离散型随机变量的教学反思与再设计.docx

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离散型随机变量的教学反思与再设计

“离散型随机变量”的教学反思与再设计

浙江省绍兴市高级中学　陈柏良

2009年12月2—6日，人民教育出版社A版普通高中数学课程标准实验教材全国经验交流会暨“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”全国第9次课题研讨会在山西省晋中市召开，会上笔者开设了一节“离散型随机变量”的研讨课，引起与会专家和代表的一阵热议．自然地，也促使笔者教学后的深入反思和对本节课教学设计的重新思考．

第一部分　教学反思

1．教学设计的逻辑把握

一个好的教学设计，除了对教学内容的数学理解要到位外，至少还必须具备两个特点:

其一，构思简单；其二，逻辑清晰．所谓构思简单，就是整个教学设计有一条主线贯穿，让人一下子能识别和读懂教学内容的“核心”和“精华”；所谓逻辑清晰，就是整个设计从教学起点，到教学过程，再到教学结果，各个环节清清楚楚，自然流畅．

“离散型随机变量”是人教A版数学选修2-3第二章随机变量及其分布的起始课，是学生在学习《必修3》概率的基础上对随机现象的进一步研究．其教学内容主要是随机变量的概念、离散型随机变量的概念，以及如何通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法，体会和领悟随机变量在研究随机现象中的重要作用，渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法．由于它的引入，大大简化了各种事件的表示，且使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型．应该说，原教学设计对教学内容的数学理解是到位的，瑕疵是稍多地强调了“随机变量的每一个取值（X）与它所对应的概率值（P）建立了一个函数关系”，与会有专家认为，这个提法虽然没有错误，但对于理解随机变量的概念和以后的应用没有多大意义，可以不提（该提法在第二部分的再设计中已作删减）．就该课整个教学设计而言，逻辑清楚，问题自然：

先从学生熟知的抛掷一枚骰子（一个熟悉的简单的背景）入手，理解随机变量的概念；接着让学生举例，在学生活动中完成对“随机变量”概念的深刻理解；再在学生的举例中分辨随机变量的取值类型，形成离散型随机变量概念．

2．随机变量的概念教学

教师对随机变量概念的认识和理解，以及教学采取怎样的方式让学生自然“接纳”和“领悟”随机变量概念，是要下番功夫的，因为这会直接影响教学的成败．为此，探讨以下两个问题：

（1）为什么要学习随机变量

众所周知，概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的数学分支．认识随机现象就是指：

知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每一个结果出现的概率．对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果．在数学上处理时，一个常用的、也很自然的做法是用数来表示结果，即把每个结果对应一个数．这样，就建立起了一个统一的刻画不同概率模型中所提及的事件的方法，就可以用数学分析的方法方便有力地研究随机现象了．也就是说，为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机试验的结果数量化，即将随机试验结果用唯一确定的数字与它对应，建立起随机变量的概念（概言之，随机变量是随机试验可能结果的数量化表示，它是随试验结果而变化的量，其本质是样本空间到实数集之间的一个映射）．建立随机变量概念后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来．认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率，即对随机现象统计规律的研究就可以具体转化为对随机变量概率分布的研究．这样就可以借助于有关实数的数学工具来研究所感兴趣的随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，这就是新概念产生的必要性，也就是为什么要学习随机变量的缘由．

我们再从另外一个角度来认识为什么要学习随机变量:

我们知道概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，也就是从表面上杂乱无章、形式偶然的现象中探索出现象的规律性的一门数学学科（这里的规律性，无非是指各种试验结果以多大概率出现这一问题）．正是因为如此,探求这个规律性的工具应该适用于各种形式的随机现象，而且还应该简便、有力．分布函数

就是这样一个工具，但这个函数是在引入随机变量后定义的，

，即分布函数是事件

的概率．分布函数可以把各种类型的随机试验的结果的概率分布用一个统一的形式表示出来，它就是一个普通的函数，它有很好的分析性质,便于处理，它的引入使得许多概率论问题得以简化而归结为普通函数的运算,这样就能利用数学分析的结果研究随机现象规律性．

