小学数学教学专题讲座在小学数学教学中数学思想方法的渗透解析.docx
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小学数学教学专题讲座在小学数学教学中数学思想方法的渗透解析
新课程小学数学教学专题系列讲座
在小学数学教学中数学思想方法的渗透
主讲人金华小学教师：
羊华
《数学课程标准》中明确提出：
“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。
”为了有效落实这一总体目标，我们应该系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。
数学教材体系有两条基本线索：
一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。
小学数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见数学思想方法的渗透和应用。
因此，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。
数学思想方法，就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是解决数学问题的灵魂和根本策略。
下面结合课堂实践，谈谈数学思想方法的渗透。
一、小学数学教学为什么要渗透数学思想方法？
1、渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求。
数学课程标准修订稿把“四基”：
基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。
基本思想是数学学习目标之一，其重要性不言而喻。
新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。
从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。
2、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义。
美国将“学会数学思想方法”作为“有数学素养”的标志。
俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三大基本功任务之一。
日本著名数学教育家米山国藏指出：
“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。
”国内在初中、高中的数学教学中进行数学思想方法的教学已有深入的研究，并且成果显著。
数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。
在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。
不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。
3、有利于提高教师专业素质、提高教师教学水平。
新课标把数学基本思想作为“四基”之一，对教师提出了更高的要求，一方面是教师关于数学思想方法的专业知识方面的欠缺，另一方面是课堂教学中应该具备的数学思想方法的意识、经验、策略等的不足。
二、新教材渗透了哪些数学思想方法？
1、教材内容与蕴含的数学思想方法
新教材注重贯彻四基目标，其中数学思想的编排主要体现在两个方面：
一是在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四个领域结合各部分知识体现各种数学思想；二是在每册教材中单独设置“数学广角”单元，利用操作和直观呈现重要的数学思想。
小学数学思想主要有哪些？
基本的数学思想有三个：
抽象思想、推理思想、模型思想，这三个基本思想分别对数学学科的建立、发展和应用起到了重要作用。
抽象思想派生发展出符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、，有限与无限思想、变中有不变思想。
推理思想衍生出公理化思想、归纳推理、类比推理、演绎推理、化归思想，变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想。
模型思想发展出简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想，随机思想、统计思想。
2、教材中渗透数学思想的内在联系
通过梳理整套小学数学教材，我们可以更深入准确地把握体系中各个知识点之间的联系，从中不难发现：
教材编排的特点是从注重具体形象思维逐步过渡到注重抽象思维，很多数学思想方法也是螺旋上升、逐步深入的。
各个内容之间存在一定的联系，准确把握各册教材的联结点有助于解读教材。
例如我们对新教材五上的数学思想方法进行了解读：
（1）符号化思想：
第二单元位置，用有序的数对（a,b）表示平面上的位置；第三单元小数除法，循环小数用特定的符号表示。
第五单元简易方程，用字母表示数、数量关系，用字母表示未知数后，才有了方程的简洁明了、国际通用的表示法。
