数一真题试题+答案.docx
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数一真题试题+答案
2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题
只有一个选项符合
一、选择题：
1～10小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中题目要求,请将所选项前的字母填在答题．纸．．指定位置上．
（1）当x0时,与x等价的无穷小量是（）
（A）1ex.（B）ln1x.（C）1x1.（D）1cosx.1x
答案：
（B）.
（2）曲线y1ln（1ex）渐近线的条数为（）
x
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.
答案：
（D）.
（3）如图,连续函数yf（x）在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区
间2,0,0,2上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F（x）f（t）dt,则下列结论正确
的是（）
5
F（3）F
（2）.
4
5F（3）F
（2）.
4
3
（A）F（3）F
（2）.（B）
4
3
（C）F（3）F
（2）.（D）
4
答案：
（C）.
（4）设函数f（x）在x0处连续,则下列命题错．误．的是（）
（A）
若limx
f（x）存在,则f（0）0.
0x
（B）
若lim
x0
f（x）f（x）存在,则f（0）0.x
（C）
若lim
f（x）存在,则f（0）存在.
（D）
若lim
f（x）f（x）存在,则f（0）存在
x
0x
x0
x
答案：
（D）.
（5）设函数
f（x）在（0,）上具有二阶导数
且f（x）0,令un
f（n）（n1,2,）,则下列结论正
确的是（
）
（A）
若u1
u2,则un必收敛.
（B）
若u1
u2,则un必发散.
（C）
若u1
u2,则un必收敛.
（D）
若u1
u2,则un必发散.
答案：
（D）.
（6）设曲线L:
f（x,y）1（f（x,y）具有一阶连续偏导数）,过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分小．于．零．的是（）
（A）f（x,y）dx.（B）f（x,y）dy.
（C）f（x,y）ds.（D）fx（x,y）dxfy（x,y）dy.
答案：
（B）.
（7）设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组线性．相．关．．的是（）
（C）122,223,321.（D）122,223,321.
每次射击命中目标的概率为p（0p1）,则此人第4次射击恰
答案：
（A）.
21
1
1
0
0
（8）设矩阵A12
1
B0
1
0
则A与B（）
11
2
0
0
0
（A）
合同,且相似.
（B）
合同,但不相似.
（C）
不合同,但相似.
（D）
既不合同,也不相似
答案：
（B）.
（9）某人向同一目标独立重复射击
好第2次命中目标的概率为（）
答案：
（C）.
（10）设随机变量（X,Y）服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX（x）,fY（y）分别表示X,Y的概率
fX（x）fY（y）
密度,则在Yy条件下,X的条件概率密度fXY（xy）为（）
（A）fX（x）.（B）fY（y）.（C）fX（x）fY（y）.（D）答案：
（A）.
二、填空题：
11～16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题．纸．．指定位置上
12x13exdx
1x
答案：
（12）设f（u,v）为二元可微函数,zf（xy,yx）,则x
答案：
zyxy1yxx
xf1（xy,yx）yxy1f2（xy,yx）yxlny
（13）二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：
非齐次线性微分方程的通解为yC1exC2e3x2e2x.
（14）设曲面:
xyz1,则（xy）dS.
答案：
（xy）dSydS433.
33
0100
00103
（15）设距阵A,则A3的秩为.
0001
0000
答案：
rA31.
1
（16）在区间（0,1）中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为.
2
3
答案：
3.
4
三、解答题：
17～24小题,共86分.请将解答写在答题．纸．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分11分）
求函数f（x,y）x22y2x2y2,在区域D（x,y）x2y24,y0上的最大值和最小值.答案：
函数在D上的最大值为f（0,2）8,最小值为f（0,0）0.
（18）（本题满分10分）
2
计算曲面积分Ixzdydz2zydzdx3xydxdy,其中为曲面z1x2y（0z1）的上侧.
答案：
I.
（19）（本题满分11分）
设函数f（x）,g（x）在a,b上连续,在（a,b）内二阶可导且存在相等的最大值,又f（a）＝g（a）,f（b）＝g（b）,证明：
存在（a,b）,使得f''（）g''（）.
证明：
设（x）f（x）g（x）,由题设f（x）,g（x）存在相等的最大值,设x1（a,b）,x2（a,b）使f（x1）maxf（x）g（x2）maxg（x）.
[a.b][a.b]
若x1x2,即f（x）与g（x）在同一点取得最大值,此时,取x1,有f（）g（）；
若x1x2,不妨设x1x2,则（x1）f（x1）g（x1）0,（x2）f（x2）g（x2）0,且
（x）在a,b上连续,则由零点定理得存在（a,b）,使得（）0,即f（）g（）；
由题设f（a）＝g（a）,f（b）＝g（b）,则（a）0（b）,结合（）0,且（x）在a,b
上连续,在（a,b）内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：
存在1（a,）,2（,b）,使得
（1）＝0,
（2）0.
在[1,2]再由罗尔定理,存在（1,2），使（）0.即f（）g（）.
（20）（本题满分10分）
设幂级数anxn在（,）内收敛,其和函数y（x）满足y2xy4y0,y（0）0,y（0）1.n0
2
（I）证明an2an,n1,2,.
n1
（II）求y（x）的表达式.
答案：
（I）证明：
对yaxnn,求一阶和二阶导数,得ynanxn1,yn（n1）anxn2,
n0n1n2
代入y2xy4y0,得n（n1）anxn22xnanxn14anxn0.
n2n1n0
即（n1）（n2）an2xn2nanxn4anxn0.
n0n1n0
2a24a002
n1,2,,从而an2an,n1,2,.
（n1）an22an0,n2n1n
2
（II）yxex.
（21）（本题满分11分）
x1x2x30
x12x2ax30
（1）与方程x12x2x3a12
x14x2ax30
值及所有公共解.
方程组
（1）与
（2）的公共解.
（2）的公共解.
（22）
（本题满分11分）特征向量.记BA54A3E,其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量；
（II）求矩阵B.
答案：
（I）由A11,可得Ak1Ak1（A1）Ak111,k是正整数,则
B1（A54A3E）1A514A31E1141121,
于是1是矩阵B的属于特征值12特征向量.
所以B的所有的特征向量为：
对应于12的全体特征向量为k11,其中k1是非零任意常
数,对应于231的全体特征向量为k22k33,其中k2,k3是不同时为零的任意常数
200011（II）BP010P1101.
001110
（23）（本题满分11分）
2xy,0x1,0y1,设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）
0,其他,
（I）求PX2Y；
（II）求ZXY的概率密度fZ（z）.
答案：
1
1x1527
（I）PX2Y0dx02（2xy）dy0（xx2）dx.
0824
2zz2,
（II）fZ（z）z24z4,
0,
（24）（本题满分11分）
0z1,
1z2,
其他.
设总体X的概率密度为f（x;）
1,
2,
1
x1,其中参数（01）未2
（1）
0,其他
知,X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值
（I）求参数的矩估计量；
22
（II）判断4X是否为2的无偏估计量,并说明理由.答案：
1
（I）2X；
2
2
（II）只须验证E（4X）2是否成立即可.
22212
E（4X）4E（X）4（DX（EX）2）4（DX（EX）2）,n
11212
E（X）,E（X2）（122）,
426
22512
D（X）E（X2）（EX）22,
481212
代入得E（4X2）53n3n13n122,所以4X2不是2的无偏估计量
12n3n3n
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