初中奥数系列相似三角形B级第03讲学生版.docx

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初中奥数系列相似三角形B级第03讲学生版

射影定理和内接矩形

内容

基本要求

略高要求

较高要求

相似

了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系

会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小

相似三角形

了解两个三角形相似的概念

会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题

相似多边形

知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似

会用相似多边形的性质解决简单问题

1．相似定义，性质，判定，应用和位似

2．相似的判定和证明

3．相似比的转化

希尔宾斯基三角形

许多人看到“雪花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物”．后来，人们发现像“雪花曲线”这样的“数学怪物”还真不少．让我们再来欣赏“希尔宾斯基三角形”，它是波兰数学家希尔宾斯基最先作出的．图1是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．

看到这样的图案，你能想到什么呢？

能跟我们平时做的题型产生什么联想？

能想到如果这个图形出现在中考题型中，会以什么方式出现吗？

模块一（斜）射影定理类相似问题

射影定理常见及扩展模型：

图1有：

图2有：

【例1】如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．

⑴，

⑵．

【巩固】如图，中，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。

求证：

．

【拓展】已知，如图，为等腰三角形，，在不添加辅助线的条件下：

⑴当与满足什么关系时，（括号里填图中已有线段）．

⑵证明你的结论．

模块二四边形类相似问题

☞内接矩形类

内接矩形类的模型及结论：

其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．

【例2】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

【巩固】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．

【拓展】如图，面积为的正方形内接于面积为的正三角形，其中是整数，且不能被任何质数的平方整除，则的值等于．

【拓展】如图，在中，，，，动点（与点，不重合）在边上，∥交于点．

⑴当的面积与四边形的面积相等时，求的长．

⑵当的周长与四边形的周长相等时，求的长．

⑶试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？

若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

☞平行四边形类

【例3】如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值．

【巩固】如图：

矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。

【巩固】如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.

（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.

（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.

☞梯形类

【例4】如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．

【巩固】如图，已知梯形中，，，,,（）,,交于点，连接.

（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.

（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.

模块二竞赛真题

【例5】设是内任意一点，的重心分别为、、，则的值为（）

．．．．

【例6】如图所示，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点．过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．证明：

．

【例7】设是的边上的一点，作交于点，作交于点，已知的面积分别为、．则四边形的面积为．

【例8】如图所示，在中，，点是的中点，是的平分线，，则的长为．

【例9】如图，在中，是高，为的角平分线，若，则的长等于．

【例10】如图，射线、都垂直于线段，点为上一点，过点作的垂线分别交、于点、，过点作的垂线，垂足为．若，则．

【例11】设中，边上一点满足，边上一点满足，边上一点满足，那么的面积：

的面积=（）

．．．．

【例12】如图所示，正方形的面积为，分别在上，并且，，则长方形的面积是．

【例13】如图，在中，，，且，则．

1．如图，中，于，于，于，交于，、的延长线

交于点，求证：

．

2．如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

1．通过本堂课你学会了．

2．掌握的不太好的部分．

3．老师点评：

①．

②．

③．

1．如图，中，，于为的中点，的延长线交于．

求证：

．

2．如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，

求证：

平分．

3．中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.

4．如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

5．内有一点，过作三边的平行线，其中在边上，在边上，在边上，并且三个平行四边形的面积分别为，那么的面积为（用的式子表示）．