符号化思想在一年级就已经开始向学生渗透了，到高年级应用较广泛。
（2）分类思想：
第三单元小数除法，两个数相除，让学生计算几个算式，引导学生思考商的情况可分为两种：
商是整数和小数，商是小数的情况又可以分为两种：
有限小数和无限小数。
其它各年级也都有分类思想的内容。
（3）对应思想：
第二单元位置，一个有序数对（a,b）对应平面上一个点，数a对应横轴上一个点，数b对应纵轴上一个点。
第七单元植树问题，108页例3是关于封闭路线的植树问题，间隔数与棵树一一对应。
一年级常用的数数是对应的思想指导。
（4）变中有不变的思想：
商不变的规律，等式的性质，多边形的面积中的图形转化，形状变了面积不变，等底等高的平行四边形、三角形形状不同面积相等。
其它各册教材也常见到这一思想。
（5）归纳法：
乘除法的计算方法，循环小数的定义，用方程解决问题的步骤，多边形的面积公式推导过程，这些内容训练学生归纳思想。
（6）类比法：
小数的乘、除法与整数的乘、除法计算的方法既有相同之处，又有不同之处，其四则运算顺序一致。
（7）演绎推理思想：
估算实际上就是在推理，在估算类似于买东西钱够不够时作调整要进行推理；多边形的面积公式推导中要进行推理，练习中的一些题目必须通过推理解决。
（8）转化思想：
小数的乘法转化成整数的乘法计算后，再去确定小数点的位置；除数是小数的除法转化成除数是整数的除法求商。
多边形的面积，总体上运用了转化，把新的图形转化为已经学过的图形计算面积，具体方法是平移和旋转。
组合图形分割成已经学过的图形再计算。
（9）数形结合思想：
位置中运用了坐标图，简易方程中用天平图作为直观手段，解决问题中利用画线段图帮助学生理解数量关系，多边形的面积一章图示结合最常见；植树问题较抽象，化抽象为直观通过画线段图作为直观手段帮助学生理解各种类型的问题，以形助数。
在低年级数形结合的思想更广泛。
（10）几何变换的思想：
多边形的面积一章中，平行四边形经过分割平移后转化成面积相等的长方形来计算，利用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形时用平移旋转的方式变换转化。
（11）模型思想：
用字母表示数或数量关系，都是数学模型，引导学生探索得到的面积公式即数学模型，我们更关注建模的过程。
七单元中的植树问题，知识比较抽象、情况比较多变，可以从一个基本模型出发，封闭路线的植树问题里，间隔数与植数的棵树一一对应，把这个问题作为所有植树问题的核心模型，即全长÷间隔间的距离=间隔数，间隔数＝棵树，相当于在路的一旁栽树，一端栽一端不栽，其它类型的问题都可以看作由此发展来的，并相应调整模型。
（12）方程思想：
关于方程的描述为表示把未知数像已知数一样，同时参与构建的相关数量关系的相等关系。
这样就把方程看成了动态的数量之间的关系，有利于运用方程解决实际问题；而不是重点关注一个静态的等式是不是方程。
关于逆向思考的问题，方程是解决这类问题的好办法。
（13）函数思想：
打车计费、停车场计费、61页的10题用小棒摆正方形之类的问题体现分段函数的思想，76页的10题关于华氏温度与摄氏温度的换算是典型的一次函数，可以任意给出一些数据进行计算，体会变量之间的关系。
（14）随机思想：
第四单元可能性，让学生体会生活之中有些事件是确定的，就是一定会发生或不可能发生的，都是确定事件。
有些事件是不确定的，如在唱歌、跳舞、朗诵三张卡片中，抽一张卡片，是哪一张是随机的。
在一些随机事件中，可能性有大有小，有些随机事件表面毫无规律，但经过大量的数据统计后，就会表现出规律性，学生还要体会到随机事件的特点之一是：
可能性大的事件不是一定发生，可能性小的事件不是一定不发生。
另外在小数的乘、除法与整数的乘、除法进行比较时采用的比较差异法，讨论找出两者相同点与不同点，有利于学生明确地掌握计算方法步骤；在一些练习题中还渗透了分析法和综合法、穷举法等等。
三、如何有效地渗透数学思想方法？
1、以数学思想方法渗透为核心，把握目标定位
教学目标是课堂教学的灵魂，它既是教学的出发点，又是教学的归宿。
因此，教学目标的制定是否恰当，直接决定着教学过程中目标的达成度，也将直接决定一堂课的教学效果。
《标准》指出：
“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。
”数学思想方法属于默会知识，学生在短时间内，是不可能全部掌握的。
需要长期的渗透和不断的体验来感悟。
所以，教师要根据学生的年龄特征与认知规律，分段加以落实，有机进行渗透，不能过高地定位教学目标。
那么如何准确地进行教学目标定位呢？
首先，从教学目标的把握来看，应定位于通过数学教学活动，让学生感受基本数学思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。
因为数学课堂教学是面向全体学生的，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。
其次，从教学目标的分解上看，还要照顾到个别差异，体现教学目标的层次性。
学生学习起点、个性差异的不同，要求我们在教学中处理好面向全体与关注差异的关系，确保每个学生都有所收获，真正做到“下要保底，上不封顶”。
