三角函数.docx

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三角函数

《三角函数》复习教案

【知识网络】应用弧长公式同角三角函数的基本关系式诱导公式应用计算与化简证明恒等式应用任意角的概念角度制与弧度制任意角的三角函数三角函数的图像和性质应用已知三角函数值求角和角公式应用应用倍角公式差角公式应用学法:

1.注重化归思想的运用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2.注意数形结合思想的运用.如讨论函数性质等问题时,要结合函数图象思考,便易找出解题思路和问题答案.

第1课三角函数的概念

考试注意:

理解任意角的概念,弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.掌握终边相同角的表示方法.掌握任意角的正弦,余弦,正切的意义.了解余切,正割,余割的定义.掌握三角函数的符号法则.

知识典例:

1.角α的终边在第一,三象限的角平分线上,角α的集合可写成___________.

2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边（）

A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=-x上.

3.已知角α的终边过点p（-5,12）,则cosα=__________,tanα=___________.

4.若cosθtanθ>0,则θ是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一,二象限角D.第二,三象限角

【讲练平台】

例1已知角的终边上一点P（-3,m）,且sinθ=2m,求cosθ与tanθ的4值.

分析已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义解题,由P的坐标可知,需求出m的值,从而应寻求m的方程.

mm=.解由题意知r=3+m2,则sinθ=r3+m2又∵sinθ=2m,4∴m3+m2=2m.4∴m=0,m=±5.当m=0时,cosθ=-1,当m=5时,cosθ=-tanθ=0;6,tanθ=-415;3当m=-5时,cosθ=-615,tanθ=.43点评已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法（三角函数的定义）解决.例2已知集合E={θ|cosθ

222解∵θ是第二象限角,∴2kπ+∴kπ+∴π3π<θ<2kπ+,k∈Z.22πθ3π<

.9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.第2课【考点指津】同角三角函数的关系及诱导公式sinα=tanα,tanαcotα=1,cosα掌握同角三角函数的基本关系式:

sin2α+cos2α=1,掌握正弦,余弦的诱导公式.能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题.【知识在线】1.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是（）A.14B.34C.114D.94（344C.cosα=-5..（）D.sin（π-α）=）3532.已知sin（π+α）=-,则5A.cosα=45B.tanα=3.已tanα=3,4sinα-2cosα的值为5cosα+3sinα4.化简1+2sin（π-2）cos（π+2）=55.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于9A.22322B.-32C.3D.-23【讲练平台】例1化简sin（2π-α）tan（π+α）cot（-α-π）.cos（π-α）tan（3π-α）分析式中含有较多角和较多三角函数名称,若能减少它们的个数,则式子可望简化.（-sinα）tanα[-cot（α+π）]（-sinα）tanα（-cotα）解原式==（-cosα）tan（π-α）（-cosα）（-tanα）sinα=cosαsinα=1.cosα点评将不同角化同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法.例2若sinθcosθ=ππ1,θ∈（,）,求cosθ-sinθ的值.842分析已知式为sinθ,cosθ的二次式,欲求式为sinθ,cosθ的一次式,为了运用条件,须将cosθ-sinθ进行平方.13解（cosθ-sinθ）2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-=.44ππ∵θ∈（,）,∴cosθ

1=sin2θ+cos2θ等.【知能集成】1.在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数.2.注意1的作用:

如1=sin2θ+cos2θ.3.要注意观察式子特征,关于sinθ,cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子.4.运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题.【训练反馈】1.sin600°的值是（）1A.2B.-12C.32D.-32（）ππ2.sin（+α）sin（-α）的化简结果为44A.cos2α1B.cos2α2C.sin2α1D.sin2α2（34D.-或-43.）1,则tanx的值是3.已知sinx+cosx=,x∈[0,π]53A.-4B.-434C.±3114.已知tanα=-,则=32sinαcosα+cos2α5.1-2sin10°cos10°cos10°-1-cos2170°的值为.6.证明1+2sinαcosα1+tanα=.cos2α-sin2α1-tanα2sinθ+cosθ=-5,求3cos2θ+4sin2θ的值.sinθ-3cosθ7.已知8.已知锐角α,β,γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.第3课两角和与两角差的三角函数（两角和与两角差的三角函数

