4?

矩阵消元法步骤如下:

矩阵消元法

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线性代数

（1）写出方程组的增广矩阵（矩阵（Bγ）.

（2）用（Bγ）判别解的情况:

Aβ），用初等行变换把它化为阶梯形

如果最下面的非零行为（0,0,?

0d）,则无解,否则有解.有解时看非零行数r（r不会大于未知数个数n）,r=n时唯一解；r

去掉（Bγ）的零行,得到一个n×初等变换法（n+1）矩阵（

B0γ0

）,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵

（Eη）,则η就是解.

（B0γ0）=

b11*0b22

**

?

**

?

?

?

?

γ0000?

bnn

100?

0c1010?

0c2→?

?

?

?

?

000?

1cn（c1,c2,?

cn）

就是解.

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线性代数

（Aβ）→（Bγ）→（B0γ0）→（Eη）,η就是解.

15（B0γ0）=000015000013001303→11?

21441000030010→03?

2?

1?

2

03?

20?

4061?

2

001020001?

2

解为（1,0,2,-2）.

对齐次线性方程组:

（1）写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

（2）用B判别解的情况:

非零行数r=n时只有零解；时有非零解（求r

当方程的个数m

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线性代数

第二讲行列式1.形式和意义形式:

用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式阶行列式:

a11a21?

a12?

a1na22?

a2n?

?

?

（简记为aij）

an1an2?

ann

意义:

是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.值请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!

（不必形式一样,甚至阶数可不同.）每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作行列式的的核心问题是值的计算.一.定义（完全展开式）定义（完全展开式）阶行列式的计算公式:

2阶和3阶行列式的计算公式:

A.

a11

a12

a21a22

=a11a22?

a12a21

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线性代数

a11

a12

a13a33

a11

a12

a21a22a31a32

a23a21a22=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a31a32

a13a22a31?

a11a23a32?

a12a21a33

一般地,一个n阶行列式

aij

这里

=

∑

j1j2?

jn

（?

1）τ（j1j2?

jn）a1j1a2j2?

anjn.

1．是许多（n!

个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或-1.）2.每一项a1j1,a2j2

anjn,都是

n个元素的乘积,它们取自

不同行,不同列.即列标j1,j2?

jn构成1,2,…,n的一个全排列（称为一个n元排列）,共有n!

个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!

个项.

∑

j1j2?

jn

表示对所有n元排列求和.

3.规定

τ（j1,j2?

jn）为全排列j1,j2?

jn的逆序数.

称12…n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:

标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

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线性代数

323200

436512,

（436512）=3+2+3+2+0+0=10.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式

a1100?

00a21a220?

00?

?

?

?

?

0an?

11an?

12?

?

an?

1n?

10an1an2?

?

ann?

1ann=（?

1）τ（12?

n）a11a22?

ann=a11a22?

ann

对角行列式,上（下）三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积

例求

x?

3a?

145x?

80?

2bx+110221x

43

的x和x的系数.

4

3

解析：

x的系数是1；x的系数是-10

二.化零降阶法1.余子式和代数余子式1.元素

aij的余子式n把第i行和第j列划去后所得到的n-1余子式,是余子式

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线性代数

阶行列式,记作Mij.

aij的代数余子式为Aij=（?

1）i+jMij.

2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4,

aij=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24

例如求3阶行列式

346?

201=（-3）A11+4A12+6A13=（-3）M11-4M12+6m3457

=（-3）×（-5）-4×（-18）+6×（-10）=27.

例

100?

t10?

0t1?

?

?

?

?

000?

t?

0?

0?

?

t1

1+nn?

1

解析：

原式=1A11+tA1n=1+t?

（?

1）=1+

t

（?

1）1+ntn

3042220?

7053?

2020的第四行各元素的余子式的和.2

例求行列式

解析：

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线性代数

所求为

M41+M42+M43+M44=?

A41+A42?

A43+A44

原式=5A41

+3A42?

2A43+2A44

020即他的值就是原题的余子式之1

304222将原行列式换为0?

70?

11?

1

和答案为-28（对第三行展开

7A32=7M32）

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

94?

201=001=?

=27?

1874571857

346

9

45

2aa20A=?

08题00

分析：

证明：

初等变换

12aa2?

?

?

00?

10?

2a1?

?

?

?

?

?

a2?

?

0

0?

0?

0?

?

2a1a22a

.证明|A|=（n+1）an.

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线性代数

2a0→0?

002a0→0?

00

13a2a2?

?

?

13a20?

?

?

002a

001

?

?

?

?

?

2

00012a000?

1（n+1）an→

2a00?

00

13a20?

?

?

00

00

?

?

?

00

?

?

?

?

?

?

a?

?

00002aa

2

4a0?

?

0?

3?

?

?

?

?

?

?

a22a1?

?

0a22a

0

?

?

?

4a0?

?

3?

?

?

?

?

?

?

?

00?

0

=2a?

3a4a（n+1）a?

?

=（n+1）an23n

4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

三.其它性质行列式还有以下性质:

3．把行列式转置值不变,即

AT=A

.

4．作第一类初等变换,行列式的值变号.5．作第二类初等变换,行列式的值乘c.问题：

cA=?

n

cA

n；cA；cA；cA

6．对一行或一列可分解,即如果某个行（列）向量，则原行列式等于两

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线性代数

个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量换为

α

β或γ

所得到的行列式.

例如α,β1问题：

例如：

+β2,γ=α,β1,γ+α,β2,γ

A+B=A+B?

A=α1α2α3,B=β1

β2β3

A+B=α1+β1α2+β2α3+β3=α1α2+β2α3+β3+β1α2+β2α3+β3=α1α2α3+β3+α1=?

?

=A+B+?

（另外的6个）

例设4阶矩阵

β2α3+β3+β1α2+β2α

A=（α,γ1,γ2,γ3）,B=（β,γ1,γ2,γ3）,A=2,B=3,求A+B

A+B=（α+β,2γ1,2γ2,2γ3）,

解：

A+B=α+β