显然，立足于数学思想方法的目标定位，必然要求教师充分地挖掘和理解教材中所体现的数学思想方法，在教学时注重让学生通过观察、比较、分析，感悟数学思想方法的魅力。
2、以数学思想方法引路，整合教学资源。
作为课程资源的开发者，教师应合理取舍教学素材，整合教学资源。
即结合教学内容和课程目标自觉地选择和整合课程资源，使课程内容与学生的数学教学活动结合得更加紧密，更能体现数学思想方法的渗透和熏陶。
（1）关注“教材”是否适合于你的课堂
教材不可能把所有的问题都设计得十全十美，也不可能考虑到所有学生的情况，难免有些题材脱离学生的实际。
因此，教师要突破教材的束缚，创造性地使用教材，挖掘其中潜在的价值，要善于从学生的实际出发对教材内容的呈现方式、编排顺序等方面进行适当的调整和改变，变“教教材”为“用教材教”。
例如，在二年级下册“找规律”主题图的处理上，把教材第2幅地板图案作为主要素材来教学，分步呈现主题图，而且对主题图进行二次利用。
这样安排，给了学生充分的探究空间，将原先处于同一层次上的两幅图，变为不同层次，有利于学生进一步发现规律，巩固规律。
（2）关注“人材”意识是否到位。
“人材”意识主要表现在教师关注学生的知识基础、认知特点、兴趣爱好、情感态度等因素，围绕渗透数学思想方法的主线，从达成教学目标的角度去搜寻“素材”，善于观察学生，读懂学生，从学生的角度去研读教材，把握好处理教材的“度”。
例如教学《重叠问题》一课，为了重组教材，从学生的生活实际和兴趣出发，可以把“你最喜欢的运动项目”“你喜欢的电视节目”等素材的调查结果作为研究材料。
（3）关注“素材”是否进行梳理提升
同样的素材，如果平均使用力量，或者缺少提炼，教学价值可能不能得到充分体现。
学习材料应该体现层次性与发展性，需要有序组合，需要在巩固运用中梳理提升，提炼数学思想方法，这样才能充分发挥数学教材的教育价值。
例如：
人教版三上“搭配的学问”练习设计，安排了“午餐问题”、“游园路线问题”、“破译密码”等情境。
梳理教材练习，每一个问题情境均有目标重心，如：
午餐问题从原来的“二三搭配”拓展为“三三搭配”，起到举一反三的作用。
游园路线问题则侧重于“符号思想”的应用，让学生思考“如何可以更清楚地表达路线”。
“破译密码”问题由“这密码是由三个数字7、8、9组成的一个三位数，猜一猜可能是哪个密码”入手，突出“有序思考”解决问题的意识。
可见，教学中始终把培养学生有序思考的习惯、渗透符号化思想放在首位，发挥每个素材的独特功能，促进学生实现知识的完整建构与学习水平的有效提升。
3、以活动体验为基本形式，感悟数学思想
数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性知识，它比数学知识更抽象。
因此，需要为学生设计一些生动、有趣的数学活动，在活动中展开观察、操作、实验、猜测、推理与交流，充分感悟数学思想方法的奇妙与作用。
那么，我们在设计活动时该如何关注数学思考呢？
首先，注重体验感悟，逐步抽象。
数学教材中的教学难点在于如何让学生在直观的问题解决中感悟其中抽象的数学思想方法。
解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。
因此，在教学过程中，我们应该创设学生感兴趣的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程中来，让学生根据自己的体验，逐步领悟数学思想方法。
因此，在教学过程中我们要避免只有直观、没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。
而应引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，从直观的问题解决达到渗透抽象的数学思想方法之目的。
其次，利用数形结合，发展思维。
著名数学家华罗庚说过：
“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
由此可见，教师在教学过程中要经常利用实物、教具、图表、生活经验、幽默语言等直观教学手段来帮助学生理解数学思想方法，提高学习效率。
例如：
第十册“找次品”，利用列表、画图等方式帮助学生形象地分析如何找次品等。
如果用语言描述和绘制简单天平示意图的方式表示找次品过程，当遇到使用天平次数较多时，表述起来十分麻烦。
“繁”则思变，笔者引导学生采用以下树形图来表示（图1）。
用小括号代替了“把物品分成几份，每份分别是几”的叙述；同时还吸收了箭头示意图的优点，用两个分支表示称得的不同结果；在两个数字下以划线的方式代表“将这两堆物品分别放在天平两边”，这样既减少了文字，又方便最后统计次数。
每种情况，最后只需数一数共划了多少条横线即可，既准确、形象，又使图示更具有数学味，也更简洁。
平2（1，1）3次
不平2次
平2次
不平2次
平4（1，1，2）
不平3（1，1，1）
10（3，3，4）
图1：
“找次品”分析树形图
4、以解决问题为基本模式，培养应用意识
