高中数学必修一知识点总结.docx
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高中数学必修一知识点总结
高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性如：
世界上最高的山
（2）元素的互异性如：
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的无序性:
如：
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集
合
3.集合的表示：
{⋯}如：
{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：
列举法与描述法。
注意：
常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
（1）列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括
号内表示集合的方法。
例如：
{a,b,c⋯⋯}
（2）描述法：
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
（3）语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}
（4）Venn图:
韦恩图（文氏图）是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
4、集合的分类：
（1）
有限集
含有有限个元素的集合
（2）
无限集
含有无限个元素的集合
例：
{x|x2=－5｝
（3）
空集
不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
AB有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合
相等”
即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，
记作AB（或BA）
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
含有n个元素的集合的子集的共有2n个；真子集共有2n1个：
非空真子集共有
2n2.
集合的基本运算
运算
类型
交集并集补集
定
义
韦
由所有属于A且属
于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB
（读作‘A交B’），
即AB=｛x|xA，
且xB｝．
由所有属于集合A或
设S是一个集合，A是S的一
属于集合B的元素所
个子集，由S中所有不属于A
的元素组成的集合，叫做
S中
组成的集合，叫做
子集A的补集（或余集）
A,B的并集．记作：
记作CSA，即
AB（读作‘A并
B’），即A
BCSA={x|xS,且xA}
={x|xA，或x
B}）．
恩
图
示
A
B
A
B
S
A
图1
图2
性
质
A
A=A
A
A=A
A
Φ=Φ
A
Φ=A
A
B=B
A
A
B=B
A
A
B
A
A
B
Ａ
A
B
B
A
B
B
（CuA）（CuB）=Cu（AB）
（CuA）（CuB）=Cu（AB）
A（CuA）=U
A（CuA）=Φ．
容斥原理有限集A的元素个数记作card（A）.对于两个有限集A，B，有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）．
重点习题：
注意：
求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过
数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题
1.求方程x2x10的解集；
2.设A4,2a1,a2，B9,a5,1a，已知AIB9，则实数a。
3.设关于x的方程x2px120，x2qxr0的解集分别为A，B，若
AUB
3,4
，AIB
3，求p,q,r的值。
4.
2
2
B={3，5}，A∩B={3}
，求实数a,b,c
的值.
设A={x|x+ax+b=0},B={x|x
+cx+15=0},又A
5.
设A
xx2
pxq0,x
R,M1,3,5,7,9,N
1,4,7,10。
若A
NA，A
M
求p,q的值。
6.设Axx24x0，Bxx22（a1）xa210B
（１）若
（２）若
AIBB，求a的值；
AUBB，求a的值．
7.某地对农户抽样调查，结果如下：
电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机
拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63％，三种电器齐全的为25％，那
么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？
二、函数
（一）函数定义域、值域求法综合
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作yf（x）,xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合
{f（x）xA}叫做函数的值域（range）。
定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；
（1）对应法则f（x）是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f
与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；
y=f（x）不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，
这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f（x）表示外，还常用
g（x）、F（x）、G（x）等符号来表示；
自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f（a）来表示。
如
函数f（x）=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：
f
（2）=22+3×2+1=11。
注意：
f（a）是常量，f（x）是变量，f（a）是函数f（x）中当自变量x=a时的函数值。
（2）定义域是自变量x的取值范围；
注意：
①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；
如：
y=x2（xR）与y=x2（x>0）；y=1与y=x0
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集
合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；
如：
一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,
而不是xR。
（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
（求值域通常用观察法、配方法、代换法）
定义域的求法：
当确定用解析式y=f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意
义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f（x）是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。
函数的三种表示方法
（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：
如y3x22x1,Sr2,C2r,S6t2等。
（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：
如：
平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：
不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）.
（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略
一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f（x1）<
f（x2）.那么就说f（x）在这个区间上是增函数（increasingfunction）。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2）.
那么就是f（x）在这个区间上是减函数（decreasingfunction）。
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f（x）在这一区间具有
（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升
的，减函数的图象是下降的。
1．函数最大值与最小值的含义
一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的xI，都有f（x）M；
（2）存在x0I，使得f（x0）M。
那么，我们称M是函数yf（x）的最大值（maximumvalue）.
2．二次函数在给定区间上的最值
①利用二次函数的性质求最值
对二次函数yax2
bx
c（a0）来说，若给定区间是
（
），则当a0时，函
数有最小值是4acb2
，当a
0时，函数有最大值是
4ac
b2
；若给定区间是[a,b]，则
4a
4a
必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。
②利用图像求函数的最值
③利用函数的单调性求最值
3.一般地，（板书）如果对于函数
f（x）
的定义域内任意一个
x，都有f（-x）=
f（x），那么函
数f（x）就叫做偶函数（evenfunction
）。
（图像关于y轴对称）
4.一般地，（板书）如果对于函数
f（x）
的定义域内任意一个
x，都有f（x）
f（x），那
么函数f（x）就叫做奇函数（oddfunction）
。
（图像关于原点对称）
注意：
奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；
偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；
（三）函数解析式的表达
求函数解析式的常用方法有：
1、待定系数法
例1、
（1）已知二次函数
f
（x）满足f
（1）
1，f
（1）
5，图象过原点，求
f（x）；
（2）已知二次函数
f（x），其图象的顶点是（
1,2），且经过原点，
f（x）．
解：
（1）由题意设
f（x）ax2
bxc，
∵f
（1）
1，f（
1）
5
，且图象过原点，
a
b
c
1
a
3
∴a
b
c
5
∴b
2
c
0
c
0
∴f（x）
3x2
2x．
（2）由题意设
f
（x）
a（x1）2
2，
又∵图象经过原点，
∴f（0）
0，∴a20
得a
2，
∴f（x）
2x2
4x．
说明：
（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；
（2）基本步骤：
设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
2、代入法
例2、根据已知条件，求函数表达式．
（1）已知f（x）
x2
4x
3，求f（x
1）．
（2）已知f（x）
3x2
1，g（x）
2x
1，求f[g（x）]和g[f（x）].
