最新北京市西城区重点中学+初三数学+人教版九年级上册+第24章+《圆》教材分析+教学建议+补充习题名师优秀教.docx
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最新北京市西城区重点中学+初三数学+人教版九年级上册+第24章+《圆》教材分析+教学建议+补充习题名师优秀教
北京市西城区重点中学2016年9月初三数学人教版九年级上册第24章《圆》教材分析+教学建议+补充习题
第24章《圆》教材分析
一本章的地位和作用
（一）从知识角度看
本章在小学学过的一些圆的知识和上一章学习了旋转的知识的基础上进一步研究圆的一些问题,是前面学习直线型有关知识的再应用。
通过本章的学习为进一步在高阶段圆的学习以及其它学科的研究打下基础。
（二）从能力角度看
本章进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
（三）从方法角度看
圆是初学习的唯一的一种曲线形知识,它具有与直线型完全不同的图形、性质，因此从完善对几何知识的认识的角度看:
圆提供了一种新的认识与研究图形的方式（如用反证法证明切线的性质定理）。
二课程学习目标
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;理解弧、弦、圆
心
角的关系，探索并了解点与圆的位置关系。
（2）探索并证明垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论。
圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90?
的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补。
（4）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
探索并证明切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
（5）了解三角形的内心和外心，会利用基本作图作三角形的外接圆、内切圆。
（6）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，会利用基本作图作圆的内接正方形和正六边形。
（7）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（8）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展推理能力;进一步培养综合运用所学知识，分析问题、解决问题的能力。
三知识结构框图
四课时安排
课时建议（16课时）
24圆的有关性质5课时242点和圆、直线和圆有关的位置关系2课时
243正多边形和圆2课时
244弧长和扇形面积2课时
复习2课时
五各节教学建议
一（圆的相关概念
（一）知识点
1（从动态角度定义圆:
在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆其，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆，记作“?
O”，读作“圆O”2从集合角度定义圆:
平面上到定点O的距离等于定长r的点的集合是以O为圆心、以r为半径的圆3（与圆有关的概念:
（1）弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径
（2）弧:
圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB,
读作“弧AB”
弧的分类:
半圆:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆
优弧:
大于半圆的弧叫做优弧:
如ABC
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧:
如AC
（3）等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆
即:
半径相等的圆是等圆;同圆或等圆的半径相等
（4）等弧:
在同圆或等圆，能够互相重合的弧叫做等弧（
（5）同心圆:
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆
（二）补充习题
1（连云港市2016年）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）。
如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点除点外恰好有3个在圆内，则的AArr取值范围为
A（22,r,17B（C（D（17,r,3217,r,55,r,29
A
二垂径定理及推论
（一）知识点
1（垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（
2垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（常用基本图形:
OO
（二）补充练习
1（根据条件求解:
O
（1）已知?
O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高C
（2）已知?
O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高BA（3）已知?
O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和弦心距D（4）已知?
O弦长为2，弦心距为，求?
O半径及弓形高22
（5）已知?
O弦长为8，劣弧所对的弓形高为2，求?
O半径及弦心距（6）已知?
O弦心距为3，劣弧所对的弓形高为2，求?
O半径及弦长
2如图，?
O的直径AB与弦CD相交于点E，
若AE=5,BE=1,,求?
AEDCD,42
3若?
O，半径OA平分弦BC，则可能的情况是（画出草图）
OOOO
BAC
AAA
备用图备用图
4（2016海淀一模）如图，AB为?
O的弦，OC?
AB于点C（若AB=8，OC=3，则?
O的半径长为________（
5（2016年通州一模）如图，在5×5正方形网格，一条圆弧经过A，B，C三点，
已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），BA
那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是C
A（（0，0）B（（-1，1）C（（-1，0）D（（-1，-1）
4（2016年•长沙）如图，在?
O，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则?
O的半径长为_____________
5（2016年•江苏省宿迁市）如图，在?
ABC，已知?
ACB=130?
，?
BAC=20?
，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为（
AB
C
6（2016年福建福州）如图所示的两段弧，位于上方的弧半径为r，下方的弧半径为r，则r,上下上r（（填“,“，”“,”“,”）下
7（年江苏省无锡市）如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画?
A与OA2016
的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与?
