七下方程组与不等式组综合训练1.docx
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七下方程组与不等式组综合训练1
方程组与不等式组的综合应用 1
1．对x，y定义一种新运算T，规定：
T（x，y）=
（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
T（0，1）=
=b，已知T（1，1）=2.5，T（4，﹣2）=4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组
恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．
2．雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材2210m2，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：
板房规格
板材数量（m2）
铝材数量（m2）
甲型
40
30
乙型
60
20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
3．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．
（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．
4．如果关于x的不等式组
无解，求a的取值范围．
5．若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人？
宿舍有几间？
6．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．
（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？
7．解不等式组
，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
8．建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？
（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在
（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？
9．小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼（两种鱼不能混养）．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：
项目类别
鱼苗投资
（百元）
饲料支出
（百元）
收获成品鱼（千克）
成品鱼价格
（百元/千克）
A种鱼
2.3
3
100
0.1
B种鱼
4
5.5
55
0.4
（1）小王有哪几种养殖方式？
（2）哪种养殖方案获得的利润最大？
（3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%（0＜a＜50），B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？
（利润=收入﹣支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）
10．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒 ．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．
①根据题意，完成以下表格：
纸盒
纸板
竖式纸盒（个）
横式纸盒（个）
x
100﹣x
正方形纸板（张）
2（100﹣x）
长方形纸板（张）
4x
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
（2）若有正方形纸162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．求a的值．
11．某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据：
原料
含量
产品
A（单位：
千克）
B（单位：
千克）
甲
9
3
乙
4
10
（1）设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；
（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y（元）与甲种产品件数x（件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？
并求出最少的成本总额．
12．我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
12
16
10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？
并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？
并求出最大利润的值．
13．甲、乙两家公司共有150名工人，甲公司每名工人月工资为1200元，乙公司每名工人月工资为1500元，两家公司每月需付给工人工资共计19.5万元．
（1）求甲、乙公司分别有多少名工人；
（2）经营一段时间后发现，乙公司工人人均月产值是甲公司工人的3.2倍，于是甲公司决定内部调整，选拔了本公司部分工人到新岗位工作．调整后，原岗位工人和新岗位工人的人均月产值分别为调整前的1.2倍和4倍，且甲公司新岗位工人的月生产总值不超过乙公司月生产总值的40%，甲公司的月生产总值不少于乙公司的月生产总值，求甲公司选拔到新岗位有多少人？
（甲公司调整前人均月产值设定为p元）
14．某汽车经销公司计划经销A、B两种品牌的轿车50辆，该公司经销这50辆轿车的成本不少于1240万元，但不超过1244万元，两种轿车的成本和售价如下表．
A
B
成本（万元/辆）
24
26
售价（万元/辆）
27
30
（1）该公司经销这两种品牌轿车有哪几种方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少？
（2）根据市场调查，一段时期内，B牌轿车售价不会改变，每辆A牌轿车的售价将会提高a万元（0＜a＜1.2），且所有两种轿车全部售出，哪种经销方案获利最大？
（注：
利润=售价﹣成本）
15．某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个1亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投入不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：
（收益=毛利润﹣成本+政府补贴）
养殖种类
成本（万元/亩）
毛利润（万元/亩）
政府补贴（万元/亩）
甲鱼
1.5
2.5
0.2
黄鳝
1
1.8
0.1
（1）根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖？
（2）应怎样安排养殖，可获得最大收益？
