双缝干涉条纹间距公式的推导.docx
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双缝干涉条纹间距公式的推导
双缝干涉条纹间距公式的推导
双缝干涉条纹间距公式的推导
y
d
d
x
·2O
·2
如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为
d2的点与d2
的点为两波源。
这两个
波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源
的距离差为波长整数倍
n（零除外）的双曲线簇。
其中
d,0
、d,0为所有双曲
2
2
线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为：
x2
y2
1
2
2
2
n
d
n
2
2
2
y
·2O·2
x
d
d
用直线y
l去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。
将
yl代入双
曲线簇的方程，有：
x2
l2
1
2
d
2
2
n
n
2
2
2
解得：
xn
4
l2
2
n22
d
上式中，d的数量级为10
4m，为107m。
故d2
n2
2
d2，x的表达式简化为：
xn
l
2
4
2
d
0
m，d
4
l2
4
，x的表达式简化为：
其中l的数量级为10
的数量级为10m。
故
d2
10
l2
nl
xn
2
d
d
可见，交点横坐标成一等差数列，公差为l，这说明：
d
（1）条纹是等间距的；
（2）相邻两条纹的间距为
l。
d
至此，证明了条纹间距公式：
xdl。
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或
者暗纹）中心间距为：
x＝Lλ/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，
对单色光而言，其波长λ为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距
的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹
的照片却并非如此，如图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件
是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。
设定双缝S1、S2的间距为d，双缝所在平面与光屏
P平行。
双缝与屏之间
的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P1，设定点P1
与双缝S1、S2的距离分
别为r1
2
1
2
1
2
点为P0
和r，O为双缝
S、S的中点，双缝
S、S的连线的中垂线与屏的交
1
0
，设P
与P的距离为x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d，
在这种情况下由双缝S1
2
发出的光到达屏上
1
点的光程差r为
、S
P
S2M＝r2－r1≈dsinθ，
（1）
其中θ也是OP0与OP1所成的角。
因为d<x
sinθ≈tanθ＝L
（2）
x
因此r≈dsinθ≈dL
x
当
r≈dL
＝±kλ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，，
（3）
x
1
当
r≈dL
＝±（k＋2
）λ时，屏上表现为暗条纹，其中是k＝0，1，2，。
（3′）
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
L
当x＝±kdλ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，。
1L
当x＝±（k＋）λ时，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，。
2d
我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为
x＝x
－x
L
（5）
k
＝dλ。
1k
＋
（4）
（4′）
至此我们得出结论：
杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式r＝r2－r1≈dsinθ的时候，此式近似成立的条件是∠S1P1S2很小，因此有S1M
⊥S2P1，S1M⊥OP1，因此∠P0OP1＝∠S2S1M，如果要保证∠S1P1S2很小，只要满足d<第2次近似是因为d<下面我们通过表1来比较sinθ与tanθ的数值。
表1
θ
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
sinθ
tanθ
θ
8°
9°
10°
11°
sinθ
tanθ
从表1中我们可以看出当θ＝6°时，tanθ－sinθ≈%。
因此当θ≥6°时，相sinθ
对误差就超过了%，因此我们通常说sinθ＝tanθ成立的条件是θ≤5°，当θ＞5°时，sinθ≈tanθ就不再成立。
而在杨氏双缝干涉实验中，θ很小所对应的条
件应该是x<而当x较大时，也就是光屏上离P0较远的点所对应的θ角也较大，当θ＞5°时，sinθ≈tanθ就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，
（2）式就不能再用了。
此时sinθ＝
x
L2
x2
所以，r≈dsinθ＝
2dx
x
2＝±kλ，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，，
L
r≈dsinθ＝
dx
1
L2
x2
＝±（k＋2）λ，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，。
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为
x＝±d2k22
，屏上表现为
Lk
明条纹，其中k＝0，1，2，，
L（k
1）
，屏上表现为暗条纹，其中
k＝0，1，2，。
x＝±
2
d2
（k
1）22
2
则相邻的明条纹中心问距为
x明＝xk＋1明一xk明＝
L（k1）
－
Lk
2
（k1）
22
2
k
22
d
d
邻暗条纹中心间距为
L（k1
1）
－
L（k
1）
x暗＝xk＋1暗一xk暗＝
2
2
d2
（k1
1）22
d2
（k
1）22
2
2
由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1：
用氦氖激光器（频率为×1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解：
因为r＝dsinθ＝kλ，所以
k＝
dsinθ
＝
νdsinθ
＝错误!
≈。
λ
c
考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为
5条。
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