A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于;
（2）请在图按下列要求逐一操作，并回答问题:
?
以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使
线段OD的长等于
?
连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由（
连接CD，过点A作AP?
CD交OD于点P，P点即是所要找的点（
依此画出图形（
三（圆心角、弧、弦之间相等关系的定理、圆周角定理及推论
（一）知识点
1（弧、弦、圆心角关系定理:
在同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2（推论:
在同圆或等圆，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等（在同圆或等圆，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等（即:
同圆或等圆，两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等（4（圆周角定理:
在同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（5（圆周角定理推论1:
在同圆或等圆，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等（6（圆周角定理推论2:
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?
的圆周角所对的弦是直径（7（圆周角定理推论3:
如果三角形一条边上的线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（8（圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补（
常用基本图形:
O
O
（二）补充练习
AB1（2016年长春市）如图，在?
O，AB是弦，C是上一点若?
OAB=25?
?
OCA=40?
，则?
BOC
的大小为30度（
2（年山东省烟台市）如图，Rt?
ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线2016
的一端重合，?
ABC=40?
，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将?
ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（D）
A（40?
B（70?
C（70?
或80?
D（80?
或140?
3（2016北京）如图所示，用量角器度量?
AOB，可以读出?
AOB的度数为B
（A）45?
（B）55?
（C）125?
（D）135?
4（年四川省达州市）如图，半径为3的?
A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧?
A优2016
弧上一点，则tan?
OBC为（C）
A（B（2C（D（
5（2016年湖北宜昌）已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论，正确的是（）（
,A（B（，,NOP132，,NOQ42
，PON，MOPC（比大D（与互补，MOQ，MOQ
6（2016年湖北黄冈）如图，?
O是?
ABC的外接圆，?
AOB=70?
，AB,AC，则?
ABC,______35?
_________
7（湖北省咸宁市2016年）如图，点E是?
ABC的内心，AE的延长线和?
ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若?
CBD=32?
，则?
BEC的度数为__122?
_________
7（2016西城一模）在数学实践活动课，小辉利用自己制作的一把“直角角
OOA，,:
AOB90尺”测量、计算一些圆的直径（如图，直角角尺，，将点放在圆周上，分别确定，OBCOC,8OD,9与圆的交点，，读得数据，，则此圆的直径约为（）D
A（17B（14C（12D（10
8（年山东省滨州市）如图，AB是?
O的直径，C，D是?
O上的点，且OC?
BD，AD分别与2016
BC，OC相交于点E，F，则下列结论:
?
AD?
BD;?
?
AOC=?
AEC;?
CB平分?
ABD;?
AF=DF;?
BD=2OF;?
?
CEF?
?
BED，其一定成立的是（D）
A（?
?
?
?
B（?
?
?
?
C（?
?
?
?
D（?
?
?
?
9（湖北省咸宁市2016年）如图，边长为4的正方形ABCD内接于?
O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且?
EOF=90?
，有下列结论:
?
AE=BF;?
?
OGH是等腰直角三角形;
?
四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;?
?
GBH周长的最小值为,，2
其正确的是___:
?
?
_______
（把你认为正确结论的序号都填上）
四（点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系（切线的判定定理、性质定理、切线长定理）
（一）知识点
1（设?
O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d2（经过三角形的三个顶点可以做一个圆,并且只能画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心（
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等3（设?
O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则
lll（c）（a）（b）
（1）直线L和?
O相交d,r，如图（a）所示;,
（2）直线L和?
O相切d,r，如图（b）所示;,
（3）直线L和?
O相离d,r，如图（c）所示（,
4（切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线5（切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
6（切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
7（内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内心:
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
常用基本图形:
A
FOOO
O
CBE第16题图
（二）补充练习
（年四川省攀枝花市）如图，?
ABC，?
C=90?
，AC=3，AB=5，D为BC边的点，以AD上一12016
点O为圆心的?
O和AB、BC均相切，则?
O的半径为（
A
BCO
2（株洲市2016年）?
ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，?
A=75?
，?
B=45?
，
则圆心角?
EOF=120度
3O的直径，AC切?
O于A，BC交?
O于点D，若?
C=70?
，年江苏省无锡市）如图，AB是?
2016（
则?
AOD的度数为（D）
A（70?
B（35?
C（20?
D（40?
