考研数学一真题及答案解析.docx
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考研数学一真题及答案解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
、填空题（本题共5小题,每小题
（1）
eXln
dx=
2.
X
XPy可化成标准型f6y1,则a=
1
率为一,则
2
.）
只有一项符合题目
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给岀的四个选项中要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
（1）考虑二元函数f（X）y）的下面4条性质：
①f（x,y）在点（x°,y°）处连续；
③f（X）y）在点（X。
Iy0）处可微;
若用“PQ”表示可由性质P推岀性质
（A）②
③
①.
（C）③
④
①.
（2）设Un
0（n
1,2,3,L）,且Ijm—
nUn
（A）发散.
（C）条件收敛
②f（X,y）在点（X。
，y°）处的两个偏导数连续
④f（X,y）在点（X0,y0）处的两个偏导数存在.
Q,则有
（B）③②
①.
（D）③①
④.
n1/11X
1,则级数
（1）（）
n1
UnUn1
（B）绝对收敛.
（D）收敛性根据所给条件不能判定
（A）当
当Iim
X
f（x）0时,必有limf（x）0.
X
（B）当
当lim
X
f（x）存在时，必有limf（x）0
X
（C）当
当lim
X0
f（X）0时,必有limf（X）0.
X0
（D）当
当lim
X0
f（X）存在时，必有limf（X）0.
X0
（4）设有三张不同平面的方程
aiXa2ya∣3zd,i1,2,3,它们所组成的线性方程组的系
数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
（A）（B）（Q（D）
（5）设Xi和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为fι（x）和f2（X）,
分布函数分别为F1（X）和F2（X）,则
（A）fi（x）+f2（x）必为某一随机变量的概率密度.
（B）f1（X）f2（x）必为某一随机变量的概率密度.
（C）F1（x）+F2（x）必为某一随机变量的分布函数
（D）Fι（x）F2（x）必为某一随机变量的分布函数
三、（本题满分6分）
设函数f（x）在X0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）0,f（0）0,若
af（h）bf（2h）f（0）在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.
四、（本题满分7分）
arctanx+2
e+d+在点（0,0）处的切线相同，写岀此切线方程，并求极限
0
Iimnf
（2）.
n
五、（本题满分7分）
22
计算二重积分emax{,y}dxdy,其中D{（x,y）10X1,0y1}
D
六、（本题满分8分）
设函数f（x）在（，）内具有一阶连续导数，L是上半平面（y>0）内的有向分段光滑曲线其起点为（a,b）,终点为（c,d）•记
1X
IL—[1y2f（xy）]dx—[y2f（xy）1]dy,
Lyy
（1）证明曲线积分I与路径L无关；
（2）当abCd时,求I的值.
七、（本题满分7分）
3
X
（1）验证函数y（x）1-
3!
（2）利用
（1）的结果求幕级数
3n
X
的和函数
0（3n）!
八、（本题满分7分）
设有一小山，取它的底面所在的平面为XOy坐标面，其底部所占的区域为D{（x,y）|x2
222
yXy75},小山的高度函数为h（x,y）75XyXy.
2
yXy75上找岀使
（1）中g（x,y）达到最大值的点
起点的位置
九、（本题满分6分）
十、（本题满分8分）
设代B为同阶方阵，
（1）若代B相似证明代B的特征多项式相等.
（2）举一个二阶方阵的例子说明
（1）的逆命题不成立
（3）当代B均为实对称矩阵时，证明
（1）的逆命题成立
十、（本题满分7分）
设维随机变量X的概率密度为
2
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于一的次数,求Y的数学期望
3
其中（01）是未知参数，利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3,
求的矩估计值和最大似然估计值
2002年考研数学一试题答案与解析
、填空题
（2）【分析】方程两边对X两次求导得
eyy'6χy'6y2χ0,
eyy''eyy'6xy''12y'20.
以X0代入原方程得y0,以X
y0代入①得y'0,,再以Xyy'0代入②得
y''（0）2.
（3）【分析】这是二阶的可降阶微分方程
令y'
P（y）（以y为自变量），则y''
dy'
dP
PdP.
dX
dX
dy
代入方程得
yPdPP20,即ydP
P
0（或P
0,但其不满足初始条件y'
1
X0匚）
dydy2
分离变量得dpdy0,
Py
积分得InPInyC即PCI（P0对应C10）；
y
11
由X0时y1,Py',得G.于是
22
A的特征值，所以6,0,0是A的特征值.
二、选择题
系.我们知道,f（x,y）的两个偏导数连续是可微的充分条件，若f（x,y）可微则必连续，故选（A）.