   一般地,在学习概率论之前，研究普通变量与函数所采用的思路和方法已为人们所熟悉．自然，人们希望采用熟悉的方法和已有的研究成果研究新的课题，随机变量的引入无疑也有这方面的原因．

（2）用怎样的方式学习和理解“随机变量”

“随机变量”这个概念（或者简单地说随机试验结果与实数的这种对应）实际上早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”（对应思想），如在玩掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果，在观看射击比赛时会用“环数”去评价射击成绩，抽奖时会先对奖券“编号”，随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替，观看比赛足球比赛时，赢、平、输分别会用“得分”去量化、随意选购商品时会用“价格”去衡量等等，只是没有“明朗化”．因而，对随机变量概念的教学上笔者觉得没有必要创设更多的问题情境，让学生来概括提炼．实际上，把所有试验结果都数字化，要让学生自己想出来也是十分困难的（尽管已经在不自觉地使用）．因为，这要求对数学本质有很好的认识才行．故设计中主要考虑如何通过教师有启发地提问，学生有意义地学习来“内化”这个概念．教学中让学生觉得问题的提出，概念的发生、发展过程较为自然，能够从教师的讲授，自己的思考中感受数学是怎样一步步研究现实世界的．故在教学设计中可以从一个简单的学生熟悉的例子（作为新概念引入的背景）入手，循循善诱，使得通过这个例子，就好像通过一道门户，把学生引入一个“建构”新知的领域．原教学设计中对“随机变量”概念的教学是以抛掷一枚骰子为背景的，对“随机变量”的理解，是从函数（随机变量的取值X与随机事件发生的概率P之间的对应）和映射（随机试验的结果与随机变量的取值的对应）的强调中进行的，意在让学生体会随机变量在研究随机现象中的作用．教学实践后有专家认为，让学生明白“随机变量的取值X与随机事件发生的概率P之间的对应（函数关系）”对理解随机变量的概念没有多大好处．反思后，笔者认为，就本节课的教学任务而言，只要学生能认识到：

建立随机变量概念后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来，“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，即可“把对随机现象统计规律的研究具体转化为对随机变量概率分布的研究”，这样就可以借用有关实数的数学工具来研究随机现象的本质了．这样就可以了．

因此，反思后的教学设计着意彰显这一主旨．对随机变量概念学习的设计上，分两步走：

第一步是认识“用数字表示随机试验的结果”的量是一个变量，第二步是通过建立“一个从试验结果的集合到实数集合的映射”认识到在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化，即这是一个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在此基础上学习随机变量概念，并理解随机变量的特征：

它的取值依赖于试验结果，具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定，且所有可能取值是明确的．进一步，如何让学生深刻认识和理解“随机变量”这一概念？

原教学设计采用让学生举例的方式，在学生的活动中来完成对“随机变量”概念的理解，这一设计思路得到同行肯定．事实上，要使学生真正理解数学知识，必须要有他们身体力行的实践，从自己亲历亲为的探索思考中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学概念、原理的本质的领悟．此处安排学生举例正是基于这种考虑，其意义在于：

其一，可以观察学生是否领会把随机试验结果数学化的思想，以及怎样把随机试验结果数学化（尤其是试验的结果不具有数量性质的随机现象）；其二，体会引入随机变量概念后，随机试验中的事件就可以通过随机变量的取值表达出来，“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，（即研究随机现象的统计规律就可以转化为研究随机变量的概率分布）．

3．离散型随机变量概念的形成

离散型随机变量是随机变量的下位概念，而下位学习依靠的主要是同化．原教学设计中是这样考虑的：

在学生的举例中通过分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征来引发离散型随机变量的概念．即通过学生的举例，分辨随机变量取值的不同情况：

