高等数学偏微分方程.docx

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高等数学偏微分方程

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第十四章偏微分方程

物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题•由于实践的需要

和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科•

本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论•在二阶方程

中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理•阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型

椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：

分离变量法，基本解，格林方法，黎曼方法,势位

方法及积分变换法•最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：

差分方法和变分方法•

§1偏微分方程的一般概念与定解问题

［偏微分方程及其阶数］一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程•如果等式不

止一个，就称为偏微分方程组•出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.

［方程的解与积分曲面］设函数u在区域D内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u代入方程后，能使它在区域D内成为恒等式，就称u为方程在区域D中的解，或称正规解.U二U（Xi，X2，…，Xn）在n+1维空间（U,Xi,X2，…，Xn）中是一曲面，称它为方程的积分曲面.

［齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程］对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如

ax,y「bx,y「cx,yu=fx,y

cxcy

就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f（x,y）.若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.

［拟线性方程与半线性方程］如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如

anx,y,u

x

-2

J疋uai2x,y,u二cxcy

-2

/芒ua22x,y,u2

ax,y,u「bx,y,u

cx

CX

y,u=o

就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方

程的主部为

-2-2-2

iFu+/“u+/占u

anx,y,u2ai2x,y,ua22x,y,uF

cxcxsycy

如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如

-2_2__

ax,y「”bx,y'ucx,y,u-dx,y,u」=0

cxoycxcy

就是半线性方程.

［非线性方程］不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如

u2（1亠）2•严）2

CXcy

=1

就是一阶非线性偏微分方程.

［定解条件］给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始

情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件

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［定解问题］给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类•

1初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题

2边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.

3混合问题既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.

［定解问题的解］设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u为定解问题的解.

［解的稳定性］如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的•

［定解问题的适定性］如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的•

§2一阶偏微分方程

柯西-柯娃列夫斯卡娅定理

［一阶偏微分方程的通解］一阶偏微分方程的-

•般形式

是

:

:

u

；:

u

;:

u、门

F（Xi,X2,

Xn,U,,

JJ

r0

CXi

.X2

:

Xn

或

FXi,,Xn,U,Pi,P2,

，Pn=0，

其中Pi

=—i72

:

Xj

如解出Pi，可得：

Pi=f（Xi,

X2，…，Xn

，u,P2，…，Pn）

当方程的解包含某些“任意元素”（指函数），如果适当选取“任意元素”时，可得方程

的任意解（某些“奇异解”除外），则称这样的解为通解•

在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件（即定解条件）下的解，而不

在于求通解.

［一阶方程的柯西问题］

fX1,X2,,Xn,U,P2,,Pn

U|xu广:

X2；,Xn

称为柯西问题，式中：

：

（X2，…，Xn）为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.

［柯西—柯娃列夫斯卡娅定理］设f（Xi,X2,Xn,U,P2/,Pn）在点（xj,

X20,,Xn0,U0,P20,,Pn0）的某一邻域内解析，而（X2/,Xn）在点（X?

。

；人°）

的某邻域内解析，则柯西问题在点（Xi0，…,Xn0）的某一邻域内存在着惟一的解析解•

这个定理应用的局限性较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.

对高阶方程也有类似定理.

在有些书中写作

F（t,Xi,X2,,Xn,U,3,P,，乜）=0

CtCXiCXn

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二、一阶线性方程

1.一阶齐次线性方程

［特征方程特征曲线初积分（首次积分）］给定一阶齐次线性方程

J.cu..cu_

a1X1,X2,,XnanX1,X2,,Xn0

Sx1cXn

式中ai为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零（下同）.方程组

dXj

-=aiX1,X2,,Xn（i=1,2,,n）

dt

dx-\

dx2

dXn

anX1,X2/,Xn称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程•如果曲线I：

Xi=Xi（t）（i=1,2，…，n程

（2），就称曲线I为一阶齐次线性方程的特征曲线.

如果函数t（X1,X2,,Xn）在特征曲线X^Xi（t）（i=1,2,,n）上等于常数，即

屮（X1（t）,X2（t），…,Xn（t））=C就称函数t（X1,X2,,Xn）为特征方程

（2）的初积分（首次积分）.

［齐次方程的通解］

aiXi,X2,,Xna2Xi,X2,,Xn

）满足特征方

10连续可微函数u=屮（X［

X2/

…，Xn）是齐次线性方程

（1）的解的充分必要条件是：

屮（X1,x2,…，Xn）是这个方程的特征方程的初积分

.

