高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案.docx
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高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解一题多变》题目
一题多解一题多变
(一)
原题:
的定义域为R,求m的取值范围
解:
由题意
在R上恒成立
且Δ
,得
变1:
的定义域为R,求m的取值范围
解:
由题意
在R上恒成立
且Δ
,得
变2:
的值域为R,求m的取值范围
解:
令
,则要求t能取到所有大于0的实数,
当
时,t能取到所有大于0的实数
当
时,
且Δ
变3:
的定义域为R,值域为
,求m,n的值
解:
由题意,令
,得
时,Δ
-
1和9时
的两个根
当
时,
,也符合题意
一题多解-
解不等式
解法一:
根据绝对值的定义,进行分类讨论求解
(1)当
时,不等式可化为
(2)当
时,不等式可化为
综上:
解集为
解法二:
转化为不等式组求解
原不等式等价于
综上:
解集为
解法三:
利用等价命题法
原不等式等价于
,即
解集为
解法四:
利用绝对值的集合意义
原不等式可化为
,不等式的几何意义时数轴上的点
的距离大于
,且小于
,由图得,解集为
一题多解一题多变
(二)
已知
是等比数列的前n想项和,
成等差数列,求证:
成等差数列
法一:
用公式
,
因为
成等差数列,所以
且
则
所以
所以
成等差数列`
法二用公式
,
则
,所以
成等差数列`
证法三:
(用公式
)
解得
(下略)
变题:
已知
且
是第二象限角,求
解:
是第二象限角,
变1:
,求
解:
,所以
是第一或第二象限角
若是第一象限角,则
若是第二象限角,则
变2:
已知
求
解:
由条件
,所以
当
时,
是第一或第二象限角
若是第一象限角时
若是第二象限角
当
时
不存在
变3:
已知
,求
解:
当
时,
不存在
当
时,
当
时第一、第四象限角时,
当
是第二、第三象限角时,
一题多解一题多变(三)
题目:
求函数
的值域
方法一:
判别式法--
设
,则
,由Δ
-
当
时,
-
,因此当
时,
有最小值2,即值域为
方法二:
单调性法
先判断函数
的单调性
任取
,则
当
时,即
,此时
在
上时减函数
当
时,
在
上是增函数
由
在
上是减函数,
在
上是增函数,知
时,
有最小值2,即值域为
方法三:
配方法
,当
时,
,此时
有最小值2,即值域为
方法四:
基本不等式法
有最小值2,即值域为
变题
原题:
若函数
的定义域为R,求实数a的取值范围
解:
由题意得
在R上恒成立,则要求
且Δ
变式一:
函数
的定义域为R,求实数a的取值范围
解:
由题意得
在R上恒成立,则要求
且Δ
变式二:
函数
的值域为R,求实数a的取值范围
解:
令
能取到所有大于0的实数,则
时,
能取到所有大于0的实数
时,
且Δ
综上
一题多解一题多变(四)
题目:
求函数
的值域
方法一:
判别式法--
设
,则
,由Δ
-
当
时,
-
,因此当
时,
有最小值2,即值域为
方法二:
单调性法
先判断函数
的单调性
任取
,则
当
时,即
,此时
在
上时减函数
当
时,
在
上是增函数
由
在
上时减函数,
在
上是增函数,知
时,
有最小值2,即值域为
方法三:
配方法
,当
时,
,此时
有最小值2,即值域为
方法四:
基本不等式法
有最小值2,即值域为
变题
原题:
若函数
的定义域为R,求实数a的取值范围
解:
由题意得
在R上恒成立,则要求
且Δ
变式一:
函数
的定义域为R,求实数a的取值范围
解:
由题意得
在R上恒成立,则要求
且Δ
变式二:
函数
的值域为R,求实数a的取值范围
解:
令
能取到所有大于0的实数,则
时,
能取到所有大于0的实数
时,
且Δ
综上
一题多解一题多变(五)
题目:
椭圆
的焦点是
,椭圆上一点P满足
,下面结论正确的是———————————————————————()
(A)P点有两个(B)P点有四个
(C)P点不一定存在(D)P点一定不存在
解法一:
以
为直径构圆,知:
圆的半径
,即圆与椭圆不可能有交点。
故选D
解法二:
由题知
,而在椭圆中:
,
不可能成立
故选D
解法三:
由题意知当p点在短轴端点处
最大,设
,
此时
为锐角,与题设矛盾。
故选D
解法四:
设
,由
知
,而
无解,故选D
解法五:
设
,假设
,则
,而
即:
,不可能。
故选D
解法六:
,故
不可能。
故选D
解法七:
设
由焦半径知:
而在椭圆中
而
>
故不符合题意,故选D
解法八.
