第八届希望杯小六级初赛试题和详解.docx

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第八届希望杯小六级初赛试题和详解

第八届“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试

以下每题6分，共120分。

1．计算：

＝。

2．将分子相同的三个最简假分数化成带分数后，分别是：

，其中a,b,c是不超过10的自然数,则（2a＋b）÷c＝。

3．若用“*”表示一种运算,且满足如下关系:

（1）1*1＝1；

（2）（n＋1）*1＝3×（n*1）。

则5*1－2*1＝。

4．一个分数，分子减1后等于

，分子减2后等于

，则这个分数是。

5．将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是。

6．一个箱子里有若干个小球。

王老师第一次从中箱子取出半数的球，再放进去1个球，第二次仍从箱子中取出半数的球，再放进去1个球，…，如此下去，一共操作了2010次，最后箱子里还有两个球。

则未取出球之前，箱子里有小球个。

7．过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人。

开始时艺术小组的同学们先做一天，随后增加15位同学和他们一起又做了两天，恰好完成。

假设每位同学的工作效率相同，且一位同学单独完成需要60天。

那么艺术小组的同学有位。

8．某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了。

如果当时有两个收银台工作，那么付款开始

小时就没有人排队了。

9．下面四个图形都是由六个相同的正方形组成，其中，折叠后不能围成正方体的是。

（填序号）

10．如图1所示的四个正方形的边长都是1，图中的阴影部分的面积依次用S1，S2，S3，S4表示，则S1，S2，S3，S4从小到大排列依次是。

11．如图2，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长的

，另一根铁棒在水面以上的长度是总长的

。

已知两根铁棒的长度之和是33厘米，则两根铁棒的长度之差是厘米。

12．甲、乙、丙三人一起去钓鱼。

他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着了。

甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份回家了。

乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份回家了。

丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多一条鱼。

这三个人至少钓到条鱼。

13．过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜。

为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的食物数量相等。

则一棵大白菜可以换

只胡萝卜。

14．王宇玩射击气球的游戏，游戏有两关，两关的气球数量相同。

若王宇第一关射中的气球数比没射中的气球数的4倍多2个；第二关射中的气球数比第一关增加了8个，正好是没射中的气球数的6倍，则游戏中每一关有气球个。

15．已知小明的爸爸和妈妈的年龄不同，且相差不超过10岁。

如果去年、今年和明年，爸爸和妈妈的年龄都是小明年龄的整数倍，那么小明今年岁。

16．观察图3所示的减法算式发现，得数175和被减数571的数字顺序相反。

那么，减去396后，使得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有个。

17．甲、乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月生产服装2700套，生产上衣和裤子的时间比是2：

1；乙厂每月生产服装3600套，生产上衣和被子的时间比是3：

2。

若两个厂合作一个月，最多可生产服装套。

18．一收银员下班前查账时发现：

现金比账面记录少了153元。

她知道实际收钱不会错，只能是记账时有一个数点错了小数点。

那么记错的那笔账实际收到的现金是元。

19．现有5吨的A零件4个，4吨的B零件6个，3吨的C零件11个，1吨的D零件7个。

如果要将所有零件一次运走，至少需要载重为6吨的汽车辆。

20．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

出发时他们的速度之比是3：

2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高

，这样当甲到达B地时，乙离A地还有41千米，那么A、B两地相距

千米。

2010年“第八届”希望杯（六年级）初赛详解

1．原式=8-（2.38-8/9）+1/9

      =6.62

2.有余问题+基础分数问题

题中三个带分数可转化为假分数，分别是（3a+2）/3；（4b+3）/4；（5c+3）/5

  且这三个假分数为最简假分数，由题可知：

3a+2=4b+3=5c+3

可解出：

a=7，b=5，c=4

 那么（2a+b）÷c=19/4=4又3/4

另一解法:

假分数的分子除以分母,分别是除3余2,除4余3,除5余3,a，b，c是不超过10的自然数,23符合要求,所以假分数的分子是23,所以a=7，b=5，c=4

3．新定义运算

 2*1=3×（1*1）=3×1=3

  5*1=3×（4*1）=3×[3×（3*1）]