1_
U11
（2）【分析】由lim—10n充分大时即N,nN时0,且lim0,不妨认为
n1UnnUn
n
1
n,Un0,因而所考虑级数是交错级数，但不能保证的单调性.
Un
按定义考察部分和
Snn
（1）k1（丄丄）n
（1）k1-n
（1）k1）
k1Ukuk1k1Ukk1Uk1
原级数收敛
再考察取绝对值后的级数（——）.注意-UnUn^--2,
n1UnUn11UnUnIn1
n
111
丄发散（丄—）发散.因此选（C）.
n1nn1UnUn1
（3）【分析】证明（B）对:
反证法.假设Iimf（x）a0,则由拉格朗日中值定理，
X
f（2x）f（X）f'（）x（X）
（当X时，，因为X2x）；但这与f（2x）f（x）f（2x）f（x）2M矛盾
（f（x）M）.
（4）【分析】因为r（A）r（A）23,说明方程组有无穷多解，所以三个平面有公共交点且不唯
一,因此应选（B）.
（A）表示方程组有唯一解，其充要条件是r（A）r（A）3.
（C）中三个平面没有公共交点，即方程组无解，又因三个平面中任两个都不行，故r（A）2和
r（A）3,且A中任两个平行向量都线性无关.
类似地,（D）中有两个平面平行，故r（A）2,r（A）3,且A中有两个平行向量共线
（5）【分析】首先可以否定选项（A）与（C）,因
[f1（x）f2（x）]dxf1（x）dxf2（x）dx21,
F1（）F2（）1121.
1,2X1,1,0X1,
对于选项（B）,若f1（x）f2（x）则对任何X（,）,
0,其他，0,其他，
f1（x）f2（x）0,f1（x）f2（x）dx01,因此也应否定（C）综上分析，用排除法应选（D）.
进一步分析可知，若令Xmax（X1,X2）,而Xi~fi（x）,i1,2,则X的分布函数F（X）恰是
FI（X）F2（x）.
F（X）P{max（X1,X2）x}P{X1x,X2x}
P{X1x}P{X2x}
FI（X）F2（x）.
三、【解】用洛必达法则•由题设条件知
”叫af（h）bf（2h）f（0）]（a
b1）f（0）.由于f（0）0,
故必有ab10.
mo
Hh
In
a
bf（2h）f（0）h
mo
Hh
2bf'（2h）
1
（a2b）f'（0）0,
及f（0）0,则有a2b0.
综上，得a2,b1.
四、【解】由已知条件得
arctanxt2
f（0）0,f'（0）（Oedt）'xX0
arctan2e
1x2
1,
故所求切线方程为yχ.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得
2f（）f（0）f（X）f（O）
limnf
（2）2lim—C2lim-（—（）
nnn2X0X
n
2f'（0）2.
五、【分析与求解】D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示
2
22x,xy,
max{X,y}2（x,y）D,
y,xy,
于是要用分块积分法，用yX将D分成两块
DD1UD2,D1DI{yx},D2DI{yx}.
22
max{x,y}
edxdy
DI
22
emax{x,y}dxdy
x2
e
DI
dxdy
y
edxdy2e
D2
x2
dxdy（D关于y
X对称）
1
dx
o
XX2eo
DI
dy（选择积分顺序）
1χe"dx
o
x2e
e1.
六、【分析与求解】
（1）易知PdXQdy原函数，
1
PdXQdydx
yf（xy）dxXf（Xy）dy
Ady
1
2（ydxXdy）f（xy）（ydxXdy）
y
y
y
X
X
Xy
d（—）
f（xy）d（xy）d[—
Of（t）dt]
y
y
XXy
在y0上PdX
Qdy原函数，即u（x,y）
f（t）dt.
y0
积分I在yO与路径无关.
（2）因找到了原函数，立即可得Iu（x,y）（a,b）--db
七、【证明】
与书上解答略有不同，参见数三2002第七题
（1）因为幕级数
y（x）
3X
3!
6X
6!
9X
9!
3n
—L
（3n）!
的收敛域是（
）,因而可在
）上逐项求导数
得
所以
（2）与y''
y'（x）
y''（x）
y''y'
y'y
2X
2!
5
X
5!
8X
8!
3n1
X
（3n1）!
4X
4!
7X
7!
X3n
（3n2）!
X2
X—2!
nX
n!
e相应的齐次微分方程为
y''
y'y
0,
13
-——i.
22
因此齐次微分方程的通解为Y
X3二
e（C1cosXC2sinx）.
22
设非齐次微分方程的特解为
yAex,将y代入方程y"y
X_
ye可得
1,即有y
3
于是，方程通解为y
I3
e2（C1cosX
12
C2Sin
X）
当X0时,有
于是幕级
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