随机变量的取值有可数的，有不可数的，有有限个数的，有无限个数的，从中来归纳概括离散型随机变量的特征：

所有取值可以一一列出的随机变量．如学生列举的都是随机变量取值为整数的例子，则引导学生去发现问题、提出问题：

随机变量的取值都是整数吗？

你能否举个（些）例子，而随机变量的取值不是整数呢？

再让学生举例，以此来学习离散型随机变量的概念．从这个角度来提出问题比较自然，这是因为，了解随机变量的取值的多种情况本身也是对随机变量概念的认识．所以，提出随机变量的取值都是整数吗？

这个问题本身也是理解和进一步认识随机变量概念的需要．教学实践表明，这样的设计建立在“学生的最近发展区”，新概念（离散型随机变量）的形成水到渠成、浑然天成．而在原教学设计之前，还有过这样的设计：

安排如下一个练习，然后再提出一个问题

练习：

下列随机试验的结果能否用随机变量表示？

若能，请写出各随机变量可能的取值.

（1）在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件,取到次品的件数；

（2）接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数；

（3）某公园内积雪最厚处达17厘米，则该公园内各处的积雪厚度.

问题：

以上随机变量可能的取值有什么不同?

这里设计练习，一方面起到巩固随机变量概念的目的，另一方面通过比较让学生明白随机变量的取值可以有不同的情况，即随机变量取值有可数的，有不可数的，有有限个数的，有无限个数的．从中来“同化”离散性随机变量的概念．

两者设计相比，显然是改进后的设计更为自然、流畅，它意在借助学生所举出的例子，分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，从而给出离散型随机变量的概念，而不再单独用问题的方式（另起炉灶）提出来（把问题中的例子也纳入进来）．何况分辨随机变量的类型也是对“随机变量”概念（外延）的进一步理解与认识．

第二部分　反思后的教学设计

一、教学内容解析

概率是研究随机现象的数量规律的．认识随机现象就是指：

知道这个随机现象中所有可能出现的结果，以及每一个结果出现的概率．而对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果．在数学上处理时，一个常用的、也很自然的做法就是用数来表示结果，即把随机试验的结果数量化，使得每个结果对应一个数，这样就可以通过实数空间（定量的角度）来刻画随机现象，从而就可以利用数学工具，用数学分析的方法来研究所感兴趣的随机现象．简言之，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，这便是为什么要引入随机变量的缘由.

随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上（一种对应关系）是一致的，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．

离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．本节课的重点是认识离散型随机变量的特征，了解其本质属性，体会引入随机变量的作用．

二、教学目标解析

1．在对具体实例的分析中，认识和体会随机变量对刻画随机现象的重要性和建立随机变量概念的必要性，并会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的随机现象，能叙述随机变量可能取的值及其所表示的随机试验的结果；

2．在列举的随机试验中，通过对随机变量取值类型的分辨，归纳和概括离散型随机变量的特征，形成离散型随机变量的概念，并会利用离散型随机变量刻画随机试验的结果；

3．在举例、观察、思考、发现中经历将随机试验结果数量化的过程，渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识．

三、教学问题诊断分析

本节课学生学习的难点是对引入随机变量目的与作用的认识，以及随机变量和普通变量的本质区别．随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化．学生学习这一概念就是把这些“实际使用的”规则、程序、步骤等进一步加以明确．所以，教师的责任就是为学生建立随机变量这个概念修通渠道．可通过学生熟悉的掷骰子的随机试验让学生体会随机变量概念的发生，在师生举例中来体会随机变量概念的发展，特别是诸如抛掷一枚硬币等试验，其结果不具有数量性质，怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果，并且所用的数又尽量简单，便于研究．教学中需多举试验结果本身已具有数值意义的实例，来发挥正迁移作用．通过多举例让学生理解：

