北师大版七年级下册数学培优压轴题.docx
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北师大版七年级下册数学培优压轴题
北师大版七年级下册数学培优压轴题
一.解答题(共8小题)
1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2.
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.
求证:
EF=BE+FD;
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=;(直接写结果)
(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?
请说明理由;
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?
(只需直接写出你的猜想,不必证明)
5.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;
2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).
附加题:
如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由.
6.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
7.已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:
PA+PD+PC>BD.
8.认真阅读材料,然后回答问题:
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:
(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,…
下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:
(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?
并预测第三项的系数;
(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和.
(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示).
2018年05月08日wujun的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共8小题)
1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
【解答】解:
∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,
在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS);
∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE=∠CBF=30°,
∴AE=
BE,CF=
BF;
∵∠MBN=60°,BE=BF,
∴△BEF为等边三角形;
∴AE+CF=
BE+
BF=BE=EF;
图2成立,图3不成立.
证明图2.
延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,
在△BAE和△BCK中,
则△BAE≌△BCK,
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,
∴∠FBC+∠ABE=60°,
∴∠FBC+∠KBC=60°,
∴∠KBF=∠FBE=60°,
在△KBF和△EBF中,
∴△KBF≌△EBF,
∴KF=EF,
∴KC+CF=EF,
即AE+CF=EF.
图3不成立,
AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF.
2.
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.
求证:
EF=BE+FD;
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
【解答】证明:
(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=
∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
又∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.
(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD.
证明:
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=
∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD.
3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S1=S2.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
【解答】解:
(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=
AB,
∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
故答案为:
DE∥AC;S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=
∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等边三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=
×60°=30°,
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴点F2也是所求的点,
∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
×60°=30°,
又∵BD=4,
∴BE=
×4÷cos30°=2÷
=
∴BF1=
,BF2=BF1+F1F2=
+
=
,
故BF的长为
或
.
4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=a;(直接写结果)
(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?
请说明理由;
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?
(只需直接写出你的猜想,不必证明)
【解答】解:
(1)设AP的长是x,则BP=2a﹣x,
∴S△APC+S△PBD=
x•
x+
(2a﹣x)•
(2a﹣x)
=
x2﹣
ax+
a2,
当x=﹣
=﹣
=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值,
故答案为:
a;
(2)α的大小不会随点P的移动而变化,
理由:
∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
∴△APD≌△CPB,
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠AQC=180°﹣120°=60°;
(3)此时α的大小不会发生改变,始终等于60°.
理由:
∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
∴△APD≌△CPB,
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠AQC=180°﹣120°=60°.
5.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;
2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).
附加题:
如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由.
【解答】解:
△DEF是等腰三角形
证明:
如图,过点C作CP⊥AC,交AN延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°,∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB,∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP
∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP,∠ADB=∠P
∵AD=CE
∴CE=CP
∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠CEN
∴∠CEN=∠ADB
∴∠FDE=∠FED
∴△DEF是等腰三角形.
附加题:
△DEF为等腰三角形
证明:
过点C作CP⊥AC,交AM的延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°,∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP
∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP,∠D=∠P
∵AD=EC,CE=CP
又∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠E
∴∠D=∠E
∴△DEF为等腰三角形.
6.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
【解答】解:
(1)判断:
EN与MF相等(或EN=MF),点F在直线NE上,
(2)成立.
连接DF,NF,证明△DBM和△DFN全等(AAS),
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC.
又∵D,E,F是三边的中点,
∴EF=DF=BF.
∵∠BDM+∠MDF=60°,∠FDN+∠MDF=60°,
∴∠BDM=∠FDN,
在△DBM和△DFN中,
,
∴△DBM≌△DFN,
∴BM=FN,∠DFN=∠FDB=60°,
∴NF∥BD,
∵E,F分别为边AC,BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BD,
∴F在直线NE上,
∵BF=EF,
∴MF=EN.
(3)如图③,MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).
连接DF、DE,
由
(2)知DE=DF,∠NDE=∠FDM,DN=DM,
在△DNE和△DMF中,
∴△DNE≌△DMF,
∴MF=NE.
7.已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:
PA+PD+PC>BD.
【解答】猜想:
AP=BP+PC,
(1)证明:
延长BP至E,使PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°,
∴∠CPE=60°,又PE=PC,
∴△CPE为等边三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°,
∴∠ACB=∠PCE,
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP,
即:
∠ACP=∠BCE,
∴△ACP≌△BCE(SAS),
∴AP=BE,
∵BE=BP+PE,
∴AP=BP+PC.
(2)证明:
在AD外侧作等边△AB′D,
则点P在三角形ADB′外,连接PB',B'C,
∵∠APD=120°∴由
(1)得PB′=AP+PD,
在△PB′C中,有PB′+PC>CB′,
∴PA+PD+PC>CB′,
∵△AB′D、△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,AB′=AD,
∠BAC=∠DAB′=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD,
即:
∠BAD=∠CAB′,
∴△AB′C≌△ADB,
∴CB′=BD,
∴PA+PD+PC>BD.
8.认真阅读材料,然后回答问题:
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:
(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,…
下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:
(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?
并预测第三项的系数;
(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和.
(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示).
【解答】解:
(1)∵当n=1时,多项式(a+b)1的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为:
0=
,
当n=2时,多项式(a+b)2的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为:
1=
,
当n=3时,多项式(a+b)3的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为:
3=
当n=4时,多项式(a+b)4的展开式是四次五项式,此时第三项的系数为:
6=
,
…
∴多项式(a+b)n的展开式是一个n次n+1项式,第三项的系数为:
;
(2)预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和为:
2n;
(3)∵当n=1时,多项式(a+b)1展开式的各项系数之和为:
1+1=2=21,
当n=2时,多项式(a+b)2展开式的各项系数之和为:
1+2+1=4=22,
当n=3时,多项式(a+b)3展开式的各项系数之和为:
1+3+3+1=8=23,
当n=4时,多项式(a+b)4展开式的各项系数之和为:
1+4+6+4+1=16=24,
…
∴多项式(a+b)n展开式的各项系数之和:
S=2n.