20设屮i（X1,X2，…，Xn）（

i=

1,2，…,n-

1）是特征方程

（2）在区域D上连续可微而

且相互独立的初积分（因此在D内的每一

•点，矩阵

-

'^1

評1…

列11

CX1

CX2

CXn

列2

評2…

卵2

说

CX2

CXn

評n」

評2…

叽

[

CX2

CXn-

的秩为n-1），贝U

u=«（屮1（X1,

X2:

Xn）,,

屮n-1（X

1,X2，…,Xn））

日

疋-阶齐次线性方程

（1）的通解，其中••为n-1个变量的任意连续可微函数.［柯西问题］

式中®（X2,"

设'"i（X1,

分，引入参变量'■■■（i=1,2,

考虑方程的柯西问题

fn'aiX1,X2,

W心=%2,…

Xn）为已知的连续可微函数.

X2，…,Xn）（i=1,2，…,n-1）为特征方程的任意n-1个相互独立的初积,n-1），从方程组

"屮1（X：

X2,…，禺）=屮；

』即2（X；,X2,…，Xn）=苦2

Xn0

CXi

Xn

'■；n4X10,X2/',X^，；；_n4

学习资料收集于网络，仅供参考解出X2，…，Xn得

"阿严2,…，屮心）

则柯西问题的解为

u=®㈢2（屮1，屮2，…，屮n-1），…，灼n（屮1，屮2，…，屮n-1））

2.非齐次线性方程

它的求解方法与拟线性方程相同.

三、

一阶拟线性方程

一阶拟线性方程为

n.

u

'aiXi,X2,,Xn,uRXi,X2,,Xn,u

i4「Xi

其中ai及R为Xi,X2，…,Xn,u的连续可微函数且不同时为零.

［一阶拟线性方程的求解和它的特征方程］

鱼=ai（Xi,X2，…，Xn,u）

.dtduc、

H=R（Xi,X2，…，Xn,u）

L.dt

（i=1,2,,n）

dXi二…

aiXi,,Xn,u

为原拟线性方程的特征方程.如果曲线I:

程，则称它为拟线性方程的特征曲线.

设’i（Xi,,Xn,u）（i=i,2,

任何连续可微函数.，

dXn

du

anXi,,Xn,uRXi,,Xn,u

Xi=Xi（t）（i=i,2,,n）,u

u（t）满足特征方

n）为特征方程的n个相互独立的初积分，那末对于

3（寧i（Xi,…，Xn,u）,屮2（Xi,…

都是拟线性方程的隐式解.

［柯西问题］考虑方程的柯西问题

r

'aiXi,X2,

*im

u）,，'-n（Xi,…，Xn,u））=0

Xn,U—=RXi,X2/,Xn,u

uI右=®（X2，…X）

为已知的连续可微函数.设’-；1（Xi,X2，…,Xn初积分，引入参变量屮:

，屮2,

u）,,（Xi,

"■■■■；,从

'■；1X0,X2,■

'■；2X0,X2,'

X2，…,Xn,U）为特征方程的n个相互独立的

X,U八：

X,U八；

解出X2,

V」X0,X2，…，Xn,u）=V；n

则由

VX!

X2,,Xn,U]X-X2,,X.,U,，‘2为人,X.,U

-®®2严1干2,…吧广，叭竹，竖，…严n））=0

给出柯西问题的隐式解•

四、

一阶非线性方程

[完全解•通解•奇异解

一阶非线性方程的一般形式为

FX「X2,,Xn,U,P2,,Pn[=0

pi

cxi

若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数，则称这样的解为完全解（全积分）.若V（X1,X2，…,Xn,u,c,C2,…，Cn）=0为方程的完全解，从

eV

V=0,—=0i=1,2,,n

cci

消去Ci，若得一个解，则称它为方程的奇异解（奇积分）.

设方程

:

z

q二

：

y

以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，

Fx,y,z,p,q=0,

:

z

有完全解

V

则方程等价于从方程组

（x,y,z,a,b）=0（

a,b为任意常数）,

V（x,y,z,a,b）=0

卫空p=0,空Mq=0

J■x:

z:

y:

z

消去a,b所得的方程.

：

：

Vfa:

V：

：

b小

0:

x

%0

0

-y

.X;z:

a；xb

-V：

V：

V：

a：

：

V

—'—q亠

.:

y:

z：

：

a

利用常数变易法把a,b看作x,y的函数，将V（x,y,z,a,b）=0求关于x,y的偏导数，得p

-:

V.:

aV.:

b小

0

-a:

y:

b:

y

那末

:

V：

：

aV:

b小

:

a:

x：

:

b:

x

与V=0联立可确定a,b.有三种情况：

1—丄三0，将其与V（x,y,z,a,b）=0联立可确定不含任意常数的奇异解.-a:

b

2如生二鱼=0，即回到完全解.