一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率．

另外，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系，从学习的认知方式看，下位学习依靠的主要是同化，上位学习依靠的主要是顺应，上位学习一般采用的思维方法主要是概括和综合，它主要通过改造（归纳和综合）原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构．因此，从这一角度来分析，学生对随机变量概念的学习和真正理解比离散型随机变量的学习要困难一些．故在随机变量的教学中，要特别重视学生举例，让学生在充分的自主活动中体验数学化的过程，体验将随机试验结果数量化的过程，体会随机变量对刻画随机现象的重要性和研究随机现象的工具性作用，从而来把握随机变量的内核．

四、教学支持条件分析

学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括．

五、教学过程设计

（一）教学基本流程 

（二）教学过程

1.理解随机变量概念

问题1：

抛掷一枚骰子，可能出现的结果有哪些？

概率分别是多少？

 [设计意图]以学生熟悉的随机试验为例，在复习旧知中孕育新知．

[师生活动]画表一，指出试验结果分别有“1点的面朝上”、“2点的面朝上”、“3点的面朝上”、“4点的面朝上”、“5点的面朝上”、“6点的面朝上”，它们都是基本事件．为了研究这些事件，常常把它们分别与一个数字对应起来．比如，用数字1与“1点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，用数字2与“2点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，等等．师生共同填写数字，形成表二．

引导学生分析，像这样“用数字表示随机试验的结果”的量用X来表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，说明X是一个变量．

[设计意图]“用数字来表示随机试验的结果”实际上早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”，如射击比赛中会用“环数”去表示射击成绩，掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果，抽奖时会先对奖券“编号”，随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替等等，只是没有明朗化．因而，“用数字来表示随机试验的结果”可以通过教师有启发地提问，有意义地讲授进行，让学生觉得问题的提出，概念的发生、发展过程较为自然，能够从教师的讲授中感受数学是怎样一步步研究现实世界的．

问题2：

在这里（指着表二），每一个试验结果用唯一确定的数字与它对应，这个对应关系是什么？

[设计意图]建立一个从试验结果的集合到实数集合的映射．让学生感悟：

一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每一个值时的概率，从而感受把随机试验的结果数字化（成为实数）的必要性，体会引入随机变量的必要性．同时让学生感受概念的从无到有、自然形成的过程．

[师生活动]启发诱导，引导学生发现在这里建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射．形成下表三：

抛掷一枚骰子

让学生观察、思考：

刚才，用数字表示试验结果的变量X，它根据什么在变化？

让学生发现它的取值随试验结果的变化而变化，它的变化是有规律的，这是个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在试验之前不知道会出现哪个值（即它的取值依赖于试验结果，因此取值具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定）．同时，教师指出：

在这个试验中，我们确定了一个对应关系（也即建立了一个试验结果到实数的映射）使得每一个试验结果（样本点）都用一个确定的数字表示（即所有可能取值是明确的）．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母

表示．

问题3：

随机变量这个概念与我们曾经学过的函数概念有类似的地方吗?

[设计意图]引导学生与曾经学过的函数概念比较，从而加深对随机变量概念的理解．

[师生活动]“类比”函数概念，领悟随机变量和函数概念在本质上都是一种对应关系，都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．随机变量的取值范围我们称为随机变量的值域．如抛掷一枚骰子，随机变量的值域为

；

引导学生利用随机变量表达一些事件，例如抛掷一枚骰子中，

表示“1点的面朝上”；“3点的面朝上”可以用

表示；

表示“5点的面朝上”或“6点的面朝上”．

同时指出：

通过映射把随机试验结果与实数进行对应，也就是，把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，这样“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，即可把“对随机现象统计规律的研究具体转化为对随机变量概率分布的研究”．这样我们就可以借用有关实数的数学工具来研究随机现象的本质了．

接着，进一步指出：

在学习《数学（必修3）》时我们曾经学习过概率、方差等概念，学过简单的概率模型，在今后的学习中，我们将利用随机变量描述和分析某些随机现象，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决一些实际问题．（体现章引言）