设圆方程为:
椭圆方程为:
两者联立解方程组得:
不可能
故圆
与椭圆
无交点
即
不可能垂直
故选D
一题多解一题多变(六)
一变题:
课本P110写出数列
的前5项:
变题:
已知函数
,设
的反函数为
,
,求数列
的通项公式。
解:
由题意得,
,
,令
,则
是以
为首项,
为公比的等比数列,
故
从而,
二、一题多解
已知函数
(1)当
时,求函数
的最小值;-
(2)若对于任意
恒成立,试求实数
的取值范围,
解:
(1)当
时,
,当且仅当
时取等号
由
性质可知,
在
上是增函数
,所以
在
是增函数,
在区间
上的最小值为
(2)法一:
在区间上
,
恒成立
恒成立
设
,
在
上增
所以
时,
,于是当且仅当
时,函数
恒成立,
故
法二:
当
时,函数
的值恒为正;
当
时,函数
为增函数,故当
时,
,于是当且仅当
时,函数
恒成,故
法三:
在区间
上,
恒成立
恒成立
恒成立,故
应大于
,
时的最大值-3,
所以
一题多解一题多变(七)
原题:
:
若
则
分析:
用倒数换元
解:
令
所以
将t换成x得到:
变题1:
设
满足关系式
求
的解析式
解:
将t换成x得到:
与原式联立方程组消去
得到
变题2:
已知
,其中
试求
的解析式
解:
用相反数换元令
代入到原式当中得到:
将t换成x得到:
与原式联立方程组,得到:
变题3:
已知
,试求
的解析式
解:
令
,则
将
中t换-t得到:
与
联立方程组得到:
变题4:
已知
求
解:
设
代入原式得:
将t换成—t得到:
与上式联立方程组得到
的解析式为:
一题多解
题目:
设二次函数
满足
且函数图象y轴上的截距为1,被x轴截的线段长为
,求
的解析式
分析:
设二次函数的一般形式
,然后根据条件求出待定系数a,b,c
解法一:
设
由
得:
又
由题意可知
解之得:
解法二:
故函数
的图象有对称轴
可设
函数图象与y轴上的截距为1,则
又
被x轴截的线段长为
,则
整理得:
解之得:
解法三:
:
故
函数
的图象有对称轴
,又
与x轴的交点为:
故可设
一题多解一题多变(八)
原题设
有反函数
,又
与
互为反函数,则
(《教学与测试》P77)
变题设
有反函数
,又
的图象与
的图象关于
对称
(1)求
及
的值;
(2)若
均为整数,请用
表示
及
解
(1)因
的反函数是
,从而
于是有
,令
得
;同样,
得反函数为
,从而
,于是,
.
(2)
而
故
即
…
,从而
.
同理,
.
一题多解
1.函数
,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
解法1.由
知
的图象关于
对称,得
而
,且
,因此
.
解法2.由
知
的图象关于
对称,而
,而
在[-1,1]上递减,易得答案为B.
y
-101x
一题多解一题多变(九)
姜忠杰
变题
原题:
若在区间
=
在区间
是减函数,则
的取值范围是多少?
变1:
若函数
=
在
上是减函数,则
的取值范围是多少?
变2、若函数
=
在
上是增函数,则
的取值范围是多少?
变3、若函数
=
在
上是增函数,且函数的值域为R,则
的取值范围是多少?
解:
函数
的减区间为
,
-
变1、设
,则
在
为减函数,且在
,
0
所以有
且
(
)
,
的取值范围是
变2:
设
,则
在为减函数,且在
,
0-
所以有
且
(
)
,
的取值范围是
变3:
设
,则
在
减区间,
在
取到一切正实数
,
,所以
或
一题多解:
设
,
,求
的值。
解法一(构造函数):
设
,则
,由于
在
上是单调递增函数,所以
,故
。
解法二(图象法)
因为
是方程
的一个根,也就是方程
的一个根
是方程
的一个根,也就是方程
的一个根
令
,
,
,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示:
是方程
的根,即图中OA=
是方程
的根,即图中OB=
易得OA+OB=10,所以
解法三:
方程
,
的根为
,
由
,得
,
,又
,
,
一题多解一题多变(十)
(课本P102)证明:
变题:
1、如图所示,
是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:
“对[0,1]中的任意的
,任意
恒成立”的只有(A)
A、
B、
C、
D、
变题2、定义在R上的函数
满足:
如果对于任意
都有
则称函数
是R上的凹函数。
已知二次函数
(1)求证:
当
时,函数
是凹函数;
(2)如果
时,
,试求实数
的取值范围。
(1)证明:
略
(2)实数
的取值范围是
二、一题多解
不查表计算:
解法一:
原式=
=
=
=
解法二:
原式=
=1-
=1
解法三:
原式=
=
=1
解法四:
原式=
=
=1
解法五:
原式=
=
=
=1
一题多解一题多变(十一)
一题多解-
1.已知
(
,求
的值
解法1先求反函数
由
得