求动点的轨迹方程.docx
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求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：
求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：
直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
P的坐标（x,y）满足的关系式。
求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点
1.直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；
（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆C:
动点M到圆C的
切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
解：
设动点M（x,y），直线MN切圆C于N。
依题意：
，即
而，所以
22
MQMO1
（x-2）+y二x+y-1
化简得：
x=。
动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几
何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：
动圆M过定点P（-4,0）,且与圆C:
相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：
设M（x,y），动圆M的半径为r
xxM与圆C相外切，
则有
1MCI=r+4
xxM与圆C相内切，
则有
IMCI=r-4
而1MP二r,所以
MCI-IMPI=±
动点M到两定点P（-4,0）,C（4,0）的距离差的绝对值为4,所以动点
M的轨迹为双曲线。
其中a=2,c=4。
动点的轨迹方程为：
412
3.相关点法
若动点P（x,y）随已知曲线上的点Q（x,y）的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。
这种方法称为相关点法。
例题：
已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：
设M（x,y）,A（）,依题意有：
x=,y=
贝卩：
x=2x-4,y=2y-3,因为点A（）在圆上，所以
（2x4）2（2y3）24
点M的轨迹方程为：
（x2）2（yI）21
动点M的轨迹为以（2,）为圆心，1为半径的圆。
4.参数法
例题：
已知定点A（-3,0）,MN分别为x轴、y轴xx的动点（MN不重合），且，点P在直线MNxx。
求动点P的轨迹C的方程。
丫爪
解：
设N（O,t）,P（x,y）
直线AN的斜率，
因为，所以直线MN的斜率
直线MN的方程为y-t二，令y=0得x=,所以点M（,0）
由，得
x=）,y-t=,则
xt2
y2t
所以动点P的轨迹方程为：
5.交轨法
例题：
如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。
求直线与的交点的轨迹的方程。
解：
设，由已知得，
则直线的方程为，直线的方程为，
即y+2二
y-2=-
两式相乘，消去即得的轨迹的方程为.
练习与答案
1.设圆C与圆x2+（y.3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为A
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆
2.已知圆，圆，一动圆与这两个圆外
切，求动圆圆心P的轨迹方程。
22
匚L1
（x>0）
412
3.过点A（4,0）作圆O：
x+y2=4的割线，求割线被圆0截得弦的中点的轨迹。
（x-2）+y=4（04.已知圆C:
+（y-4）=1,动点P是圆外一点，过P作圆C的切线,切点为M，
且丨PM|=|P0|（0为坐标原点）。
求动点P的轨迹方程。
提示：
|PO|=|PM|=
3x+4y-12=0
5.已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。
解：
动点P到圆C的最短距离为|PC|-1,
动点P到圆C的最短距离为|PC|-1,
依题意有：
|PC|-1=|PC|-1,即
|PCI=|PCI
所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。
所以动点P的轨迹方程为：
2x+y-5=0
6.已知双曲线的左、右顶点分别为,点P（），Q（）
是双曲线上不同的两个动点。
求直线与交点的轨迹E的方程。
解：
由为双曲线的左右顶点知，
，，两式相乘，
因为点在双曲线上，所以，即，故，
所以，即直线与交点的轨迹的方程为
7.已知曲线与直线交于两点和，且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为.设点是上的任一点，且点与点和点均不重合.若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。
解：
（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，贝几即，又点在曲线上，
二化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，贝打即，二中点的轨迹方程为（）.
8.已知点C（1,0），点AB是。
O上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。
求点P的轨迹T的方程。
解：
连结CP由，知ACLBC
二|CP|=|AP|=|BP|=，由垂径定理知
即
设点P（x,y），有
化简，得到。
9.设椭圆，过点的直线交椭圆于AB,O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解：
直线过点，设其斜率为k,则直线的方程为，
记，，由题设可得点A、B的坐标
是方程组的解,其方程组中消取得
••••••点P的坐标为
即：
点P为,
设点P为，则P点的轨迹参数方程为（为参数）
消去参数得：
当斜率不存在时，A、B的中为原点（0,0）也满足上述方程，
故：
动点P的轨迹方程为。
10.设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
求圆C的圆心轨迹L的方程。
解：
两圆半径都为2，设圆C的半径为R,两圆心为、，
由题意得或，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
所以轨迹L的方程为.
11.如图所示，已知P（4,0）是圆内的一点。
AB是圆上两动点，且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解：
设R（x,y）,
依题意，有
IOR|+|RA|=36,而丨RA|=|RP|,所以
|OR|+|RP|=36,即
X2y2（x4）2y236
化简得：
设Q（X,Y）,因为R（x,y）是QP的中点，所以有x=,y=,故
化简得：
X
12.在平面直角坐标系中，直线交轴于点A,设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足/MPOZAOP当点P在上运动时，求点M
的轨迹E的方
程。
解：
如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q,
QMPQAOP,MPI,且|MO||MP|.
因此即
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）
MC为线段OP的垂直平分线，
MPQMOQ.
又
因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点
由
（即）得,
x1丄a21.
4
故的轨迹方程为
②综合①和②得，点M轨迹E的方程为
4（x1）,x1,
0,x1.
13.点M是椭圆上的动点。
如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：
，=0,求线段的中点的轨迹方程；
.因为，故
XQ2xN,yQyM,
①
因为
（1XqYq）（1xNYn）
（1Xq）（1Xn）YqYn0,
所以•②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以
由因为，结合①，②得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
Xp
x-。
13
-（52（XqXn1））-
44
故动点P的轨迹方程为
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