2．对随机变量的深刻认识（对对应思想——映射的体验）

问题4：

你能再举些例子吗？

（请学生列举随机试验，并将试验结果数量化，不必写出概率）

[设计意图]让学生参与举例，体验将实际问题数学化（把实际问题数学化是学习数学极其重要的数学方法）和将随机试验结果数量化的过程.其意义在于两个方面:

其一,学生通过寻找（寻找本身就是一个甄别随机与非随机的过程）,选择自己感兴趣的随机现象,并学会用随机变量表示随机事件;其二,在将试验结果数量化的过程中体会随机变量在研究随机现象中的重要作用.同时进一步深刻理解随机变量的概念,领悟随机变量学习的重要性，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识．

[师生活动]教师关注学生的举例，关注其关键过程：

随机试验中所有可能出现的结果有哪些？

如何将试验的结果数量化？

要求学生画表，体会映射的过程．教师给学生充分展示和交流所举例子的时间．同时，教师也参与举例（教材中有关于抽取产品、射击、浏览某网页等例子可以纳入进来），深刻体会将实际问题（随机现象）数学化（数字化）的过程，感受建立随机变量概念的重要意义．

对学生列举的试验结果没有数量标志的随机事件，诸如投掷一枚硬币的试验等，要引导学生分析比较，让学生体会对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示．但用哪两个数字来表示，主要是要尽量简单，合理，便于研究．如表四：

抛掷一枚骰子

在学生举例中学习如何用随机变量去定义试验结果没有数量标志的随机事件（中间表示映射的一栏表格可以省略）．

问题5：

任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？

同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示吗？

[设计意图]让学生领悟任何随机试验的所有结果都可以用数字来表示（试验结果不具有数量性质的可以通过赋值，将其数量化），同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示，表示的原则主要是有实际意义，简单合理，便于研究．

3．形成离散型随机变量概念

问题6：

随机变量的取值都是整数吗？

你能否举个（些）例子，而随机变量的取值不是整数呢？

[设计意图]关注学生的举例，借学生举出的例子，引导分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征（一个新概念产生之后，我们应该端详它一番），分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，而有些不是,从而给出离散型随机变量的概念．如果学生列举的都是离散型随机变量，则教师可启发点拨，启发后引导学生再举例，或给出以下问题7：

问题7：

请仿照刚才的例子，分析下列随机现象，随机变量可以取哪些值？

你能够一个一个列出来吗?

（1）某公交车站每隔10分钟有1辆汽车到站，某人到达该车站的时刻是随机的,他等车的时间；

（2）检测一批灯泡（相同型号）的使用寿命．

[设计意图]通过与前面列举例子的比较，引导学生发现这两个试验结果中，表示随机事件的随机变量的取值是一个区间，其值无法一一列出，以此形成离散型随机变量的概念．同时明晰在随机现象中随机变量的取值类型是丰富多样的，这也是对随机变量概念（外延）的进一步认识．

问题8：

如果我们仅仅关心“某人等车的时间多于5分钟或不多于5分钟”两种情况，那该怎样定义随机变量呢?

[设计意图]在研究随机现象时，为研究方便，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．让学生明白恰当定义随机变量给我们研究问题带来方便．问

（2）让学生选择自己关心的问题来恰当定义随机变量．

[师生活动]通过分析，让学生明白，在研究随机现象时，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．

4．练习反馈（见教科书第45页）

下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？

若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）抛掷两枚骰子,所得点数之和；

（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差．

[设计意图]在应用中巩固离散型随机变量的概念，并能熟练利用离散型随机变量刻画随机试验的结果．

5．小结回授

问题9：

你能用自己的语言描述随机变量和离散型随机变量的定义及它们之间的区别吗？

（学生回答后，可以再问：

你能简单地说说引入随机变量的好处吗？

）

[设计意图]学生用自己的语言来概括本节课学到的知识，是一种“主动建构”，也真正体现知识学到了手．

[师生活动]引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来．认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率．也即把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，我们就可以借助于有关实数的数学工具来研究所感兴趣的随机现象了．

六、目标检测设计

人教A版教