4（山东省泰安市2016年）如图，半径为3的?
O与Rt?
AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若?
B=30?
，则线段AE的长为（5（2016年南充市）如图，在RtΔABC，?
ACB=90?
，?
BAC的角平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作圆
（1）求证:
AB为?
O的切线;
31
（2）如果tan?
CAO=，求cosB的值（）53
6年浙江省衢州市）如图，AB为?
O的直径，弦CD?
AB，垂足2016（
为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且?
AFB=?
ABC（
（1）求证:
直线BF是?
O的切线（
（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长（
7（宁波市2016年）如图，已知?
O的直径AB=10，弦AC=6，?
BAC的平分
线交?
O于点D，过点D作DE?
AC交AC的延长线于点E（
（1）求证:
DE是?
O的切线;
（2）求DE的长（（4）
（年四川省达州市）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过82016
点O作OD?
AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F（
（1）求证:
AE•BC=AD•AB;
（2）若半圆O的直径为10，sin?
BAC=，求AF的长（（）9（扬州市2016年）如图1，以?
ABC的边AB为直径的?
O交边BC于点E，过点E作?
O的切线交AC于点D，且ED?
AC
（1）试判断?
ABC的形状，并说明理由;（等腰三角形）CCD
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，?
C=75?
，DEE4F23-3-2CD=，求?
O的半径和BF的长（半径=2，BF=）ABOAB3O
图1图2A10，2016年临沂市，如图，A、P、B、C是圆上的四个点，
P?
APC=?
CPB=60?
，AP、CB的延长线相交于点D
（1）求证:
?
ABC是等边三角形;
3
（2）若?
PAC=90?
，AB=2，求PD的长（4）DCB
11年山东省烟台市）如图，?
ABC内接于?
O，AC为?
O的直径，PB2016（
是?
O的切线，B为切点，OP?
BC，垂足为E，交?
O于D，连接BD（
（1）求证:
BD平分?
PBC;
（2）若?
O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长（
（OE=，AB=2OE=）
12（2016年房山一模）如图，AB为?
O的直径，点C在?
O上，且?
CAB=30?
，点D为弧ABE43的点，AC=求CD的长CD
BAPO
13（2016年门头沟一模）如图，AB为?
O的直径，?
O过AC的点D，DE为?
O的切线（
（1）求证:
DE?
BC;
DDAA1CC
（2）如果DE=2，tanC=，求?
O的直径（2OOEEBB
14（2016年丰台一模）如图，在?
ABC，AB=AC，以AB为直径的?
O分别交AC，BC于点D，
E，过点B作?
O的切线，交AC的延长线于点F（
1
（1）求证:
，CBF,，CAB;2
1tan，CBF,
（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，，2
求BH的长（
15（2016年朝阳一模）如图，点D在?
O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC?
AB
于点C（D
（1）求证:
DB平分?
PDC;
3APBOC
（2）若DC=6，tan，,P，求BC的长（4
16（（2016石景山一模）如图，在?
ABC，AB=AC，以AC为直径作?
O交BC于点D，过点D作?
O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F（
C1）求证:
EF?
AB;（
DO
（2）若?
C=30?
，，求EB的长（EF,6
BAE
17（2016年通州一模）如图，已知AB是?
O的直径，点P在BA的延FC
长线上，PD切?
O于点D，过点B作BE?
PD，交PD的延长线
于点C，连接AD并延长，交BE于点E（ABO
（1）求证:
AB=BE;
60:
23
（2）连结OC，如果PD=，?
ABC=，求OC的长（
D
18（（2016年通州一模）如图，已知AB是?
O的直径，点P在BA的延长线上，PD切?
O于点D，
过点B作BE?
PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（E
C
（1）求证:
AB=BE;D
60:
（2）连结OC，如果PD=，?
ABC=，求OC的长（23BAPO
OCAB,19（2016年怀柔一模）如图，在?
O，AB为直径，，弦CF与OB交于点E，过点F，A分别作?
O的切线交于点H，且HF与AB的延长线交于点D（HDF
B
（1）求证:
DF=DE;
E1
（2）若tan?
OCE,，?