解：
（1）∵f（x）
x2
4x3
∴f（x1）（x1）2
4（x1）3x2
2x．
（2）∵f（x）
3x2
1，g（x）
2x
1
∴f[g（x）]
3[g（x）]2
1
3（2x1）2
112x212x4
∴g[f（x）]
2[f（x）]
1
2（3x21）16x21
说明：
已知f（x）求f[g（x）]，常用“代入法”.
基本方法：
将函数f（x）中的x用g（x）
来代替，化简得函数表达式．
3、配凑法与换元法：
例3、
（1）已知f（x
1）
x2
2x，求f（x）.
（2）已知f（x
1）
x
2
x，求f（x
1）．
解：
（1）法一配凑法：
∵f（x1）（x1）2
2x12x（x1）2
4x1（x1）2
4（x1）3
∴
f（x）
x2
4x
3．
法二换元法：
令x
1
t，则x
t
1，
f（t）
（t
1）2
2（t
1）
t2
4t
3
∴f（x）
x2
4x
3．
（2）设u
x1
1，则x=u1，x（u1）2
于是f（u）
（u
1）2
2（u
1）
u2
1（u1）
∴f（x）
x2
1（x
1）
∴f（x
1）
（x
1）2
1
x2
2x（x
1
1）
即f（x1）x2
2x（x0）.
说明：
已知f[g（x）]求f（x）的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉
及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．
4、构造方程法
例3、已知f（x）
满足2f（x）
1
3x，求f（x）.
f（）
f
（1）
x
解：
∵2f（x）
3x
--------
①
x
将①中x换成1得
1
x
1
f（x）3（
②
2f（）
）-------
x
x
3
①×2-②得
3f（x）
6x
1
x
∴f（x）
2x
x
x），或f（x）与f
（1）之间的关系式，求
说明：
已知f（x）与f（
f（x）的解析式，可通
x
1），解出f（x）.
过“互换”关系构造方程的方法，消去
f（x）或f（
x
（三）恒成立问题的求解策略
主要讨论二次函数问题
（四）反函数的几种题型及方法
反函数的定义
一般地，设函数y
表示出，得到x=（y）.
的值和它对应，那么，x=
f（x）（xA）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x
若对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一
（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=（y）
（y
C）叫做函数
y
f（x）（x
A）的反函数，记作
x
f1（y）,习惯上改写成
y
f
1
（x）
1.求反函数的基本步骤：
一求值域：
求原函数的值域
二反解：
视
y为常量，从y
f
x
中解出唯一表达式
xf
1
y
，
三对换：
将
x与y互换，得y
f1
x
，并注明定义域。
2.反函数yf
1
x与原函数y
f
x
的关系：
性质1、y
f
1
x
的定义域、值域分别为
y
fx
的值域、定义域。
性质2、若y
f
x
存在反函数，且
y
f
x为奇函数，则
y
f
1x也为奇函数。
性质3、若y
f
x
为单调函数，则
y
f
1
x同y
fx
有相同的单调性。
性质4、y
f
x和yf1
x
在同一直角坐标系中，图像关于
y
x对称。
探讨1：
所有函数都有反函数吗？
为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数
yf（x）
来说，不一定有反函数，如
yx2
只有“一一映射”确定的函数才有反函数，
yx2,x[0,
）有反函数是
y
x
探讨2：
互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数y
f（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y
f
1（x）
是集合C到集合A的映射，因此，函数y
f（x）的定义域正好是它的反函数
y
f1（x）的值
域；函数y
f（x）
的值域正好是它的反函数y
f1（x）
的定义域
f[f
1（x）]
x,f
1[f（x）]
x（如下表）：
函数y
f（x）
反函数y
f
1（x）
定义域
A
C
值域
C
A
探讨3：
y
f1（x）的反函数是？
若函数y
f（x）有反函数y
f1（x），那么函数y
f1（x）的反函数就是
yf（x），这
就是说，函数
y
f（x）与y
f
1（x）互为反函数
例1：
已知f
x
log2
x3
1，求f
1
x
（对数函数形式）
f
x
R,
y
x3
1，则log2
x3
y
1
解：
的值域为
令
log2
2y1
x
3
x
2y
1
3
f
1
x
2x
1
3
例2：
已知f
x
2x
2
1求f
1
x
（指数函数形式）
解：
令y
2x2
1，y的值域为
y
1，2x
2
y
1
log2
y1
x
2
x
log2
y
12
f
1
x
log2
x
1
2
x
1
0
x
1
例3：
已知f
x
1
x
2
0
x
1，求f1
x
1
（根式形式）
解：
令y
2
Q0x1
1x10
0x1
2
1x10x1
1
2
1
0
1x1
2
1Q0
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