（3）据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大收益？
16．如图是B、C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息：
小明：
普通公路EA与高速公路DA的路程相等；
小王：
A、B两市的路程（B⇒D⇒A）为240千米，A、C两市的路程（C⇒E⇒A）为290千米，
小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米/时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米/时；
小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是100千米/时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米/时；
小明汽车从B市到A市不超过5时；小王：
汽车扶C市到A市也不超过5时．
若设高速公路AD的路程为x千米．
（1）根据以上信息填表：
路程
（单位千米）
行驶速度
（单位：
千米/时）
所需时间
（单位：
时）
高速公路AD
普通公路BD
普通公路AE
高建公路CE
（2）试确定高速公路AD的路程范围．
17．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：
每千克9元，由基地送货上门．乙方案：
每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司的两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式．
（2）当购买量在什么范围内时，选择哪种方案付款较少？
说明理由．
18．随着我市教育改革的不断深入，素质教育的全面推进，我市中学生利用假期参加社会实践活动调查的越来越多，张同学在我市J牌公司实习调查时，计划发展部给了他一份实习作业：
在下述条件下，规划一个月的产量：
假如公司生产部有工人200名，每个工人的月劳动时间不超过192小时，生产一件J牌产品需要一个工人劳动2小时；本月将剩余原料60吨，下个月准备购进出300吨，每件J牌产品需原料20公斤；经市场调查，预计下月市场对J牌产品需求量为16000件，公司准备充分保证市场需求．请你和张同学一起规划下个月的产量范围（设下个月的产量为x件）．
19．已知关于x、y的方程组
的解满足不等式x+y＜3，求实数a的取值范围．
20．2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
21．凯里市某企业计划2010年生产一种新产品，下面是企业有关科室提供的信息：
人力科：
2010年生产新产品的一线工人不多于600人．每人每年工时按2200小时计划．
销售科：
观测2010年该产品平均每件需80小时，每件需要装4个某种主要部件．
供应科：
2009年底库存某种主要部件8000个，另外在2010年内能采购到这种主要部件40000个．
根据上述信息，2010年生产量至多是多少件？
为减少积压可至多调出多少工人用于开发其它新产品？
22．某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒乓球．已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？
（2）当k=12时，请设计最省钱的购买方案．
23．阅读材料，解答下列问题：
求函数y=
（x＞﹣1）中的y的取值范围．
解．∵y=
∵
∴y＞2
在高中我们将学习这样一个重要的不等式：
（x、y为正数）；此不等式说明：
当正数x、y的积为定值时，其和有最小值．
例如：
求证：
x+
≥2（x＞0）
证明：
∵
∴x+
≥2
利用以上信息，解决以下问题：
（1）求函数：
y=
中（x＞1），y的取值范围．
（2）若x＞0，求代数式2x+
的最小值．
24．苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
（1）若租用水面n亩，则年租金共需 元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润：
收益﹣成本）；
（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款．用于蟹虾混合养殖．已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
25．某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：
彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．
印数a（单位：
千册）
1≤a＜5
5≤a＜10
彩色（单位：
元/张）
2.2
2.0
黑白（单位：
元/张）
0.7
0.6
（1）印制这批纪念册的制版费为 元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围．（精确到0.01千册）
26．某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：
运输单位
运输速度
（km/h）
运输费用
（元/千米）
包装与装卸时间
（h）
包装与装卸费用
（元）
甲公司
60
6
4
1500
乙公司
50
8
2
1000
丙公司
100
10
3
700
解答下列问题：
（1）若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离；（精确到个位）
（2）如果A，B两市的距离为s（km），且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
27．在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？
28．某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．
（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？
（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
29．为了倡导绿色出行，某市政府今年投资112万元，建成40个公共自行车站点，共计配置720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2019年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）分别求出每个站点的造价和公共自行车的单价；
（2）若到2020年该市政府将再建造m个新站点和配置（2600﹣m）台公共自行车，并且自行车数量（2600﹣m）不超过新站点数量m的12倍，求市政府至少要投入多少万元的资金？
（注：
从今年起至2020年，每个站点的造价和公共自行车的单价每年都保持不变）
30．解不等式
（1）﹣2x+2＜x+17
（2）
+
＞1
（3）求
≥﹣1的非负整数解
（4）
[
（
﹣1）﹣2]﹣x＞2．
1．解：
（1）根据题意得：
，
①+②得：
3a=9，即a=3，
把a=3代入①得：
b=2，
故a，b的值分别为3和2；
（2）根据题意得：
，
由①得：
m≤
，
由②得：