从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透不是立竿见影的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。
而这需要教师做这一“过程”的引领者，不断用数学思想锤炼学生的思维、让学生在一次次的锤炼过程中，不断地反思、不断地积累、不断地感悟，直到最后能主动应用。
因此在数学教学中，不断在课堂还是课外都应该关注问题解决的一般过程，培养学生应用数学思想方法解决问题的策略，更应该在问题解决之后进行“反思”，在此过程中体会数学思想方法和应用价值。
例如：
五年级上册“植树问题”第一课时的回顾反思环节。
植树问题教学中，例1的“两端都种”是重点教学内容，而这一教学内容的关键落脚点在于教师要密切关注学生对“间隔”概念的理解，它是解决植树问题的基础和起点。
1.直观体验“间隔”
师：
请同学们伸出手张开手指，看到了什么？
生：
5个手指，4个空。
师：
这4个“空”就是4个“间隔”。
3个、2个手指之间各有几个“间隔”？
师：
刚才找手指数和间隔数，你发现了什么？
（手指数比间隔数多1，或间隔数比手指数少1。
）
通过学生的亲身体验与感悟，以人人都有的手为素材，引导数柱子与间隔，让学生初步感知间隔，感知间隔数与手指数的关系，再创设设计植树方案，让学生进一步在动手活动中加深了间隔的含义，渗透“棵数与间隔”的一一对应思想。
2、建构模型，渗透数形结合思想
数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学知识应用于实际问题的过程。
教学时，谢老师以较小的20米作为全长，便于引导学生以画线段图的方法，逐步抽象建构数学模型。
1.出示情境
同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。
一共需要栽多少棵树苗？
师：
从题中你获得了哪些数学信息？
生：
（略）
师：
20米指的是什么？
“每隔5米栽一棵”又是什么意思？
生：
20米指全长，“每隔5米栽一棵”就是两棵树之间的间隔是5米。
2.数形结合，建构模型
师提示：
在线段图上“种一种”，用“∣”表示小树，用“―”表示两棵小树之间的间隔，画一画这条小路上一共可以栽几棵树？
你能试着列式解答吗？
交流汇报：
（画线段图）
根据学生反馈，教师板书：
20÷5=4（个）4+1=5（棵）
全长÷间隔间的距离=间隔数
两端都种：
间隔数+1=棵数棵数-1=间隔数
借助直观形象的图形来解决此问题，是学生建构知识的有效中介。
根据学生的年龄特征和实际认知水平，利用线段图，化抽象为具体，图示对应使学生的思维发展有了有效凭借，同时也使数学思想方法得以有效落实。
3、解决问题，渗透化归思想
化归思想，在小学数学学习过程中比比皆是，运用和掌握这种思想方法本身就成为学生的数学能力之一。
植树问题的教学中，化归思想更应该得以充分体现。
在让学生感受了植树问题的解决策略后，设计由植树问题变式的问题进行拓展，如装路灯问题、挂灯笼、列队做操、画跑道、插彩旗等，让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。
在让学生探究获得“两端都栽”的植树问题的基础上，教师再引导学生联系生活实际解决问题，深化拓展植树问题，进一步激发学生的探究兴趣。
利用课件，转化呈现出不同的问题情境，引导学生去深入探究，运用数学模型解决问题。
植树问题中转化思想的渗透，主要体现在“由解决基本问题的‘线’转化到能解决相关问题的‘面’来研究”，从而不断调整数学模型建构新的模型，培养学生的创新思维能力。
简言之，通过植树问题的教学，在学生分析、理解、运用“对应”、“数形结合”、“化归”、“转化”等数学思想方法的基础上，引导学生懂得：
可以把复杂的植树问题，转化为简单的植树问题，逐步发现隐含于不同情境中的规律，充分体验数学思想方法在解决问题的运用。
这样的植树问题教学，我觉得更会有效。
为让学生体验到“复杂问题简单化”的思想方法，光靠体验感悟，学生恐怕还是印象不深，为此，在尝试解决问题基础上，组织学生回顾反思学习过程，设计策略性的问题，将“明确问题——探究规律——建立模型——解决问题”的思维过程以图文结合的方法清晰地展现出来，并且将研究植树问题中蕴涵的数学方法和策略直观呈现，以利于强化学生的认知，拓展解决问题的策略和方法，形成策略意识。
问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。
不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的渗透和建立。
“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。
”（张奠宙）要真正发挥数学教材渗透数学思想方法的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升；深入研读教材，提高思想方法渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展，进而提高学生的数学文化素养。
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