2斐波那契数列.docx

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2斐波那契数列

实验一斐波那契数列

一、实验目的与要求

1．认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；

2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；

3．掌握matlab软件中plot,polyfit等函数的基本用法；

4．提高对数据进行分析与处理的能力。

二、问题描述

某人养了一对兔（公母各一只），一个月后这对兔子生育了一对小兔。

假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。

问：

一年后共有多少对兔子？

三、问题分析

这个问题，最早由意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170-1240）于1202年在其著作《珠算原理》中提出。

根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…

问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。

这个数列通常被称为斐波那契（Fibonacci）数列，研究这个问题就是研究Fibonacci数列。

把这个问题作更深入的研究，我们会问：

第n个月后，总共有多少对兔子？

即Fibonacci数列的第n项是多少？

这就需要我们探素Fibonacci数列的通项公式。

根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。

这样就得到关于Fibonacci数列的一个递推公式：

利用matlab软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci数列的变化规律；通过matlab软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci数列的通项公式。

四、背景知识介绍

1．数据的可视化

将离散的数据：

，

看成平面坐标系里的点：

，

利用matlab软件的plot函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。

plot函数的基本使用格式为：

plot（y），其中参数y表示竖坐标，即需要显示的数据。

例1y=1:

20;y=y.^3;plot（y）

2．数据的拟合

数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。

目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。

作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归。

确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。

在matlab软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是polyfit，它的基本使用格式为：

polyfit（x,y,n）。

其中（x,y）是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n是事先确定的多项式的阶数。

例2x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];p=polyfit（x,y,2）

结果：

调用f=polyval（p,x），可以查看拟合多项式的对应于x的离散数值。

3．数列的通项公式

寻找一个整标函数，使得它在n处的函数值，等于数列的第n项的值，这个函数就是数列的通项公式。

4．黄金分割

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比（如下图）。

其比值是一个无理数

，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。

五、实验过程

本试验将Fibonacci数列的有限项，看成是待处理的数据。

首先利用matlab软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：

指数函数的曲线。

进一步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。

通过观察到的目标函数，然后利用matlab软件的数据拟合功能，得到Fibonacci数列通项公式的近似关系。

最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci数列的通项公式。

1．观察数据的大概函数关系

为了研究Fibonacci数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。

利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。

具体的实现流程为：

（1）定义数组fn；

（2）显示数组fn。

具体的代码如下：

functionplotfibo（n）%定义函数显示Fibonacci数列前n项

fn=[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中

fori=3:

n%fn的第3项到第n项

fn=[fn,fn（i-2）+fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中

end%循环结束

plot（fn）%将装有数列前n项的数组显示出来

这个函数的调用方式是：

plotfibo（30），显示出来的图像为图1，经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。

可以改变参数n的值，反复观察。

图1n=30图2n=50

图3n=500图4n=1000

2．进一步验证上一步得到的结论

经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。

为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。

如果这些数据确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。

因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。

具体的实现流程为：

（1）定义数组fn；

（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。

具体的代码如下：

functionplotlnfibo（n）%显示取对数后的前n项

fn=[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中

fori=3:

n%fn的第3项到第n项

fn=[fn,fn（i-2）+fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中

end%循环结束

fn=log（fn）；%将原来的数据取对数

plot（fn）%将装有数列前n项的数组显示出来

这个函数的调用方式是：

plotlnfibo（30），显示出来的图像为图5，经观察，觉得它确实象一条直线。

可以改变参数n的值，反复观察。

图5n=30图6n=50

图7n=500图8n=1000

3．获得数据的近似关系式

经过以上第一步的观察，确定Fibonacci数列的数据是指数函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为Fibonacci数列的数据关系就是指数函数，取对数后就是线性函数，即一阶多项式。

利用Matlab软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到Fibonacci数列通项公式的一个近似表达式。

具体的实现流程为：

（1）定义数组fn；

（2）数组fn取对数；（3）用一阶多项式拟合数组fn。

具体的代码如下：

functionfitlnfibo（n）%根据取对数后的数据，拟合出线性表达式

fn=[1,1];%将数列的前两项放到数组fn中

fori=3:

n%fn的第3项到第n项

fn=[fn,fn（i-2）+fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中

end%循环结束

xn=1:

n;%定义横坐标

fn=log（fn）；%将原来的数据取对数

polyfit（xn,fn,1）%拟合装有数列前n项的数组

这个函数的调用方式是：

fitlnfibo（30），运行后返回结果是：

0.4799，-0.7768。

这两个数据就是一阶多项式的系数，即：

为了提高精度，可以加大n的值。

取n＝1000时得到：

从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：

4．观察拟合数据与原始数据的吻合程度

经过第三步的拟合，得到了Fibonacci数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将Fibonacci数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。

