数学建模论文投资规划.docx

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数学建模论文投资规划

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封一

答卷编号（竞赛组委会填写）:

答卷编号（竞赛组委会填写）：

论文题目：

投资规划问题

参赛队员：

1.

xxx

：

2.

xxx

：

3.

xxx

：

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封二

答卷编号（参赛报名号）:

答卷编号（竞赛组委会填写）:

评审情况（评审专家填写）：

评阅1：

评阅2：

评阅3:

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投资规划问题

摘要

目前，证券在我国得到了迅速健康的发展，并且为我国的经济发展作出了很大贡献。

本文针对目前流行的各种不同的证券发行方案，建立线性规划模型，得出最佳的证券组合投资方案。

问题一中假设该经理有1000万资金可以进行投资支配，在满足题目给出的各限制围，以最大收益为目标函数，建立三个线性规划模型，分别为冒险模型、保

守模型和一个折中模型，但是前两个不符合题目给出的约束条件，综合考虑，应选用折中模型，用Lingo求解得出了最大收益为29.83636万元，各种证券的投资方案见表二。

问题二中假设能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在相同的约束条件下，仍然建立线性规划模型，采用Lingo求解，得出最大收益为32.82000万元，投资方案见表五。

问题三中在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，仍然建立线性规划模型，通过Lingo解得最大收益相对问题一中增加了，为30.27273万元，投资方案见表六；若证券C的税前收益减少为4.8%，用同样的方法求出最大收益相对问题一中减少了，为29.42400万元，投资方案见表七。

关键字：

证券投资、线性规划、Lingo求解软件、投资风险

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问题重述

证券投资目的:

提高企业、个人闲置资金的使用效率,最大限度地实现投资效

益,为其谋取更多的投资回报。

收益和风险是并存的，通常收益越高，风险越大。

投资者只能在收益和风险之间加以权衡，即在风险相同的证券中选择收益较高

的，或在收益相同的证券中选择风险较小的进行投资。

为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确的投资决策。

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、到期税前收益如下表所示。

表一

证券名称

证券种类

信用等级

到期年

到期税前收

限

益（%）

A

市政

2

9

4.3

B

代办机构

2

15

5.4

C

政府

1

4

5.0

D

政府

1

3

4.4

E

市政

5

2

4.5

投资哪一种证券都是任意的，其中市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

另外还受到三个约束条件的限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

选择不同的证券组合投资，便会得到不同的收益。

所以在投资时根据给出的已知条件进行决策，在不亏损的情况下，又要保证收益最大。

问题：

1、假如该经理有1000万元资金，在给出的约束条件下，且各种证券的信用等级、到期年限、收益都不变，应如何选择购进证券种类，才能使得收益最大？

2、如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在其他条件不变的情况下及问题1的基础上，又怎样支配资金投放？

3、在有1000万元资金情况下：

（1）若证券A的税前收益增加为4.5%，其他证券税前收益不改变的情况下，要使得收益最大，该经理如何投资？

（2）若证券C的税前收益减少为4.8%，其他证券税前收益不改变的情况下，要使得收益最大，该经理又如何投资？

模型假设

1.假设在有价证券到期前，该经理不会中断投资。

2.假设在投资过程中，可供购买的各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益固定不变，以及其纳税税率不变。

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3.假设借款利率在证券到期前没有波动。

4.信用等级可以视为风险的一种情况。

符号说明

mi:

第i种证券的投资金额（i=1~5）；

si:

第i种证券的到期税前收益（%）（i=1~5）；

xi:

第i种证券的信用等级（i=1~5）;

yi：

第i种证券的到期年限（i=1~5）；

ti:

第i种证券需交纳的税率（%）（i=1~5）；Z：

证券到期时获得的总收益；

（证券A、B、C、D、E分别用编号①~⑤）

问题分析

仔细考虑问题的要求和条件，这是一类考虑因素较简单，算法要求较低的问题，具体表现在两方面：

一是考虑因素简单。

在进行证券投资决策时，只需考虑各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益、纳税税率，合理组合证券投资，来求出目标函数的最优解。