m＞
p﹣3，
∴不等式组的解集为
p﹣3＜m≤
，
∵不等式组恰好有2个整数解，即m=0，1，
∴﹣1≤
p﹣3＜0，
解得
≤p＜2，
即实数P的取值范围是
≤p＜2．
2.解：
设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意得：
，
解得：
20≤x≤21，
x只能取整数，
则x=20，21，
所以共有2种搭建方案：
方案一：
甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，
方案二：
甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．
3．解：
（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，
根据题意得，
，
解得
，
答：
榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，
根据题意得，
，
解不等式①得，a≥58，
解不等式②得，a≤60，
所以，不等式组的解集是58≤a≤60，
∵a只能取正整数，
∴a=58、59、60，
因此有3种购买方案：
方案一：
购买榕树58棵，香樟树92棵，
方案二：
购买榕树59棵，香樟树91棵，
方案三：
购买榕树60棵，香樟树90棵．
4．解：
由题意得：
a+2≥3a﹣2，
解得a≤2．
5．解：
设宿舍有x间，则学生数有（4x+20）人，根据题意得：
，
解得：
5＜x＜7．
∵x为整数，
∴x=6，
∴学生有：
4×6+20=44（人）．
答：
学生有44人，宿舍有6间．
6．解：
（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，
则
，
解得
．
答：
改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元．
（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8﹣a）所．
则
，
解得由①的a≤3，由②得a≥1，
∴1≤a≤3，即a=1，2，3．
答：
有3种改造方案．
方案一：
A类学校有1所，B类学校有7所；
方案二：
A类学校有2所，B类学校有6所；
方案三：
A类学校有3所，B类学校有5所．
7．解：
﹣1＜x≤1．
8．解：
（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得：
，
解得
，
答：
新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；
﹙2﹚设新建m个地上停车位，则：
10＜0.1m+0.4（50﹣m）≤11，
解得30≤m＜
，
因为m为整数，所以m=30或m=31或m=32或m=33，
对应的50﹣m=20或50﹣m=19或50﹣m=18或50﹣m=17，
答：
有4种建造方案；
﹙3﹚当地上停车位=30时，地下=20，30×100+20×300=9000．用掉3600，剩余9000﹣3600=5400．因为修建一个地上停车位的费用是1000，一个地下是4000.5400不能凑成整数，所以不符合题意．
同理得：
当地上停车位=31，33时．均不能凑成整数．
当算到地上停车位=32时，地下停车位=18，
则32×100+18×300=8600，8600﹣3600=5000．
此时可凑成修建1个地上停车场和一个地下停车位，1000+4000=5000．
所以答案是32和18．
答：
建造方案是建造32个地上停车位，18个地下停车位．
9.解：
（1）设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．由题意，得
，
解得
．
又∵x为整数，
∴39≤x≤42．
∴x=39，40，41，42．
所以他有以下4种养殖方式：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱．
（2）A种鱼的利润=100×0.1﹣（2.3+3）=4.7（百元），B种鱼的利润=55×0.4﹣（4+5.5）=12.5（百元）．
四种养殖方式所获得的利润：
①4.7×39+12.5×41﹣120=575.8（百元）；
②4.7×40+12.5×40﹣120=568（百元）；
③4.7×41+12.5×39﹣120=560.2（百元）；
④4.7×42+12.5×38﹣120=552.4（百元）．
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大．
（3）价格变动后，A种鱼的利润=100×0.1×（1+a%）﹣（2.3+3）（百元），
B种鱼的利润=55×0.4×（1﹣20%）﹣（4+5.5）=8.1（百元）．
设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×（1+a%）﹣（2.3+3）=8.1，
解得a=34．
由此可见，当a=34时，利润相等；当34＜a＜50时第④种方式利润最大；当0＜a＜34时，第①种方案利润最大．
10.解：
（1）①如表：
纸盒
纸板
竖式纸盒（个）
横式纸盒（个）
x
100﹣x
正方形纸板（张）
x
2（100﹣x）
长方形纸板（张）
4x
3（100﹣x）
②由题意得，
，
解得38≤x≤40．
又∵x是整数，
∴x=38，39，40．
答：
有三种方案：
生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；
生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；
生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；
（2）如果设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可得方程组
，
于是我们可得出y=
，
因为已知了a的取值范围是290＜a＜306，
所以68.4＜y＜71.6，由y取正整数，
则，当取y=70，则a=298；
当取y=69时，a=303；
当取y=71时，a=293．
293或298或303（写出其中一个即可）．
11.解：
（1）依题意列不等式组得
，
由①得x≤32；
由②得x≥30；
∴x的取值范围为30≤x≤32．
（2）y=70x+90（50﹣x），
化简得y=﹣20x+4500，
∵﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小．
而30≤x≤32，
∴当x=32，50﹣x=18时，y最小值=﹣20×32+4500=3860（元）．
答：
当甲种产品生产32件，乙种18件时，甲、乙两种产品的成本总额最少，最少的成本总额为3860元．
12.解：
（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，
那么装运C种脐橙的车辆数为（20﹣x﹣y），
则有：
6x+5y+4（20﹣x﹣y）=100
整理得：
y=﹣2x+20（1≤x≤9且为整数）；
（2）由
（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分
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