具体的实现流程为：

（1）定义数组fn1,fn2；

（2）显示数组fn1,fn2。

具体的代码如下：

functionplotfibo2（n）%显示拟合数据与原始数据的前n项

fn1=[];%装拟合数据的数组

fori=1:

n%fn1的第1项到第n项

fn1=[fn1,0.4476*1.618^i];%将第i项添加到数组fn1中

end

fn2=[1,1];%装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中

fori=3:

n%fn2的第3项到第n项

fn2=[fn2,fn2（i-2）+fn2（i-1）];%将第i项添加到数组fn2中

end

x=1:

n;

plot（x,fn1,x,fn2,'r*'）%显示,fn1―兰线，fn2－红星

这个函数的调用方式是：

fitlnfibo2（20），显示出来的图像为图9，或fitlnfibo2（50），显示出来的图像为图10。

图9n=20图10n=50

5．猜测Fibonacci数列的通项公式

通过以上的观察和分析，我们知道Fibonacci数列的数据大概是指数函数的关系。

因此，我们猜测它的通项公式具有形式：

。

将这个表达式代入递推公式

中，得到：

。

经过简化得到：

这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：

考虑到Fibonacci数列的数据无限增大，我们取

，于是得到通项公式如下：

上面的公式对吗？

我们可以来验证。

取n=1和n=2代入上面的公式中计算，显然得不到

，因此它不是Fibonacci数列的通项公式。

但这个公式并非一无是处，我们可以来考虑这个公式与Fibonacci数列到底相差多少。

因此，我们引入以下一个数列：

可以验证，这个新的数列也满足同样的递推公式：

，因此我们猜测它同样是指数函数的形式，可以假设其表达式为：

，代入递推公式后，同样可以得到：

。

这里的r显然不同于上面的r，故这个r取值为：

，从而得到：

。

故有：

由条件

确定其中的常数，得到：

可以验证，它确实就是Fibonacci数列的通项公式。

这个公式是法国数学家比内（Binet）在1843年发现的，称为比内公式。

6．推导Fibonacci数列的通项公式

Fibonacci数列具有如下递推关系：

这个等式实际上是一个二阶常系数线性齐次差分方程，可以仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解。

首先由递推等式得到如下特征方程：

这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：

因此，我们得到差分方程的通解如下：

取n=1和n=2代入上面的公式中，解得：

从而得到：

六、结论与应用

1．Fibonacci数列的阶

通过以上实验过程，我们得到了Fibonacci数列的通项公式，它类似一个指数函数，当n无限增大时，其数据也无限增大，变化的阶是：

在Fibonacci数列的通项公式中，出现了

和

等无理数，而它们运算以后的结果确是正整数，多么奇妙啊！

2．Fibonacci数列与黄金分割数的关系

上面的两个无理数之间，存在着这样的关系：

而

就是著名的黄金分割数。

因此，Fibonacci数列的通项公式又可以写成如下形式：

可以验证，Fibonacci数列与黄金分割数之间还有如下的关系：

（怎么证明上式？

）

3．Fibonacci数列通项公式的其它形式

Fibonacci数列的通项公式还有其它形式，比如：

4．自然界中的Fibonacci数列

Fibonacci数列与自然界中的许多现象有着紧密的联系。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

又如植物的分枝生长、向日葵种子的排列、花瓣的数量、晶体的结构等都是Fibonacci数列。

花瓣的数量，一般都是Fibonacci数

以斐波那契螺旋方式的排列

如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。

这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气。

5．应用

Fibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用价值，在现代物理、准晶体结构、化学等领域有直接的应用。

本实验研究的是Fibonacci数列的变化规律，而数列本质上就是一些数据。

因此，对于一般的数据（比如：

从调查中获得的数据、从试验中获得的数据）,我们也可以参照这样的方式，来分析其中蕴涵的规律。

利用Matlab软件的数据可视化功能和数据拟合功能，可以极大地方便我们进行数据处理分析。

七、练习

1．讨论数列

的变化规律。

（1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图；

（2）观察图形，你认为数列的极限是什么；

（3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；

2．讨论调和级数的变化规律。

（1）画出部分和数列变化的折线图，观察变化规律；

（2）引入数列：

，作图观察其变化，猜测是否有极限；

（3）引入数列：

，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；

（4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？