O的半径为4，求AH的长（O2
CA（七）正多边形和圆
知识点
1、多边形的心:
一个正多边形的外接圆的圆心（
2、正多边形的半径:
外接圆的半径（
3、正多边形的心角:
正多边形每一边所对的圆心角（
4、正多边形的边心距:
心到正多边形的一边的距离（
常用基本图形:
OOO
例1正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a?
R?
r=_______（
eO例2（2016年西城一模）已知，如图所示（
eO
（1）求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;
eO
（2）若的半径为4，则它的内接正方形的边长为_______________（例3（2016年四川省巴市）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）（则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为18（
AF
BE
CD
第14题图
例4（株洲市2016年）如图正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为π
（八）弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图
知识点
1圆周长:
C,2R。
nRo2弧长:
。
注意:
n不带单位，且n表示1的倍数。
l180
n123扇形面积:
。
SR,,lR扇形3602
4圆锥侧面积S,rL,25计算圆锥全面积的计算方法S=rL，r（,
例题与练习
1.（2016年长沙）如图，在?
O，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则?
O的半径长为_____________
2.（年湖南省常德市）如图，?
ABC是?
O的内接正三角形，?
O2016
的半径为3，则图阴影部分的面积是3π（
3.如图，AB为?
O的直径，点C在?
O上，若?
OCA=50?
，AB=4，则BC的长为（B）
10105,,,（A）（B）（C）（D）3995,18
4年山东省滨州市）如图，?
ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C2016（
为圆心，以2为半径作弧，则图阴影部分的面积是2π,3（
（年四川省广安市）如图，AB是圆O的直径，弦CD?
AB，?
BCD=30?
，CD=4，52016
则S=（）阴影
A（2πB（πC（πD（π
6（乐山市2016年）如图，在RtABC,，，,以点C为圆心，CB的长为AC,23，,ACB90
0半径画弧，与边交于点,将绕点旋转后点与点恰好重合，则图阴影部分的面ABDDBA180BD
2,积为___;,233
A
AO
D
BC图2BC图8
7（四川省内江市2016年）如图，点A，B，C在?
O上，若?
BAC,45?
，OB,2，则图阴影部分的面积为（C）
22A（π,4B（π,1C（π,2D（π,233
8（（年山东省德州市）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的点2016
M与圆心O重合，则图阴影部分的面积是,（
（年江苏省泰州市）如图，?
O的半径为2，点A、C在?
O上，线段BD经过圆心O，92016
?
ABD=?
CDB=90?
，AB=1，CD=，则图阴影部分的面积为π（
10（山东省泰安市2016年）如图，是一圆锥的左视图，根据图所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（B）
A（90?
B（120?
C（135?
D（150?
A
CB
BCADO
BOACD
年山东省烟台市）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，?
BOC=60?
，11（2016
?
BCO=90?
，将?
BOC绕圆心O逆时针旋转至?
B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图
2阴影部分）的面积为πcm（
2312（2016年枣庄市）如图，AB是?
O的直径，弦CD?
AB，?
CDB,30?
，CD,，则阴影部分的面积为D
π2πA（2πB（πCD33
ABCDACOOA,AC,213（2016年湖北黄石）如图所示，正方形对角线所在直线上有一点，，
O60:
2,，2将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程，正方形扫过的面积是__________A
14（2016年荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90?
的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上（将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）
6cmC（3cmD（23cmA（12cmB（2
七专题举例
（九）与圆有关的作图
1请用尺规将已知弧二等分
BA
2在圆内做一个正方形，使这个
正方形的四个顶点都在圆上
3有一个未知圆心的圆形工件（如图）现只允许用一块直角三角板（注:
不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的直径并定出圆心要求在图上保留画图痕迹，写出画法
4过已知圆上一点做圆的切线
5过已知圆外一点做圆的切线
OOA
AA
6尺规作图:
做出图三角形的内切圆
CB
（年江苏省无锡市）如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画?
A与OA的延长线交于点C，72016
过点A画OA的垂线，垂线与?
A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于;
（2）请在图按下列要求逐一操作，并回答问题:
?
以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于?
连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由（
（十）与圆有关的最值
例1已知:
如图，圆心A（5，0），?
A的半径为2，与x轴交于点C、D
（1）若点B为?
A上的一个动点，则线段OB的最大值为______（
（2）若点P为y轴上的一个动点，过P作?
A的切线，切点为E,则PE的最小值为______（
例2、（2016年河北）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q
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