二是算法要求较低。

由于考虑因素较多，变量也多，明显不方便用人工计算，但是可以将模型输入相关软件直接求解，算法较简单。

问题一中给出了总资金1000万元，由于投资受到各种证券不同的信用等级、到期年限、到期税前收益的影响，投资者需要合理地进行投资。

证券交

易的最终目标是取得最大收益，但在进行证券交易时，也存在着较大的风险。

为了更好地了解其中的风险，我们提供了三种方法，即折中法、冒险法和保守法。

采用何种方法取决于决策者对待风险的态度。

我们知道，一个投资项目的风险和其投资对象的信用等级有密切关系。

首先，考虑所购证券的平均

信用等级必须不超过1.4，所购证券的平均到期年限不超过5年，除此之外，还要在满足其他约束条件的前提下，建立相应的模型解出最大收益，这是折

中法。

其次，在不考虑信用等级的影响下，其他约束条件不变，得出的最大收益，这是冒险法。

最后，针对风险厌恶者，运用保守法建立风险最小的最大收益模型，即当所购证券的平均信用等级最小时，其他约束条件不改变所得的线性模型。

问题二中的解决方法与问题一相同，只是在本问题中能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，所以相当于可用资金增加了，这时在问题一的收益基础上，还要偿还投资期间所累积的利息。

当增加的收益大于所要偿还的利息时，则收益增加。

问题三中在有1000万元资金情况下，证券A的税前收益变为4.5%，其

他数据没有改变，所用模型和解题思路与问题一相同。

同样的，当证券C的

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税前收益减少为4.8%时，解题思路同上。

基于以上分析，都是建立线性规划模型，使用Lingo软件运行结果。

模型的建立与求解

1问题一的求解

（1）该经理拥有1000万资金用来本次投资，在以上的约束条件下求出最大收益。

在符合约束条件的情况下，投资方案有很多种，应该从中选出收益最大的方

案。

在这些证券种类当中，信用等级、到期年限、税前收益不尽相同：

x1~x5对应证券A~E的信用等级，y1~y5对应证券A~E的到期年限，s1~s5对应证券A~E的税前收益，具体数据见表一。

由已知条件可以建立折中模型：

目标函数max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*

（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;

约束条件

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

用Lingo软件进行求解可以得到m1=218.1818,m2=0,m3=736.3636,m4=0,m5=45.45455,总收益Z=29.83636。

在以上结果中可以确定，在符合约束条件下，投资的最大收益为29.83636万元，证券B和证券D的投资额都为零，证券C的

投资额最大，为736.3636万元，证券A为218.1818万元，证券E为45.45455

万元。

结果如图一和表二。

图一

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表二

证券类

M1

M2

M3

M4

M5

型

投资数

218.18

0.0000

736.36

0.0000

45.454

量

18

00

36

00

55

总收益

29.83636

由于证券B的到期年限太长，跟约束条件相比相差太远，经过计算该证券的投资为零，而证券D的税前收益太低，而且要缴纳百分之五十的税率，税前的收益率是这几个证券中较低的，为了获得最大收益，因此证券D的投资额为零，证

券C的信用较好，到期年限也不长，税前收益也较高，所以投资该证券的金额较高。

（2）考虑到部分投资者比较厌恶风险，他们比较看重信用，保守投资。

那么，我们就可以建立一个风险最低的模型，即在求出风险最低的方案的前提下才进行投资，这时平均信用等级的约束条件变为求最低平均信用等级。

风险模型如下：

目标函数

Z=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;

约束条件

min=（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

在此模型中，使用Lingo软件可以求出m1=0，m2=0，m3=536.49，m4=463.51，m5=0，总收益Z=23.60947，经理只是投资了C证券和D证券，因为在这么多证券中，这两个证券的信用程度最高，这样才符合这个模型的根本目标。

该模型结果如图二和表三：

图二

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表三

证券类型

M1

M2

M3

M4

M5

投资数量

0.00

0.0000

536.49

463.51

0.0000

（万元）

0000

00

00

00

00

总收益

23.60947

（万元）

（3）然而少数投资者敢于冒险，他们投资时不考虑各种证券的信用等级高

低而只在乎是否获得最大收益，因此在忽略平均信用等级≤1.4的条件下我们可以建立一个收益最大模型：

目标函数

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

约束条件

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0

使用Lingo软件可以解得：

m1=0，m2=200，m3=200，m4=0，m5=600，总收益Z=37.4，在一定的约束条件下，B、C两种证券分别都投资了200万元，由于E证券到期税前收益率较高且可以免税，在投资额相同的情况下收益是最高的，则为了获得最大的收益就把剩下的600万元都投给了E证券也是合理的。