     =9×（3*1）=9×[3×（2*1）]

     =9×3×3=81

所以5*1-2*1=81-3=78

4．基础分数问题

  由分子减2后会等于1/2，我们可设原分数为（a+2）/2a

  那么，分子减1会等于2/3即 （a+2-1）/2a = 2/3

 解比例方程，可解得a=3，所以，原分数是5/6

另一解法：

约分后两分数的分母分别是3和2，由题可知，原分数的分母就应该是2和3的公倍数，[2，3]=6，如果原分数的分母是6，很容易判断出，这种假设是符合题意的。

5．数字谜问题

 要想差最小，被减数与减数的最高位即千位相差得越小越好，由题所给的八个数字可知，差是一个百位数（千位相减为0），那差的百位应该要最小，这样可推出被减数和减数的千位分别为2和9，依次类推可得：

6234-5987=247符合题目要求

6．还原问题

  在操作第2010次后，还剩一个，再放进一个，正好最后剩二个；可推出：

在操作2010次前（即操作第2009次后），箱子里还剩二个，依次倒退一二次，不难发现，在每次操作前，箱子里总是剩下二个，所以，原来箱子里就二个球

7．工程问题

 由题可知，每个同学的工作效率是1/60，那么后来加进来的15个同学工作二天就完成了1/60×15×2=1/2，另外的1/2是由艺术组的同学工作三天完成的。

概括下：

15人做2天可完成一半，那么多少人做3天也可完成一半？

不难算出10人做3天可完成1/2，即艺术组有10人

8．牛吃草问题

 一台收银机4小时可应对4×80=320人，而4小时又有4×60人来排队，说明：

在收银前，已经有320-240=80人在排队。

这二台收银机除了要应对已经排好队的80人，还得应对每个时间新增加排队的人。

假设二台收银机工作x小时后无人排队，那么，

   80×2×x=80+60x 解得x=0.8小时

9．正方体（长方体）展开图形如果其中四个图形是“四联体”的，那剩下的两个图形一定在“四联体”的两侧，所以选①

10．

（1）图中，连接正方形左上角与右下角的那条对角线，阴影部分平均分成两块，每块的面积都会等于四分之一圆面积减去大三角形的面积（即正方形面积的一半）

（2）图中，正方形中的两个半圆可合成一个大圆，那么，阴影部分的面积就会等于正方形的面积减去这个大圆的面积

（3）图中，连接正方形右上角与左下角的那条对角线，阴影部分就分切出两小块；再连接正方形的那条对角线，阴影部分间的那白色部分也会被切成两小块，容易发现，阴影部分的两小块与白色的两小块分别相等，这样把阴影部分的两小块补过来，阴影部分就是正方形的一半

11．长铁棒分成三段，水中两段；短铁棒分成五段，水中四段

   由题可知，长铁棒的两段和短铁棒的四小段一样长，即长铁棒的一段相当于短铁棒的二小段，即长铁棒相当于短铁棒的六小段，两根铁棒合起来就是有11小段，共33厘米，即1小段长3厘米，而长铁棒比短铁棒长1小段，所以，两根铁棒相差3厘米

12．还原问题

设丙拿走x条鱼，那么乙拿走后剩下3x+1条鱼

可推出乙拿走了（3x+1）/2条鱼；那么甲拿走后剩下：

（3x+1）/2+3x+1+1=（9x+5）/2条鱼

可推出甲拿走了（9x+5）/4条鱼；那么总的鱼有（9x+5）/4+（9x+5）/2+1=（27x+19）/4条

由于（27x+19）/4是整数且尽可能小，27x+19应为4的倍数，经尝试，x=3符合条件

即总共有25条鱼

另：

也可以用尝试法，假设丙分完后每个蒌里是1条鱼、2条鱼、、、、然后倒推，也很容易找出正确的答案

13．总食物数量不量，即最后，两只兔各有食物150

      白兔  150=剩下的萝卜+换来的白菜

      灰兔  150=剩下的白菜+换来的萝卜

如果我们假设白兔换来的白菜为x，很容易把上面的等式转换成：

  白兔  150=（150-x）+x

  灰兔  150=（120-x）+（30+x）

由题可知，30+x应该是x的整数倍，而且x的取值大于10但小于20（题中说拿十几颗白菜换）

经尝试x=15符合题意，（30+15）÷15=3

即 一颗大白菜可换3个萝卜

另一解法:

小白兔给小灰兔的萝卜数比小灰兔给小白兔的白菜数多30,30是小灰兔给小白兔白菜的整数倍,分解质因数30=2*3*5,而题中说白菜数为十几颗,因此只能是3*5=15颗,则所换的萝卜数是30+15=45只

 故一颗白菜换3只萝卜

14．设第一关未射中的为x个，射中的就是4x+2

第二关     （x-8）×6=4x+2+8

解得x=29

所以，总的个数是 5×29+2=147个

15.约数倍数问题

  年龄差不变.去年、今年、明年，爸妈的年龄差都是小明年龄的整数倍

  而小明的三个年龄是三个连续的自然数,爸妈的年龄差不超过10，在不超过10的数中,有三个连续约数的数只有6,这三个连续约数是1、2、3

即小明的三个年龄分别是1岁、2岁、3岁，所以，小明今年2岁

16．数字谜及计数问题

 设被减数是abc，则差就是cba，两数相差得396，把它列为减数的竖式形式，不难找出a=5、6、7、8、9，相对应，c=1、2、3、4、5，共五组，每组中，b可以取0至9任何一个数字，所以共有5×10=50种

17．统筹安排问题

 甲生产上衣所需时间2/3即10/15，生产裤子所需时间1/3即5/15

乙生产上衣所需时间3/5即9/15，生产裤子所需时间2/5即6/15

对比可知，甲生产裤子的效率高，乙生产上衣的效率高

  甲全部生产裤子一个月生产2700÷1/3=8100条

乙全部生产上衣一个月生产3600÷3/5=6000件

配套时，甲多生产了8100-6000=2100条，甲可以用生产2100条裤子的时间来生产成衣，这样可以生产2100/8100×2700=700套成衣

所以，二人合作一个月共能生产6000+700=6700套成衣

18．错中求解问题

  现金比记帐金额少，说明记帐时把小数点往右看错了一位，这样记帐金额增大了10倍，与现金相差9倍，相差153元，所以现金就是153÷9=17元

19．生活中的应用题

  ①表示1吨的零件

  要16次，分别是：

⑤+①；⑤+①；⑤+①；⑤+①；④+①；④+①；④+①；③+③；③+③；③+③；③+③；③+③；③；④；④；④；

20．行程问题中的比例问题

方法一:

从行程应用题角度入手,牢牢抓住公式展开思考.

  设甲、乙的速度分别是3和2，第一次相遇时，它们所走的路程分别是3s和2s

提速后，甲所走的路程是2s，速度是3×（1+20%）=3.6，所需要时间即为2s÷3.6，这个时间也是乙相遇后所走的时间，乙这时速度是2×（1+1/3）=8/3，

所以乙走的路程=8/3×（2s÷3.6），还差41千米到A

所以 3s-8/3×（2s÷3.6）=41

 可求出s=27

所以，总路程是27×5=135

方法二:

从比例应用题入手考虑,抓住把比当份数和正反比例知识点展开思考

    第一次相遇时,甲的速度是3,乙的速度是2,速度比是3:

2,由于时间相同,路程与速度成正比,所以甲乙所走的路程之比也是3:

2

    提速后,甲的速度是3*（1+20%）=18/5,乙的速度是2*（1+1/3）=8/3,速度比是18/5:

8/3=27:

20,由于时间相同,路程与速度成正比,所以甲乙所走的路程之比也是27:

20

   由题可知,乙第一次相遇时所走的路程与甲提速后所走的路程是相同的,那么所占份数也应一样,故我们可把上面两个比中相应份数转化成一样,即

    第一次相遇时,甲乙所走路程比是3:

2=81:

54

          提速后,甲乙所走路程比是27:

20=54:

40

    那么81-40即是41千米,即1份就是1千米

   所以,两地相距（81+54）*1=135千米