-X:

y:

x:

y

3当—/0,—/0时，必有二^=0，这时，如果不属于情形2，则a与b存在函■a'b■x,y

EVeV

数关系：

b=.（a），这里•，为任意可微函数，并从方程V（x,y,z,a,b）=O和a=0

8acb

消去a,b，可确定方程的通解.

定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内•

［特征方程•特征带•特征曲线•初积分］在一阶非线性方程：

FX「X2；,Xn，U，S，P2；,Pn=0

中，设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称

.:

xi

.:

t

2F

.:

Pi

—n

dti4

汗

Pi

g

dPi

dt

-（

-：

Xi

cF

Pi）

；u

i=1,2,,n

dx1

dx2

…dx.

du

dp1

:

F

一；:

F

tF

_n

:

F

；:

F

z

Pi

P1

P1

:

P2

:

Pn

iA

；x1

；u

dPn

?

FJF

Pn—.Xn:

:

u

为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi（t）,u=u（t）,pi=pi（t）（i=1,2,…,n）称

它为非线性方程的特征带.在x1,x2^,Xn,u空间的曲线xi=xi（t）,u=u（t）（i=1,2,…,n）称为

非线性方程的特征曲线.如果函数GX1,X2/',Xn,u,P1,P2/,Pn在特征方程的任一解Xi=Xi（t）

（i=1,2,,n）,u=u（t）,Pi=Pi（t）（i=1,2/,n）上等于常数，即

GX1t,X2t，…，Xnt,ut,P1t,P2t，…，Pnt二C

那末函数GX1,X2，…，Xn,U,P1,P2,…，Pn称为特征方程的初积分.

［求完全解的拉格朗日-恰比方法］考虑两个变量的情况.

对于方程F（x,y,z,p,q）=0，选择使雅可比式一F,G■■0的一个初积分G（x,y,z,p,q）.解方a（P,q）

程组

Fx,y,z,p,q二0

（a为任意常数）

Gx,y,z,p,q二a

得p（x,y,z,a）及q（x,y,z,a）.则方程

dz=pdx+qdy

的通解V（x,y,z,a,b）=0（b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数）就是方程F（x,y,z,p,q）=0

的完全解.

例求方程z2p2q^^x2y2的完全解.

解方程的特征方程为

dx_dy_dz_dp_dq

2z2p2z2q2z2p2q22x_2zp2q2p2y_2zx2y2q

这里成立

pdzzdpdx

xzp

所以特征方程的一个初积分为z2p2—X2.

解方程组

■2222zpq-xz2p2_x2=a

k1

（a为任意常数）

积分微分方程

得完全解

2

P=^x_

q

y2—a

dy

z2

iix+Jx2+a

xlx2+a+y£y2-a+aln；2+b（b为任意常数）

［某些容易求完全解的方程］

1仅含p,q的方程F（p,q）=0

G=p是特征方程的一个初积分.从F（p,q）=0与p=a（a为任意常数）得q='「（a），积分

dz=adx+

'■（a）dy

得完全解

z=ax+'■（a）y+b

（b为任意常数）

2不显含x,y的方程F（z,P,q）=0

特征方程为

dx_dy

dz

dp

dq

.:

p；：

q；：

p；：

q

因此qdp-pdq=0，显然G二q为一个初积分，由

P

:

F

q-

z

F（z,p,q）=0，q=pa（a为任意常数）解得

p='（z,a）.于是由

dz='■（z,a）dx+a'■（z,a）dy

（b为任意常数）

可确定完全解.

3°变量分离形式的方程瓦f（x,Pi

=0

dx-!

dXn

dz

dpi...

dPn

-:

f1

■：

fn

-:

f1

：

fn

■Pi

■Pn

.x1

xn

可取初积分Gi=fi（xi,pi）,（i=i,2

n）.从fi（Xi,p）=

Pi=i（Xi,a）

ai（i=1,2

n）解出

得完全解

n

z二'iXi,aidXib

id

式中ai,b为任意常数，且va^o.