结果见图三和表四：

图三

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表四

证券类型

M1

M2

M3

M4

M5

投资数量

0.00

200.00

200.00

0.0000

600.00

（万元）

0000

00

00

00

00

总收益

37.40000

（万元）

在本问题当中需要考虑题目中所给的约束条件：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4；

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

在以上三个模型当中，只有第一个模型符合题目的约束条件，这个模型相对来说比较合理，所以折中模型比较适合本问题的求解，综合考虑，第一个模型的结果就是本问题的最优解。

2问题二的求解

这个问题的解题方法与问题一的解题方法相似，使用折中法进行求解。

该问题中，经理可以以2.75%的利率接到不超过100万元的资金，极限地假设经理借了一百万元，则经理的可用资金就是1100万元，用这些资金在符合约束条件下进行投资，我们可以建立一个最优解的数学模型：

目标函数

Max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*

（1-t5）;

约束条件

m1+m2+m3+m4+m5<=1100;

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（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

使用Lingo软件进行求解得到：

m1=240，m2=0，m3=810，m4=0，m5=50，总收益Z=32.82，可以看出在增加100万元的前提下，投资后的总收益比问题一增加了2.98364万元，而借贷需要偿还的利息为2.75万元，即借贷后所获得的最后收益有所增加，所以可以确定该经理应该借这100万元。

结果如图四和表五所示：

图四

表五

证券类

M1

M2

M3

M4

M5

型

投资数

240

0.0000

810

0.0000

50

量

00

00

总收益

32.82000

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3问题三的求解

这个问题的求解方法与问题一得求解方法相同，第一小问只是证券A的税前收益增加到4.5%，其他的约束条件不变，现只需要建立一个折中模型：

目标函数

max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*

（1-t5）;

约束条件

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

用Lingo软件求解可以得到：

m1=218.1818，m2=0，m3=736.3636，m4=0，m5=45.45455，总收益Z=30.27273，用这个结果跟问题一的结果进行比较可以知道，这个小问中对各个证券的投资跟问题一的方案一样，而且收益有所增加。

结果见图五和表六：

图五

表六

证券类型

M1

M2

M3

M4

M5

投资数量

218.

0.0000

736.36

0.0000

45.454

（万元）

1818

00

36

00

56

总收益

30.27273

（万元）

第二小问中的C证券的税前收益减少了

4.8%，其解法与第一小问的解法也

相同，建立一个折中模型：

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目标函数

max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*

（1-t5）;

约束条件

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

使用Lingo求解得到：

m1=336，m2=0，m3=0，m4=648，m5=16，总收益Z=29.424。

分析这个结果和问题一的结果可以看出，由于C证券的税前收益减少了0.2%，该证券的投资金额从问题一的最多变为零，对D证券的投资金额变为最多，对其他证券的投资金额都各有所改变，总的收益也减少了0.41236万元。

结果见图六和表七：

图六

表七

证券类型

M1

M2

M3

M4

M5

投资数量

0.00

0.0000

536.49

463.51

0.0000

（万元）

0000

00

00

00

00

总收益

23.60947

（万元）

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模型的评价

1、模型的优点

（1）本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据；

（2）通过利用数学工具和Lingo编程的方法，严格的对模型求解，具有科学性。

（3）建立的模型能与实际较紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，是模型更贴近实际，通用性较强。

（4）模型给出了快速计算投资分配的方法，计算方便、灵活。

2、模型的缺点

（1）、一些数据中，我们对数据进行必要的处理时，如取整数据、舍去数据等，这些方法都会带来一定的误差。

（2）在解决各问题时，都是假设在各种证券的信用等级、到期年限、税前

收益不变的基础上建立数学模型的，但是实际的市场变化无常，纳税税率也会有

所波动。

参考文献

【1】吴建国等，数学建模案例精编，北京，中国水利水电，2005【2】姜启源等，数学模型（第三版），北京，高等教育，2003【3】叶其孝等，数学建模（原书第三版），北京，机械工业，2005【4】束金龙等，线性规划理论与模型应用，北京，科学，2003

附录

Lingo代码

mode1.

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.;s5=0.;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode2.

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.;s5=0.;

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m1+m2+m3+m4+m5<=1100;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode3.1

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

s1=0.;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.;s5=0.;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode3.2

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

s1=0.043;s2=0.027;s3=0.;s4=0.;s5=0.;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=1.4;

x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

收益最高

max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;

s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.;s5=0.;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

（y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）<=5;

y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

风险最低的收益

x=0.043*m1+0.027*m2+0.025*m3+0.*m4+0.*m5;

min=（x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5）/（m1+m2+m3+m4+m5）

x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

m1+m2+