（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式,掌握二倍角的正弦,余弦,正切公式,能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题.【知识在线】1.cos105°的值为（）A.6+24B.6-24C.2-64D.-6-24）2.对于任何α,β∈（0,π）,sin（α+β）与sinα+sinβ的大小关系是（2B.sin（α+β）sinα+sinβC.sin（α+β）=sinα+sinβ3π3.已知π<θ<,sin2θ=a,则sinθ+cosθ等于2A.a+1B.-a+1C.a2+1114.已知tanα=,tanβ=,则cot（α+2β）=33D.±a2+1.15.已知tanx=,则cos2x=2【讲练平台】例1已知sinα-sinβ=-.11,cosα-cosβ=,求cos（α-β）的值.32分析由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα,cosα,sinβ,cosβ的二次式,而已知条件是关于sinα,sinβ,cosα,cosβ的一次式,所以将已知式两边平方.11解∵sinα-sinβ=-,①cosα-cosβ=,②32①2+②2,得2-2cos（α-β）=∴cos（α-β）=72.5913.36点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异.2cos10°-sin20°例2求的值.cos20°分析式中含有两个角,故需先化简.注意到10°=30°-20°,由于30°的三角函数值已知,则可将两个角化成一个角.解∵10°=30°-20°,2cos（30°-20°）-sin20°∴原式=cos20°=2（cos30°cos20°+sin30°sin20°）-sin20°=cos20°3cos30°=3.cos20°点评化异角为同角,是三角变换中常用的方法.例3已知:

sin（α+β）=-2sinβ.求证:

tanα=3tan（α+β）.分析已知式中含有角2α+β和β,而欲求式中含有角α和α+β,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角.解∵2α+β=（α+β）+α,β=（α+β）-α,∴sin[（α+β）+α]=-2sin[（α+β）-α].∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=-2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα.若cos（α+β）≠0,cosα≠0,则3tan（α+β）=tanα.点评审题中要仔细分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将α+β看成一个整体【知能集成】审题中,要善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的关系;整体思想是三角变换中常用的思想.【训练反馈】π341.已知0<α<<β<π,sinα=,cos（α+β）=-,则sinβ等于255A.02.24B.0或25C.（2425）（）24D.0或-25sin7°+cos15°sin8°的值等于cos7°-sin15°sin8°A.2+3B.2+325π6C.2-3D.2-32（）3.△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为A.π6B.C.π5π或66D..π2π或334.若α是锐角,且sin（α-π2π3π5.coscoscos=777π1）=,则cosα的值是36.116.已知tanθ=,tanφ=,且θ,φ都是锐角.求证:

θ+φ=45°.23π3π447.已知cos（α-β）=-,cos（α+β）=,且（α-β）∈（,π）,α+β∈（,25522π）,求cos2α,cos2β的值.tanα118.已知sin（α+β）=,且sin（π+α-β）=,求.32tanβ两角和与两角差的三角函数（第4课两角和与两角差的三角函数

（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的正弦,余弦,正切公式;能灵活运用和角,差角,倍角公式解题.【知识在线】求下列各式的值1.cos200°cos80°+cos110°cos10°=.12.（cos15°+3sin15°）=2.3.化简1+2cos2θ-cos2θ=.4.cos（20°+x）cos（25°-x）-cos（70°-x）sin（25°-x）=115.-=1-tanθ1+tanθ..【讲练平台】例1求下列各式的值

（1）tan10°+tan50°+3tan10°tan50°;（3tan12°-3）csc12°.

（2）4cos212°-2

（1）解原式=tan（10°+50°）（1-tan10°tan50°）+3tan10°tan50°=3.

（2）分析式中含有多个函数名称,故需减少函数名称的个数,进行切割化弦.（3解原式=sin12°331-3）cos12°sin12°=cos12°sin12°2cos24°2cos24°3sin12°3cos12°==2sin12°cos12°cos24°1323（sin12°cos12°）221sin48°2=43sin（12°60°）=43.sin48°点评

（1）要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）,asinx+bsinx=a+bsin（x+φ）的运用;

（2）在三角变换中,切割化弦是常22用的变换方法.例21+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ求证=.2tanθ1-tan2θ分析三角恒等式的证明可从一边开始,证得它等于另一边;也可以分别从两边开始,证得都等于同一个式子;还可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式.1+sin4θ-cos4θ2tanθ由欲证的等式可知,可先证等式=,此式的右边等于tan21+sin4θ+cos4θ1-tan2θθ,而此式的左边出现了"1-cos4θ"和"1+cos4θ",分别运用升幂公式可出现角2θ,sin4θ用倍角公式可出现角2θ,从而等式可望得证.证略点评注意倍角公式cos2α=2cos2α-1,cos2α=1-2sin2α的变形公式:

①升幂公式1-cos2α1+cos2α1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,②降幂公式sin2α=,cos2α=22的运用;三角恒等式证明的方法:

从一边推得另一边;左右归一,先证其等价等于等式;分析法等.7πsin2x+sin2xtanxπ317π例3已知cos（+x）=,

（1）注意两角和公式的逆用;注意特殊角与其三角函数值的关系,1=tan

（2）如4π.4等;（3）注意化同角,将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+【知能集成】在三角变换中,要注意三角公式的逆用和变形运用,特别要注意如下公式:

tanA+tanB=tan（A+B）[1-tanAtanB];asinx+bcosx=a+bsin（x+φ）及升幂,降幂公式的运用.22【训练反馈】1.cos75°+cos15°的值等于A.2.a=62B-62（）C.-222,则2D.D.（b

sin（2α+β）+sin（2α+3β）=0.第5课三角函数的图象与性质

（一）三角函数的图象与性质（【考点指津】了解正弦函数,余弦函数,正切函数的图象和性质,能运用数形结合的思想解决问题,能讨论较复杂的三角函数的性质.【知识在线】1.若3+2cosx<0,则x的范围是2.下列各区间,使函数y=sin（x+π）的单调递增的区间是πA.[,π]2B.π[0,]4C.）（.）D.ππ[,]42[-π,0]π3.下列函数中,周期为的偶函数是（2A.y=sin4xB.y=cos22x-sin22x4.判断下列函数的奇偶性函数;

（1）y=xsinx+x2cos2x是

（2）y=|sin2x|-xcotx是函数;7π（3）y=sin（+3x）是2【讲练平台】例1

（1）函数y=函数.C.y=tan2xD.y=cos2x5.函数f（x）=cos（3x+φ）是奇函数,则φ的值为.lg（1tanx）12sinx的定义域为

（2）若α,β为锐角,sinαβB.α<βC.α+β22分析

（1）函数的定义域为1-tanx>0,（*）1-2sinx>0.的解集,由于y=tanx的最小正周期为π,y=sinx的最小正周期为2π,所以原函数的周期为2π,应结合三角函数y=tanxπ3π和y=sinx的图象先求出（-,）上满足（*）的x的范围,再据周期性易得所求定义域22ππ5π5π为{x|2kπ-

（2）sinα,cosβ不同名,故将不同名函数转化成同名函数,cosβ转化成sin（2-β）,运用y=sinx在[0,π]的单调性,便知答案为C.2点评

（1）讨论周期函数的问题,可先讨论一个周期内的情况,然后将其推广;

（2）解三角不等式,要注意三角函数图象的运用;（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小.例2判断下列函数的奇偶性:

（1）y=sinxcosx1+sinxcosx;

（2）y=.1+cosx1sinx+cosx分析讨论函数的奇偶性,需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后考f（-x）是否等于f（x）或-f（x）.x解

（1）定义域关于原点对称,分子上为奇函数的差,又因为1+cosx=2cos2,所以分2母为偶函数,所以原函数是奇函数.ππ

（2）定义域不关于原点对称（如x=-,但x≠）,故不是奇函数,也不是偶函数.22点评将函数式化简变形,有利于判断函数的奇偶性.例3求下列函数的最小正周期:

ππ

（1）y=sin（2x-）sin（2x+）;

（2）y=63）3.πcos2x+cos（2x+）3sin2x+sin（2x+π分析对形如y=Asin（ωx+φ）,y=Acos（ωx+φ）和y=Atan（ωx+φ）的函数,易求出其周期,所以需将原函数式进行化简.πππ1π解

（1）y=sin（2x-）sin（2x+-）=sin（4x-）,262362ππ所以最小正周期为=.421+（cos2x）×2

（2）y=1cos2x+（cos2x）×（sin2x）×2sin2x+（sin2x）×tan2x+33sin2x+2=233cos2x223cos2x23sin2x233tan2x+13=tan（2x+π）.==63tan2x31tan2x3π∴是小正周期为.2点评求复杂函数的周期,往往需先化简,其化简的目标是转化成y=Asin（ωx+φ）+k或y=Acos（ωx+φ）+k或y=Atan（ωx+φ）+k的形式（其中A,ω,φ,k为常数,ω≠0）.例4已知函数f（x）=5sinxcosx-53cos2x+

（1）求f（x）的单调增区间;

（2）求f（x）图象的对称轴,对称中心.分析函数表达式较复杂,需先化简.π51+cos2x53解f（x）=sin2x-53×+=5sin（2x-）.2232