高中数学11相似三角形的进一步认识111平行截割定理知识导航学案苏教版选修41.docx

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高中数学11相似三角形的进一步认识111平行截割定理知识导航学案苏教版选修41

1.1.1平行截割定理

自主整理

1.平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也____________.

2.平行截割定理：

两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_________.

3.平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边____________.

4.三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于____________.

5.经过梯形一腰中点而平行于底边的直线_________另一腰；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的_________.

答案：

1.相等

2.成比例

3.成比例

4.夹角两边长度的比

5.平分一半

高手笔记

1.平行线等分线段定理符号语言：

已知l1∥l2∥l3,直线m,n分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC，那么A′B′=B′C′,图形语言（如图1.1-1），注意

（2）（3）（4）（5）是定理图形的变形.

图1.1-1

2.平行线等分线段定理的推论

平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下：

推论1：

如图1.1-2

（1），在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′点，求证：

B′是AC′的中点.

证明：

如图1.1-2

（2），过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.

图1.1-2

推论2：

如图1.1-3，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′,AB=BC，BB′∥CC′.

求证：

B′是A′C′的中点.

证明：

∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.

图1.1-3

3.平行截割定理

（1）定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

图1.1-4

（2）符号语言表示：

如图1.1-4所示，a∥b∥c，则.

（3）定理的证明：

若是有理数，则将AB、BC分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中实现.

（4）定理的条件：

与平行线等分线段定理相同，它需要a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.

（5）定理比例的变式：

对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化（如图1.1-4）：

如果已知a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如等，可以归纳为等，便于记忆.

4.平行截割定理的推论

图1.1-5

（1）如图1.1-5，D、E分别为△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC,则AD:

AB=AE:

AC=DE:

BC.

（2）如图1.1-6，AD是△ABC的角平分线，则.

图1.1-6

图1.1-7

（3）如图1.1-7,四边形ABCD为梯形，AB∥CD,若E为AD的中点且EF∥AB，则F为BC的中点；若EF为梯形ABCD的中位线，则EF=.

（4）若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行.

（5）若梯形ABCD中，底AD=a,BC=b,点E、F分别在腰AB，CD上，且EF∥AD,若AE:

EB=m:

n，则EF=.

名师解惑

1.平行截割定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？

怎样正确使用平行截割定理？

剖析:

我们学习的平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（如图1.1-8，若l1∥l2∥l3，AB=BC，则DE=EF）

图1.1-8图1.1-9

平行截割定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图1.1-9，若l1∥l2∥l3,则.

比较这两个定理可知：

当截得的对应线段成比例，比值为1时，则有截得的线段相等，即当=1时，则有AB=BC，DE=EF，因此平行截割定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行截割定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行截割定理是证明线段成比例的途径.

在使用平行截割定理时，要特别注意“对应”的问题，如图1.1-9中的线段AB、BC、AC的对应线段分别是DE、EF、DF.由平行截割定理有.根据比例的性质，还可以得到.

为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把说成是“上比全等于上比全”，把说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.

2.证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？

我们现在学习的平行截割定理及推论能发挥什么作用？

剖析:

根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有（或添作）平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.

3.三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？

图1.1-10

剖析:

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同（如图1.1-10）.

三角形中位线定理的内容是：

三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

证明：

如图1.1-10，DE是中位线，E是AC的中点，

过点D作DE′∥BC,则E′也是AC的中点，所以E与E′重合，DE′与DE重合.

所以DE∥BC.

同理，过点D作DF∥AC,交BC于F，则BF=FC.

因为DE∥FC,DF∥EC,所以四边形DFCE是平行四边形.

所以DE=FC.

又因为FC=BC，所以DE=BC.

上述过程中，DE′与DE重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.

该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1.1-11所示的几种辅助线代表几种不同的证法.

延长中位线DE延长中位线DE

到F，使EF=DE.到F，使EF=DE得ADCF.

作CF∥AB与DE的延长线交于点F.

图1.1-11

三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，其特点是：

同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1：

经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.

4.梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？

梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？

剖析:

梯形中位线的定义是：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.

梯形中位线定理的内容是：

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.分析如下：

设法把梯形中位线转化为三角形中位线.

图1.1-12

如图1.1-12，欲使MN成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形第三边上，若连结AN并延长交BC的延长线于E（梯形的这种辅助线也经常用到），就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN，AD=EC，问题就解决了.

关于梯形中位线与三角形中位线的一致性：

由梯形中位线公式MN=（BC+AD）可知，当AD退缩为一点时，其长度为零，则公式变为MN=BC.这就是三角形中位线公式，这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了其间的辩证关系.

平行线等分线段定理的推论中“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.

讲练互动

【例1】如图1.1-13，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：

BF=CF.

图1.1-13

分析：

利用平行线等分线段定理证明.

证明：

过A作AP∥BC，过B作BQ∥AC.

已知AP∥BC∥DE且AD=DC，由平行线等分线段定理知AE=EB，又已知BQ∥EF∥AC且AE=EB，由平行线等分线段定理知：

BF=FC.故有BF=CF成立.

绿色通道

利用平行线等分线段定理证明线段相等，关键是找出三条平行的直线l1∥l2∥l3,如果已知条件中只有两条平行线（如例1中DE∥BC）应再作辅助线（AP）构造出三条平行线（AP∥DE∥BC），方可利用平行线等分线段定理.

变式训练

图1.1-14

1.如图1.1-14，在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：

AP=PQ=QC.

证明:

过A作AK∥BF,过C作CM∥DE.

已知AK∥BF∥DE,且F为AD的中点，由平行线等分线段定理得AP=PQ.

又已知：

CM∥DE∥FB,且E为BC中点，由平行线等分线段定理得：

PQ=QC.

故AP=PQ=QC.

【例2】如图1.1-15，l1∥l2∥l3，,求证：

.

分析：

利用平行截割定理及合比性质证明.

图1.1-15

证明：

∵l1∥l2∥l3，

∴.

∴,由合比性质：

即.∴.

绿色通道

本题巧妙地利用了比例的性质（合比性质）进行了线段比例的转化.

变式训练

图1.1-16

2.如图1.1-16,DE∥BC,EF∥DC,求证：

AD2=AF·AB.

证明:

∵DE∥BC,

∴（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例）.

∵EF∥DC，∴.∴,即AD2=AF·AB.

图1.1-17

【例3】如图1.1-17所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC，求证：

AE·FB=EC·FA.

分析：

本题只要证=即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.

证明：

过A作AG∥BC，交DF于G点.

∵AG∥BD,∴=.

又∵BD=DC,∴=.

∵AG∥BD,∴=.∴=,即AE·FB=EC·FA.

绿色通道

本题还可以过A作AK∥FD,利用==及=.

可得：

=可证得AE·FB=EC·FA.

变式训练

图1.1-18

3.如图1.1-18，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E、F，与CD的延长线交于K.求证：

KO2=KE·KF.

证明:

延长CK、BA，设它们交于H，

∵KO∥HB,∴=,=.

∴=,即.

∵KF∥HB，同理可得.

∴，即KO2=KE·KF.

【例4】如图1.1-19,在直角梯形ABCD中，AB∥DC,∠ABC=90°,AB=a,D