［克莱罗方程］方程

n

Z八PiXifPi,P2；,Pni丄

称为克莱罗方程，其完全解为

n

z=迟CXi+f（C1,C2，…,Cn）

对Ci微分得

:

f

xL（i=1,2,…,n）

^C

与完全解的表达式联立消去Ci即得奇异解•

例求方程z—xp—yq—pq=0的完全解和奇异解.解这是克莱罗方程，它的完全解是

z=ax+by+ab

对a,b微分，得x=—b,y=—a，消去a,b得奇异解

z=—xy

［发甫方程］方程

P（x,y,z）dx+Q（x,y,z）dy+R（x,y,z）dz=0

（1）

称为发甫方程，如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分•如果可积分成

一关系式时，则称它为完全可积•

1方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R满足条件

P（迅q）+Q（d%+R普⑵

:

y:

z:

z:

x:

x:

:

y

时，存在一个积分因子J（x,y,z），使

dU1=巴Pdx+Qdy+Rdz）

从而方程的通解为

特别,

P二

'0时，存在一个函数U（x,y,z）满足

U1（x,y,z）=c

Q』

从而d

所以方程的通解为

U=Pdx+Qdy+Rdz

U（x,y,z）=c

所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.

定理设对于发甫方程

（1）在某区域D上的完全可积条件⑵成立，则对D内任一点

M（x,y,z）一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过.

2方程积分曲面的求法

设完全可积条件⑵成立.为了构造积分曲面，把z看成x,y的函数（设R（x,y,z）丰0），于是

原方程化为

PQ

dz=—一dx—一dy

RR

由此得方程组

—=—一三R（x,y,z）（3）

exR

孑=—Q三Q1（x,y,z）（4）

kyR

发甫方程

（1）与此方程组等价•

把方程（3）中的y看成参变量，积分后得一个含有常数c的通解

z二申（x,y;~）

然后用未知函数~y代替常数c，将z二「x,y;~y代入方程（4），在完全可积的条件下,可得~y的一个常微分方程，其通解为

~（y）=w（y,c）

c为任意常数，代回z=x,y;cy中即得发甫方程的积分曲面

z=®（x,y,屮（y,c））

x或y看成未知函数，得到同

由于发甫方程关于x,y,z的对称性，在上面的讨论中，也可把

样的结果.

例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.

1

解容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子"■二—，用它乘原方程得

xyz

积分后得积分曲面族

xy2z=c

也可把方程化为等价的方程组

&z

=——

dxx

:

yy

把y看成参变量，积分—=得通解

玫x

zx=c

用未知函数~y代替C，将zx=~y代入方程Z=工得內y

d~y_2~y

dyy

积分后有

所以原方程的积分曲面族是

xy2z=c

五、

一阶线性微分方程组

［一阶线性偏微分方程组的一般形式

ncu,

送Ajj

jm

-:

t

n

、Bj

j=1

ij

两个自变量的一阶线性方程组的形式是

n

-吃CjUj+Fi=0（i=1,2,…，n）

xj壬

'bjUjfi^0i=1,2,…,n

jw

主.J

其中Aj,Bj,Cij,Fi，aij,bij,fi是（x,t）的充分光滑函数.［特征方程•特征方向•特征曲线］

i=j

i=j

dx称为该点的特征方向•如果一条

dt

dx

1,

de©-、j）=0,卄

dt

称为方程组

（1）的特征方程.在点（x,t）满足特征方程的方向

曲线I,它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线I为特征曲线•

［狭义双曲型方程与椭圆型方程］如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向，那末称方程组在D内为狭义双曲型的•

如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D内为椭圆型的•

［狭义双曲型方程组的柯西问题］

1化方程组为标准形式——对角型

因为det（aj-、齐）=0有n个不同的实根M（x,t）/,.n（x,t），不妨设

■!

（X,t）：

：

：

'2（X,t）：

-n（X,t）

那末常微分方程

ix,ti=1,2,,ndt

的积分曲线li（i=1,2，…,n）就是方程组

（1）的特征曲线.方程

n

—-Sij—■■■'■^ij'k=0

i日

的非零解（，k⑴，…，■占））称为对应于特征方向“的特征矢量•作变换

n

vi=''Juji=1,2,…，n

j二

可将方程组化为标准形式——对角型

'ix,t'為ajx,tVj「x,ti=1,2，…，n

.t:

xj1

所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组

（1）如在区域D内通过未

知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，（此时不一定要求行都不相同），就称这样

的微分方程组在D内为双曲型的•

2对角型方程组的柯西问题

考虑对角型方程组的柯西问题

I

n

_ViVi

—-ix,t——二'ajx,tVjix,t

H:

xj毘i=1,2「，n

［vi（x,0）=%（x）

i（x）是［a,b］上的连续可微函数.设:

-j,<,'i在区域D内连续可微，在D内可得相应的积分方程组

_n1

Vix,t=iXiI”6jVjidti=1,2,,n

=i」#」

式中li为第i条特征曲线li上