全国二卷理科数学高考真题及答案解析.docx
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全国二卷理科数学高考真题及答案解析
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2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=（m+3）+（m–1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A．（–3,1）B．（–1,3）C．（1,+∞）D．（–∞3,）–
2、已知集合A={1,2,3}，B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}，则A∪B=（）
A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{–1,0,1,2,3}
3、已知向量a=（1,m），b=（3,–2），且（a+b）⊥b，则m=（）
A．–8B．–6C．6D．8
4、圆x
2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=（）
4
3
A．–
3
4
B．–
C．3D．2
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活
动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A．24B．18C．12D．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20πB．24πC．28πD．32π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
12
kππkππkπkπ
ππA．x=–
–（k∈Z）D．x=+（k∈Z）
（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=
2626212212
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的
x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）
A．7B．12C．17D．34
π3
，则sin2α=（）
9、若cos（–α）=
45
7
A．
25
B．
1
5
1
C．–
5
7
D．–
25
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，⋯，xn，y1，y2，⋯，yn，构成n个数对（x1,y1），（x2,y2），⋯，（xn,yn），其
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中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
4n
m
A．
2n
m
B．
C．
4m
n
D．
2m
n
22
xy1
11、已知F1、F2是双曲线E：
2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=
2–,则E的离心
ab3
率为（）
3
A．2B．
2C．3D．2
x+1
与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），...（xm,ym），则
12、已知函数f（x）（x∈R）满足f（–x）=2–f（x），若函数y=
x
m
（xy）（）
iii1
A．0B．mC．2mD．4m
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分
45
，cosC=，a=1，则b=___________．13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=
513
14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。
（3）如果α∥β，m?
α，那么m∥β。
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________（填写所有正确命题的编号）。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我
的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=__________．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本题满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。
记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大
整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（1）求b1，b11，b101；
（2）求数列{bn}的前1000项和．
18、（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数01234≥5
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
[]
一年内出险次数01234≥5
概率0.300.150.200.200.100.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD
5
上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．
4
（1）证明：
D'H⊥平面ABCD；
（2）求二面角B–D'A–C的正弦值．
22
xy
20、（本小题满分12分）已知椭圆E：
3=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，
t+
M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
x–2
x的单调性，并证明当x>0时，（x–2）ex+x+2>0；
21、（本小题满分12分）
（1）讨论函数f（x）=e
x+2
x
e–ax–a
（2）证明：
当a∈[0,1）时，函数g（x）=2（x>0）有最小值。
设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
x
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
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22、（本小题满分10分）[选修4–1：
几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上（不与端
点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（1）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、（本小题满分10分）[选修4–4：
坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是
x=tcosα
y=tsin（αt为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．
1
24、（本小题满分10分）[选修4–5：
不等式选讲]已知函数f（x）=|x–|+|x+
2
1
2
|，M为不等式f（x）<2的解集．
（1）求M；
（2）证明：
当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
参考答案
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1、解析：
∴m+3>0，m–1<0，∴–32、解析：
B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}={x|–13、解析：
向量a+b=（4,m–2），∵（a+b）⊥b，∴（a+b）b·=10–2（m–2）=0，解得m=8，故选D．
|a+4–1|
4、解析：
圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：
（x–1）2+（y–4）2=4，故圆心为（1,4），d=
2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：
（x–1）2+（y–4）2=4，故圆心为（1,4），d=
a
2+1
4
=1，解得a=–，
3
故选A．
5、解析一：
E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．
21解析二：
由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C3条路，则小明到
4条路，再从F处到G处最短共有C
21
老年公寓可以选择的最短路径条数为C
4·C3=18条，故选B。
6、解析：
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．
1
2+（23）2=4，S2+ch+
表=πrcl=4π+16π+8π=，28故π选C．由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：
l=2
2
7、解析：
由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移
πππ
个单位得y=2sin2（x+
12
12）=2sin（2x+6），则平移后函数的对
ππkπ
π
称轴为2x+，k∈Z，故选B。
6=2+kπ，k∈Z，即x=6+
2
8、解析：
第一次运算：
s=0×2+2=，2第二次运算：
s=2×2+2=，6第三次运算：
s=6×2+5=1，7故选C．
π3π7
π
9、解析：
∵cos（–α）=–2α）=2cos–α1）=–
2（
，sin2α=cos（，故选D．
452425
π3
解法二：
对cos（
–α）=
展开后直接平方
45
解法三：
换元法
10、解析：
由题意得：
（xi,yi）（i=1，2，3，...，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中
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由几何概型概率计算公式知
π4/m4m
=，∴π=
，故选C．
1nn
22
F1F2F1F2sinM
，由正弦定理得e=
11、解析：
离心率e=MF2–MF1=
sinF1–sinF2=
MF2–MF1
3
1
1–
3
=2．故选A．
x+11
也关于（0,1）对称，12、解析：
由f（–x）=2–f（x）得f（x）关于（0,1）对称，而y=
x=1+
x
∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2，
∴
mmm
m
xyxy02m，故选B．
iiii
i1i1i1
2
45
，cosC=
13、解析：
∵cosA=
513
31263
，sinA=，sinC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
51365
，
由正弦定理：
ba21
，解得b=
．
sinB=
sinA13
14、解析：
对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n//，所
以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，
由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
15、解析：
由题意得：
丙不拿（2,3），若丙（1,2），则乙（2,3），甲（1,3）满足；若丙（1,3），则乙（2,3），甲（1,2）不满足；
故甲（1,3），
1
16、解析：
y=lnx+2的切线为：
y=·x+lnx1+1（设切点横坐标为x1）
x1
1x2
y=ln（x+1）的切线为：
y=2+1）–，∴
x2+1·x+ln（x
x2+1
11
=
x1x2+1
x2
lnx1+1=ln（x2+1）–
x2+1
11
解得x1=，x2=–。
∴b=lnx1+1=1–ln2．
22
a4–a1
17、解析：
（1）设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+（n–1）d=n．
3
∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．
（2）记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．
当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgna<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgna<3时，n=100，101，...，999；
当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1．=1893
18、
（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P（A）=1–P（A）=1–（0.30+0.15）=0.55．
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P（AB）0.10+0.053
（2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P（B|A）===．
P（A）0.5511
⑶解：
设本年度所交保费为随机变量X．
X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
P0.300.150.200.200.100.05
平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05，=1.23a
∴平均保费与基本保费比值为1.23．
5
19、解析：
（1）证明：
如下左1图，∵AE=CF=
，∴
4
AECF
，∴EF∥AC．
AD=
CD
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．
AE
∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=
AO·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|
2
=|OH|
2
+|D'H|
2
，∴D'H⊥OH．
又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．
5515
，AD=AB=5，∴DE=5–
，
（2）方法一、几何法：
若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=4=
44
∵EF∥AC，∴
DEEHDH15/4399
，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1，
====
ADACOD5442
2=OD’2+OH2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH，
∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足HD’
即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’A–BCFE的高．
9
（
2+6）×1
1（EF+AC）O·H12169
底面五边形的面积S=
2×ACO·B+4=
2=2×6×4+2=12+，
4
1169232
则五棱锥D’A–BCFE体积V=
3S·OD’=
3×
4×22=．
2
方法二、向量法。
建立如下左2图坐标系H–xyz．B（5,0,0），C（1,3,0），D'（0,0,3），A（1,–3,0），
∴向量AB=（4,3,0），AD'=（–1,3,3），AC=（0,6,0），
设面ABD'法向量n1=（x,y,z），由
n1·AB=0
n1·AD'=0
得
4x+3y=0
，取
–x+3y+3z=0
x=3
y=–4
，∴n1=（3,–4,5）．
z=5
同理可得面AD'C的法向量n2=（3,0,1），
|n1·n2|
∴|cosθ|=
|n1||n2|
|9+5|75295
，∴sinθ=
。
==
2525
52·10
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xy
20、解析：
（1）当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为（–2,0），则直线AM的方程为y=k（x+2）．
43
2）x2+16k2x+16k2–12=0。
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+4k
22
8k–68k–612
解得x=–2或x=–
2，则|AM|=1+k2+2|=1+k
2|–2
·2。
3+4k3+4k3+4k
11212
22
∵AM⊥AN，∴|AN|=1+（–
k）=1+k·
·
14
2
3+4·（1–）3|k|+
k|k|
。
1212
222
∵|AM|=|AN|，k>0，∴1+k，整理得（k–1）（4k
·2=1+k·
–k–4）=0，
3+4k4
3k+
k
2
4k–k+4=0无实根，∴k=1．
1
所以△AMN的面积为
|AM|
2
2=1122=144
（1+1·）2=1122=144
．
23+449
（2）直线AM的方程为y=k（x+t），
2
ttk–3t22222
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+tk
）x+2ttk
x+tk–3t=0。
解得x=–t或x=–2，
3+tk
2
ttk–3t6t6t222
∴|AM|=1+k
|–2+t|=1+k2，∴|AN|=1+k
··
3+tk3+tkt
3k+
k
2
6t6t6k–3k22
∵2|AM|=|AN|，∴2·1+k，整理得，t=
2=1+k．··3
3+tktk–2
3k+
k
∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即
2
6k–3k
>3，整理得
3
k–2
（k
2+1）（k–2）
<0，解得
3
k–2
3
2x–2x–24x
2ex
x，∴f'（x）=ex（
21、解析：
（1）证明：
f（x）=x+2ex+2+
2）=2。
（x+2）（x+2）
∵当x∈（–∞,2–）∪（–2,+∞）时，f'（x）>0，∴f（x）在（–∞,2–）和（–2,+∞）上单调递增。
∴x>0时，
x–2
xx
x+2e
>f（0）=–1，∴（x–2）e+x+2>0。
x–2x2x
xx+ax+2a）
（x+2）（·e
x+a）
（e–a）x–2x（e–ax–a）x（xe–2ex+2
（2）g'（x）=4=4=3，a∈[0,1）。
xxx
x–2
x的值域为（–1,+∞），只有一解．使得t–2
t
由
（1）知，当x>0时，f（x）=
x+2e
t+2
·e=–a，t∈（0,2]。
当x∈（0,t）时g'（x）<0，g（x）单调减；当x∈（t,+∞）时g'（x）>0，g（x）单调增
t–2
ttt+（t+1）
e·e
t+（t+1）
t
e–a（t+1）t+2e
h（a）=2=2=
ttt+2
。
tt2
ee（t+1）1e
记k（t）=，在t∈（0,2]时，k'（t）=
2>0，∴k（t）单调递增，∴h（a）=k（t）∈（2,
4]．t+2（t+2）
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DFCF
22、解析：
（1）证明：
∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。
DGBC
∵DE=DG，CD=BC，∴
DFCF
。
∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。
DG=
BC
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=18°0．∴B，C，G，F四点共圆．
（2）∵E为AD中点，AB=1，
1
∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S
2
111
四边形BCGF=2S△BCG=2×2×12×=
．
2
23、解：
（1）整理圆的方程得x
2+y2+12x+11=0，
2=x2+y2、ρcosθ=、xρsinθ=可y知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11．=0由ρ
（2）记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，
由垂径定理及点到直线距离公式知：
|–6k|
2=25–（
1+k
2
10
2，即36k905
2
，整理得k，则k=±
1+k432）2==
15
3
．
111111111
时，f（x）=时，f（x）=时，f（x）=2x，
；当–
24、解析：
（1）当x<–2–x–x–2=–2x，若–1
2222
1
若f（x）<2，
2222b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则（ab+1）2>（a+b）2，即
（2）当a，b∈（–1,1）时，有（a–1
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